答案 P50
[2025 雅安期末]【问题背景】
如图 1,在四边形 ABCD 中,$AB = AD$,$∠B = ∠ADC = 90^{\circ}$,点 E,F 分别是 BC,CD 上的点,且$EF = BE + DF$,试探究$∠EAF$,$∠BAD$之间的数量关系。

【初步探索】
(1)小亮同学认为延长 FD 到点 G,使$DG = BE$,连接 AG,先说明$△ ABE≌△ ADG$,再说明$△ AEF≌△ AGF$,则可得到$∠EAF$,$∠BAD$之间的数量关系是。
【探索延伸】
(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,$AB = AD$,$∠B + ∠D = 180^{\circ}$,点 E,F 分别是 BC,CD 上的点,若$EF = BE + DF$,那么上述结论是否仍然成立？请说明理由。
【结论运用】
(3)如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西$30^{\circ}$的 A 处,舰艇乙在指挥中心南偏东$70^{\circ}$的 B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以 60 海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东$50^{\circ}$方向以 80 海里/时的速度前进,1 小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的距离$EF = 140$海里,求此时$∠EOF$的度数。(注:将表示东西方向、南北方向的直线分别记作 x 轴、y 轴)

解：(1)$∠BAD = 2∠EAF$。
因为$∠ADC = 90^{\circ}$，所以$∠ADG = 90^{\circ} = ∠B$。在$△ ABE$和$△ ADG$中，$\{\begin{array}{l} AB = AD,\\ ∠B = ∠ADG,\\ BE = DG,\end{array} $所以$△ ABE≌△ ADG(SAS)$，所以$∠BAE = ∠DAG$，$AE = AG$，因为$EF = BE + DF$，$FG = DF + DG$，所以$EF = GF$。在$△ AEF$和$△ AGF$中，$\{\begin{array}{l} AE = AG,\\ AF = AF,\\ EF = GF,\end{array} $所以$△ AEF≌△ AGF(SSS)$，所以$∠EAF = ∠GAF$，因为$∠GAF = ∠GAD + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF$，$∠BAD = ∠BAE + ∠DAF + ∠EAF$，所以$∠BAD = 2∠EAF$。
(2)成立。理由如下：
如图1，延长$CD$到点$H$，使得$DH = BE$。
因为$∠ADC + ∠ADH = 180^{\circ}$，$∠B + ∠ADC = 180^{\circ}$，所以$∠B = ∠ADH$。
在$△ ABE$和$△ ADH$中，$\{\begin{array}{l} AB = AD,\\ ∠B = ∠ADH,\\ BE = DH,\end{array} $
所以$△ ABE≌△ ADH(SAS)$，
所以$AE = AH$，$∠BAE = ∠DAH$，
所以$FH = DF + DH = DF + BE$，
又因为$EF = BE + DF$，所以$FH = EF$。
在$△ AEF$和$△ AHF$中，$\{\begin{array}{l} AE = AH,\\ AF = AF,\\ FE = FH,\end{array} $
所以$△ AEF≌△ AHF(SSS)$，
所以$∠EAF = ∠HAF = ∠DAH + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF$，
又因为$∠BAD = ∠BAE + ∠DAF + ∠EAF$，
所以$∠BAD = 2∠EAF$。

(3)如图2，过点$B$作$BQ⊥x$轴于点$Q$，延长$FB$到点$M$，使得$BM = AE$，连接$OM$，$EF$。
因为接到行动指令前，舰艇甲在指挥中心（$O$处）北偏西$30^{\circ}$的$A$处，舰艇乙在指挥中心南偏东$70^{\circ}$的$B$处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，
所以$∠AON = 30^{\circ}$，$∠POB = 70^{\circ}$，$AN// x$轴，$OA = OB$，则$∠BOQ = 90^{\circ} - ∠POB = 20^{\circ}$，
所以$∠ANO = 90^{\circ}$，则$∠A = 60^{\circ}$，
因为接到行动指令后，舰艇乙沿北偏东$50^{\circ}$方向以$80$海里/时的速度前进，舰艇甲向正东方向以$60$海里/时的速度前进，
所以$∠QBF = 50^{\circ}$，$BF = 80×1 = 80$（海里），$AE = 60×1 = 60$（海里）。
因为$BQ⊥x$轴，所以$OP// BQ$，所以$∠POB = ∠OBQ = 70^{\circ}$，
所以$∠OBF = ∠OBQ + ∠QBF = 70^{\circ} + 50^{\circ} = 120^{\circ}$，
所以$∠OBM = 180^{\circ} - ∠OBF = 60^{\circ}$，所以$∠OBM = ∠A$，
所以$△ AOE≌△ BOM(SAS)$，
所以$∠AOE = ∠BOM$，$OE = OM$，
因为$MF = BF + BM = BF + AE = 140$海里，所以$MF = EF$。
在$△ OEF$和$△ OMF$中，$\{\begin{array}{l} OE = OM,\\ OF = OF,\\ EF = MF,\end{array} $
所以$△ OEF≌△ OMF(SSS)$，
所以$∠EOF = ∠MOF = ∠BOM + ∠BOF = ∠AOE + ∠BOF$，
所以$∠AOB = ∠AOE + ∠BOF + ∠EOF = 2∠EOF$。
因为$∠AOB = ∠AON + ∠NOQ + ∠BOQ = 30^{\circ} + 90^{\circ} + 20^{\circ} = 140^{\circ}$，
所以$∠EOF = 70^{\circ}$。