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9.（1）（朝阳中考改编）如图①，$O$是坐标原点，点$B$在$x$轴上，在$\triangle OAB$中，$AO = AB = 5$，$OB = 6$，点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$的图像上，则$k$的值为 ________.
(2)（2023·绥化中考改编）如图②，在平面直角坐标系中，点$A$在$y$轴的正半轴上，$AC$平行于$x$轴，点$B、C$的横坐标都是3，$BC = 2$，点$D$在$AC$上，且其横坐标为1，若反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像经过点$B、D$，则$k$的值是 ________.
(2)（2023·绥化中考改编）如图②，在平面直角坐标系中，点$A$在$y$轴的正半轴上，$AC$平行于$x$轴，点$B、C$的横坐标都是3，$BC = 2$，点$D$在$AC$上，且其横坐标为1，若反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像经过点$B、D$，则$k$的值是 ________.
答案
(1)$-12$ 解析：过$A$作$AC\perp OB$于点$C$。$\because AO = AB$，$AC\perp OB$，$OB = 6$，$\therefore OC = BC = 3$。在$Rt\triangle AOC$中，$OA = 5$，$\therefore AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，$\therefore A(-3,4)$。把$A(-3,4)$代入$y = \frac{k}{x}$，可得$k = -12$。
(2)3 解析：设$B(3,m)$，$\because$点$B$、$C$的横坐标都是$3$，$BC = 2$，$AC$平行于$x$轴，点$D$在$AC$上，且其横坐标为$1$，$\therefore C(3,m + 2)$，$D(1,m + 2)$，$\therefore 3m = m + 2$，解得$m = 1$，$\therefore B(3,1)$，$\therefore k = 3\times1 = 3$。
(2)3 解析：设$B(3,m)$，$\because$点$B$、$C$的横坐标都是$3$，$BC = 2$，$AC$平行于$x$轴，点$D$在$AC$上，且其横坐标为$1$，$\therefore C(3,m + 2)$，$D(1,m + 2)$，$\therefore 3m = m + 2$，解得$m = 1$，$\therefore B(3,1)$，$\therefore k = 3\times1 = 3$。
10. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作$T_{m}(m$为1~8的整数). 反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图像为曲线$L$.
(1) 若$L$过点$T_{1}$，求反比例函数的表达式；
(2) 若$L$过点$T_{4}$，则它必定还过另一点$T_{m}$，求$T_{m}$的坐标；
(3) 若曲线$L$使得$T_{1}~T_{8}$这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数$k$.
(1) 若$L$过点$T_{1}$，求反比例函数的表达式；
(2) 若$L$过点$T_{4}$，则它必定还过另一点$T_{m}$，求$T_{m}$的坐标；
(3) 若曲线$L$使得$T_{1}~T_{8}$这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数$k$.
答案
(1)$\because$每个台阶的高和宽分别是$1$和$2$，$\therefore T_1(-16,1)$，$T_2(-14,2)$，$T_3(-12,3)$，$T_4(-10,4)$，$T_5(-8,5)$，$T_6(-6,6)$，$T_7(-4,7)$，$T_8(-2,8)$。$\because L$过点$T_1$，$\therefore k = -16\times1 = -16$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y = -\frac{16}{x}$。
(2)$\because L$过点$T_4$，$\therefore k = -10\times4 = -40$，$\therefore$反比例函数表达式为$y = -\frac{40}{x}$，当$x = -8$时，$y = 5$，$\therefore T_5$也在反比例函数图像上，$\therefore T_m$的坐标为$(-8,5)$。
(3)若曲线$L$过点$T_1(-16,1)$，$T_8(-2,8)$时，$k = -16$。若曲线$L$过点$T_2(-14,2)$，$T_7(-4,7)$时，$k = -14\times2 = -28$。若曲线$L$过点$T_3(-12,3)$，$T_6(-6,6)$时，$k = -12\times3 = -36$。若曲线$L$过点$T_4(-10,4)$，$T_5(-8,5)$时，$k = -40$。$\because$曲线$L$使得$T_1\sim T_8$这些点分布在它的两侧，每侧各$4$个点，$\therefore -36\lt k\lt -28$，$\therefore$所有满足条件的整数$k = -35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$。
(2)$\because L$过点$T_4$，$\therefore k = -10\times4 = -40$，$\therefore$反比例函数表达式为$y = -\frac{40}{x}$，当$x = -8$时，$y = 5$，$\therefore T_5$也在反比例函数图像上，$\therefore T_m$的坐标为$(-8,5)$。
(3)若曲线$L$过点$T_1(-16,1)$，$T_8(-2,8)$时，$k = -16$。若曲线$L$过点$T_2(-14,2)$，$T_7(-4,7)$时，$k = -14\times2 = -28$。若曲线$L$过点$T_3(-12,3)$，$T_6(-6,6)$时，$k = -12\times3 = -36$。若曲线$L$过点$T_4(-10,4)$，$T_5(-8,5)$时，$k = -40$。$\because$曲线$L$使得$T_1\sim T_8$这些点分布在它的两侧，每侧各$4$个点，$\therefore -36\lt k\lt -28$，$\therefore$所有满足条件的整数$k = -35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$。
11. 改编题 小明根据学习函数的经验，对函数$y = \frac{1}{x - 1}+1$的图像与性质进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1) 函数$y = \frac{1}{x - 1}+1$的自变量$x$的取值范围是 ________.
(2) 下表列出了$y$与$x$的几组对应值，请写出$m、n$的值：$m = $________，$n = $________.
(3) 在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对应值为坐标的点，并画出该函数的图像.
(4) 结合函数的图像，解决问题：
①写出该函数的一条结论；
②当$\frac{1}{x - 1}+1＞\frac{3}{2}$时，$x$的取值范围是 ________；
③方程$\frac{1}{x - 1}+1 = x$的解为 ________.
(5) 已知函数$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1(x\neq - 2)$，则函数$y_{2}=\frac{1}{y_{1}}$的图像与坐标轴有 ________个交点.
(1) 函数$y = \frac{1}{x - 1}+1$的自变量$x$的取值范围是 ________.
(2) 下表列出了$y$与$x$的几组对应值，请写出$m、n$的值：$m = $________，$n = $________.
(3) 在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对应值为坐标的点，并画出该函数的图像.
(4) 结合函数的图像，解决问题：
①写出该函数的一条结论；
②当$\frac{1}{x - 1}+1＞\frac{3}{2}$时，$x$的取值范围是 ________；
③方程$\frac{1}{x - 1}+1 = x$的解为 ________.
(5) 已知函数$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1(x\neq - 2)$，则函数$y_{2}=\frac{1}{y_{1}}$的图像与坐标轴有 ________个交点.
答案
(1)$x\neq1$ (2)$\frac{1}{2}$ 3
(3)如图：
(4)①函数图像经过原点且关于点$(1,1)$对称(合理即可)
②$1\lt x\lt3$ ③$x = 0$或$x = 2$
(5)1 解析：$\because y_1 = \frac{1}{2}x + 1$，$\therefore y_2 = \frac{1}{y_1} = \frac{1}{\frac{1}{2}x + 1} = \frac{2}{x + 2}$，当$x = 0$时，$y_2 = \frac{2}{2} = 1$，$\therefore y_2 = \frac{2}{x + 2}$与$y$轴的交点为$(0,1)$。由于$\frac{2}{x + 2}$是分式，且分子不为零，则$y_2\neq0$，$\therefore y_2 = \frac{2}{x + 2}$与$x$轴没有交点。$\therefore$函数$y_2 = \frac{2}{x + 2}$的图像与坐标轴的交点个数是$1$。
