1. (宁波中考)【基础巩固】
(1) 如图①, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ D $ 为 $ AB $ 上一点, $ \angle ACD = \angle B $. 求证: $ AC^{2} = AD \cdot AB $.
【尝试应用】
(2) 如图②, 在 $ \square ABCD $ 中, $ E $ 为 $ BC $ 上一点, $ F $ 为 $ CD $ 延长线上一点, $ \angle BFE = \angle A $. 若 $ BF = 4 $, $ BE = 3 $, 求 $ AD $ 的长.
【拓展提高】
(3) 如图③, 在菱形 $ ABCD $ 中, $ E $ 是 $ AB $ 上一点, $ F $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点, $ EF // AC $, $ AC = 2EF $, $ \angle EDF = \frac{1}{2} \angle BAD $, $ AE = 2 $, $ DF = 5 $, 求菱形 $ ABCD $ 的边长.
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2. (宿迁中考)【感知】如图①, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle C = \angle D = 90^{\circ} $, 点 $ E $ 在边 $ CD $ 上, $ \angle AEB = 90^{\circ} $. 求证: $ \frac{AE}{EB} = \frac{DE}{BC} $.
【探究】如图②, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle C = \angle ADC = 90^{\circ} $, 点 $ E $ 在边 $ CD $ 上, 点 $ F $ 在边 $ AD $ 的延长线上, $ \angle FEG = \angle AEB = 90^{\circ} $, 且 $ \frac{FE}{EG} = \frac{AE}{EB} $, 连接 $ BG $ 交 $ CD $ 于点 $ H $. 求证: $ BH = GH $.
【拓展】如图③, 点 $ E $ 在四边形 $ ABCD $ 内, $ \angle AEB + \angle DEC = 180^{\circ} $, 且 $ \frac{AE}{EB} = \frac{DE}{EC} $, 过 $ E $ 作 $ EF $ 交 $ AD $ 于点 $ F $, 使 $ \angle EFA = \angle AEB $, 延长 $ FE $ 交 $ BC $ 于点 $ G $. 求证: $ BG = CG $.
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