1. (2022·苏州中考)如图,二次函数$y= -x^{2}+2mx+2m+1$(m是常数,且$m＞0$)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC、BD.
(1)求A、B、C三点的坐标(用数字或含m的式子表示),并求$∠OBC$的度数;
(2)若$∠ACO= ∠CBD$,求m的值;
(3)若在第四象限内二次函数$y= -x^{2}+2mx+2m+1$(m是常数,且$m＞0$)的图像上,始终存在一点P,使得$∠ACP= 75^{\circ }$,请结合函数的图像,直接写出m的取值范围.
![img alt=1]
(1)求A、B、C三点的坐标(用数字或含m的式子表示),并求$∠OBC$的度数;
(2)若$∠ACO= ∠CBD$,求m的值;
(3)若在第四象限内二次函数$y= -x^{2}+2mx+2m+1$(m是常数,且$m＞0$)的图像上,始终存在一点P,使得$∠ACP= 75^{\circ }$,请结合函数的图像,直接写出m的取值范围.
![img alt=1]
答案
2. (2023·绥化中考)如图,抛物线$y_{1}= ax^{2}+bx+c$的图像经过$A(-6,0)$、$B(-2,0)$、$C(0,6)$三点,且一次函数$y= kx+6$的图像经过点B.
(1)求抛物线和一次函数的表达式.
(2)点E、F为平面内两点,若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形,且点E在点F的左侧.这样的E、F两点是否存在? 如果存在,请直接写出所有满足条件的点E的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)将抛物线$y_{1}= ax^{2}+bx+c$的图像向右平移8个单位长度得到抛物线$y_{2}$,此抛物线的图像与x轴交于M、N两点(点M在点N左侧).点P是抛物线$y_{2}$上的一个动点且在直线NC下方.已知点P的横坐标为m.过点P作$PD⊥NC$于点D,求m为何值时,$CD+\frac {1}{2}PD$有最大值,最大值是多少?
![img alt=2]
(1)求抛物线和一次函数的表达式.
(2)点E、F为平面内两点,若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形,且点E在点F的左侧.这样的E、F两点是否存在? 如果存在,请直接写出所有满足条件的点E的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)将抛物线$y_{1}= ax^{2}+bx+c$的图像向右平移8个单位长度得到抛物线$y_{2}$,此抛物线的图像与x轴交于M、N两点(点M在点N左侧).点P是抛物线$y_{2}$上的一个动点且在直线NC下方.已知点P的横坐标为m.过点P作$PD⊥NC$于点D,求m为何值时,$CD+\frac {1}{2}PD$有最大值,最大值是多少?
![img alt=2]
答案
