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11.（2024·眉山中考）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚. 近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同. 每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
（1）求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元.
（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
（1）求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元.
（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
答案
(1)设$A$款文创产品每件的进价是$a$元，则$B$款文创产品每件的进价是$(a - 15)$元，
根据题意得，$\frac{960}{a} = \frac{780}{a - 15}$，解得$a = 80$，经检验，$a = 80$是原分式方程的解，且符合题意，$\therefore 80 - 15 = 65$(元).
答：$A$款文创产品每件的进价是80元，$B$款文创产品每件的进价是65元.
(2)设购进$A$款文创产品$x$件，则购进$B$款文创产品$(100 - x)$件，总利润为$W$，根据题意得，$80x + 65(100 - x) \leq 7400$，解得$x \leq 60$，又由题意得，$W = (100 - 80)x + (80 - 65)(100 - x) = 5x + 1500$.
$\because k = 5 ＞ 0$，$W$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 60$时，利润最大，
$\therefore$购进$A$款文创产品60件，购进$B$款文创产品$100 - 60 = 40$(件)，获得的利润最大，$W_{最大}= 5×60 + 1500 = 1800$(元).
答：购进$A$款文创产品60件，购进$B$款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元.
根据题意得，$\frac{960}{a} = \frac{780}{a - 15}$，解得$a = 80$，经检验，$a = 80$是原分式方程的解，且符合题意，$\therefore 80 - 15 = 65$(元).
答：$A$款文创产品每件的进价是80元，$B$款文创产品每件的进价是65元.
(2)设购进$A$款文创产品$x$件，则购进$B$款文创产品$(100 - x)$件，总利润为$W$，根据题意得，$80x + 65(100 - x) \leq 7400$，解得$x \leq 60$，又由题意得，$W = (100 - 80)x + (80 - 65)(100 - x) = 5x + 1500$.
$\because k = 5 ＞ 0$，$W$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 60$时，利润最大，
$\therefore$购进$A$款文创产品60件，购进$B$款文创产品$100 - 60 = 40$(件)，获得的利润最大，$W_{最大}= 5×60 + 1500 = 1800$(元).
答：购进$A$款文创产品60件，购进$B$款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元.
12.（1）父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶. 同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍. 已知儿子的速度为v，则父亲的速度是儿子速度的________倍.
（2）甲上吴山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再向上走16分钟，乙再向下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于________.
（2）甲上吴山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再向上走16分钟，乙再向下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于________.
答案
(1)1.2
(2)$3:4$ 解析：设甲上山速度为$x$，乙下山速度为$y$，路程为$s$，根据题意得$\begin{cases}\frac{s}{x} - \frac{s}{x + y} = 16,\\\frac{s}{y} - \frac{s}{x + y} = 9,\end{cases}$整理得$\begin{cases}\frac{sy}{x(x + y)} = 16, &①\\\frac{sx}{y(x + y)} = 9, &②\end{cases}$$②\div①$得$(\frac{x}{y})^2 = \frac{9}{16}$，$\therefore \frac{x}{y} = \frac{3}{4}$，$\therefore$甲上山和乙下山的速度之比等于$3:4$.
(2)$3:4$ 解析：设甲上山速度为$x$，乙下山速度为$y$，路程为$s$，根据题意得$\begin{cases}\frac{s}{x} - \frac{s}{x + y} = 16,\\\frac{s}{y} - \frac{s}{x + y} = 9,\end{cases}$整理得$\begin{cases}\frac{sy}{x(x + y)} = 16, &①\\\frac{sx}{y(x + y)} = 9, &②\end{cases}$$②\div①$得$(\frac{x}{y})^2 = \frac{9}{16}$，$\therefore \frac{x}{y} = \frac{3}{4}$，$\therefore$甲上山和乙下山的速度之比等于$3:4$.
13.（2023·德阳中考）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行. 大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集. 其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成. 若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务. 承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元.
（1）乙队单独施工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a、b为正整数，则甲、乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
（1）乙队单独施工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a、b为正整数，则甲、乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
答案
(1)设乙队单独施工需要$x$个月才能完成任务，则$\frac{2}{x} + 10(\frac{1}{18} + \frac{1}{x}) = 1$，解得$x = 27$，经检验$x = 27$是原分式方程的解且符合题意.
答：乙队单独施工需要27个月才能完成任务.
(2)由题意可得$\frac{a}{18} + \frac{b}{27} = 1$，$\therefore 3a + 2b = 54$，$\therefore a = 18 - \frac{2}{3}b$.$\because a \leq 6$，$b \leq 24$，$\therefore \begin{cases}18 - \frac{2}{3}b \leq 6,\\b \leq 24,\end{cases}$解得$18 \leq b \leq 24$.$\because a$、$b$都为正整数，$\therefore b$为3的倍数，$\therefore \begin{cases}a = 6,\\b = 18\end{cases}$或$\begin{cases}a = 4,\\b = 21\end{cases}$或$\begin{cases}a = 2,\\b = 24\end{cases}$，$\therefore$甲、乙两队实际施工的时间安排有3种方式，方案①：安排甲队施工6个月，乙队施工18个月，费用为$6×8 + 18×5 = 138$(万元)；方案②：安排甲队施工4个月，乙队施工21个月，费用为$4×8 + 21×5 = 137$(万元)；方案③：安排甲队施工2个月，乙队施工24个月，费用为$2×8 + 24×5 = 136$(万元)，$\therefore$安排甲队施工2个月，乙队施工24个月所支付费用最低.
答：乙队单独施工需要27个月才能完成任务.
(2)由题意可得$\frac{a}{18} + \frac{b}{27} = 1$，$\therefore 3a + 2b = 54$，$\therefore a = 18 - \frac{2}{3}b$.$\because a \leq 6$，$b \leq 24$，$\therefore \begin{cases}18 - \frac{2}{3}b \leq 6,\\b \leq 24,\end{cases}$解得$18 \leq b \leq 24$.$\because a$、$b$都为正整数，$\therefore b$为3的倍数，$\therefore \begin{cases}a = 6,\\b = 18\end{cases}$或$\begin{cases}a = 4,\\b = 21\end{cases}$或$\begin{cases}a = 2,\\b = 24\end{cases}$，$\therefore$甲、乙两队实际施工的时间安排有3种方式，方案①：安排甲队施工6个月，乙队施工18个月，费用为$6×8 + 18×5 = 138$(万元)；方案②：安排甲队施工4个月，乙队施工21个月，费用为$4×8 + 21×5 = 137$(万元)；方案③：安排甲队施工2个月，乙队施工24个月，费用为$2×8 + 24×5 = 136$(万元)，$\therefore$安排甲队施工2个月，乙队施工24个月所支付费用最低.
