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12. 如图是一个“乘法迷宫”游戏,需要选择一条路线从入口走到出口,当走到出口时,将经过的每个数字相乘,如果结果大于$9$,则游戏过关。请你找出一条过关的路线并求得最终出口的结果。
答案
[解]路线:2→-3→-$\frac{1}{6}$→-4→-5.
2×(-3)×(-$\frac{1}{6}$)×(-4)×(-5)=20.
因为20＞9，所以该路线能过关，出口的结果为20.(答案不唯一)
2×(-3)×(-$\frac{1}{6}$)×(-4)×(-5)=20.
因为20＞9，所以该路线能过关，出口的结果为20.(答案不唯一)
13. 阅读下列材料,完成后面的问题。
计算：$(-125\frac{5}{7})×(-\frac{1}{5})$。
解：原式$= (-125 - \frac{5}{7})×(-\frac{1}{5})$(依据$1$)
$= (-125)×(-\frac{1}{5}) - \frac{5}{7}×(-\frac{1}{5})$(依据$2$)
$= ▲$。
(1)上述材料中的依据$1$是指______,依据$2$是指______；
(2)“$▲$”处空缺的内容是______；
(3)请用上述方法计算：$99\frac{24}{25}×(-5)$。
计算：$(-125\frac{5}{7})×(-\frac{1}{5})$。
解：原式$= (-125 - \frac{5}{7})×(-\frac{1}{5})$(依据$1$)
$= (-125)×(-\frac{1}{5}) - \frac{5}{7}×(-\frac{1}{5})$(依据$2$)
$= ▲$。
(1)上述材料中的依据$1$是指______,依据$2$是指______；
(2)“$▲$”处空缺的内容是______；
(3)请用上述方法计算：$99\frac{24}{25}×(-5)$。
答案
[解]
(1)拆分；乘法分配律
(2)25$\frac{1}{7}$
(3)原式=(100 - $\frac{1}{25}$)×(-5)=-500 + $\frac{1}{5}$=-499$\frac{4}{5}$.
(1)拆分；乘法分配律
(2)25$\frac{1}{7}$
(3)原式=(100 - $\frac{1}{25}$)×(-5)=-500 + $\frac{1}{5}$=-499$\frac{4}{5}$.
14. 计算：
$(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$。
小明同学的解法如下：
解：设$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})为A$,$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})为B$,则原式$= B(1 + A) - A(1 + B) = B + AB - A - AB = B - A = \frac{1}{5}$。
请用上面方法计算：
(1)$(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6})$；
(2)$(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n + 1}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n + 1})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n})$。
$(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$。
小明同学的解法如下：
解：设$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})为A$,$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})为B$,则原式$= B(1 + A) - A(1 + B) = B + AB - A - AB = B - A = \frac{1}{5}$。
请用上面方法计算：
(1)$(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6})$；
(2)$(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n + 1}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n + 1})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n})$。
答案
[解]
(1)设($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$)为A，($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$)为B，则
原式=(1 + A)B - (1 + B)A=B + AB - A - AB=B - A=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$)=$\frac{1}{7}$.
(2)设($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$)为A，($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n + 1}$)为B，则
原式=(1 + A)B - (1 + B)A=B + AB - A - AB=B - A=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n + 1}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$)=$\frac{1}{n + 1}$.
(1)设($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$)为A，($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$)为B，则
原式=(1 + A)B - (1 + B)A=B + AB - A - AB=B - A=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$)=$\frac{1}{7}$.
(2)设($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$)为A，($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n + 1}$)为B，则
原式=(1 + A)B - (1 + B)A=B + AB - A - AB=B - A=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n + 1}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$)=$\frac{1}{n + 1}$.
