1.（2024·甘肃中考）如图①，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止。设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图像如图②所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为 （ ）
　　
A. 2
B. 3
C. $\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{2}$

C 解析：结合图像，得到当x = 0时，PO = AO = 4，当点P运动到点B时，PO = BO = 2，根据菱形的性质，得∠AOB = ∠BOC = 90°，故AB = BC = $\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$ = $2\sqrt{5}$，当点P运动到BC中点时，PO的长为$\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$。故选C。

2.（2024·苏州期中）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q。点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为6，则AQ的中点M移动的路径长为________。
　

$3\sqrt{2}$ 解析：如图，连接AC，交BD于点O，取AQ中点M，连接OM，连接PC，过点P作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别为E、F，延长FP交AB于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC = 90°，∠EDB = ∠CDB = 45°。∵∠PED = ∠PFD = 90°，∠EPD = ∠EDP = 45°，∴PE = DE，则四边形PEDF为正方形，∴PE = PF，∠EPF = 90°。∵∠APQ = ∠APE + ∠EPQ = 90°，∠EPF = ∠FPQ + ∠EPQ = 90°，∴∠APE = ∠QPF。在△PAE和△PQF中，$\begin{cases} \angle APE=\angle QPF \\ PE = PF \\ \angle PEA=\angle PFQ = 90^{\circ} \end{cases}$，∴△PAE≌△PQF，∴PA = PQ。∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC = ∠BCD = 90°，∠EDB = ∠CDB = ∠ABD = ∠CBD = 45°，∴GF//BC，∴∠BGP = 90°，∴△BGP为等腰直角三角形。∵BP = 6，∴BG = $3\sqrt{2}$，∴CF = BG = $3\sqrt{2}$。∵四边形ABCD为正方形，∴AB = BC。又∠ABP = ∠CBP = 45°，BP = BP，∴△ABP≌△CBP，∴PA = PC = PQ。在等腰三角形PCQ中，∵PF⊥CQ，∴CF = FQ = $3\sqrt{2}$。∵O是AC中点，M是AQ中点，∴OM = $\frac{1}{2}CQ = CF = 3\sqrt{2}$，OM//CD，∴点M始终在过点O且与CD平行的直线上运动，OM即为点M移动的路径，∴点M移动的路径长为$3\sqrt{2}$。

3.（2024·扬州期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH。若∠B = 45°，BC = $2\sqrt{3}$，则GH的最小值为（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\sqrt{6}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

D 解析：如图，过点A作AK⊥BC于点K，连接AF，在菱形ABCD中，∠B = 45°，BC = $2\sqrt{3}$，∴∠BAK = 45° = ∠B，AB = BC = $2\sqrt{3}$，∴AK = BK，∴$AK^{2}+BK^{2}=2AK^{2}=AB^{2}=(2\sqrt{3})^{2}$，∴AK = $\sqrt{6}$。∵G、H分别为AE、EF的中点，∴GH = $\frac{1}{2}AF$，∴当点F和点K重合时，AF最小，GH也最小，∴GH的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$。故选D。

4.（2024·无锡期末）如图，在矩形ABCD中，AD = 7，CD = 4，点E是AD上一点，且AE = 3，点F是AB边上的动点，以EF为一边作菱形EFGH，使顶点H落在CD上，连接CG，则△HCG面积的最小值为（ ）
A. 1
B. $\frac{3}{2}$
C. 3
D. $\frac{7}{2}$
　　 　　

B 解析：∵四边形EFGH为菱形，∴EF = EH。当EH⊥CD时，EH取最小值。∵四边形ABCD为矩形，∴∠D = ∠A = 90°，∴点D、H重合时，EH的最小值即为DE的长。∵AD = 7，AE = 3，∴DE = 7 - 3 = 4，∴EH的最小值为4，如图，延长HG、AB相交于点M，过点G作GN⊥DC的延长线于点N，则∠GNH = ∠A = 90°。∵四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，∴DN//AM，EF//HM，GH = EF，AB = DC = 4，∴∠GHN = ∠M，∠AFE = ∠M，∴∠GHN = ∠AFE，∴△GNH≌△EAF（AAS），∴NG = AE = 3。当EF、EH取最大时，DH取最大值，此时CH取最小值，△HCG的面积取最小值，当EF取最大值时，点B、F重合，此时$EF_{最大值}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，∴$EH_{最大值}=5$，∴$DH=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，∴$CH_{最小值}=4 - 3 = 1$，∴$S_{\triangle HCG最小值}=\frac{1}{2}CH\cdot GN=\frac{1}{2}\times1\times3=\frac{3}{2}$。故选B。

5.（2024·淮安期末）在正方形ABCD中，E是BC的中点，F、G分别是边AB、CD上的动点，且FG⊥AE交AE于点M，连接EF和AG，当AB = 2时，则EF + AG的最小值为________。

$\sqrt{10}$ 解析：如图，以FE、FG为邻边作平行四边形FGNE，连接AN，过点G作GH⊥AB于点H。∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE = ∠BAD = ∠ADG = 90°，AB = AD = BC = 2。∵E是BC的中点，∴BE = CE = 1，由勾股定理得，$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{5}$。∵GH⊥AB，∴∠GHA = ∠GHF = 90°，∴∠GHA = ∠BAD = ∠ADG = 90°，∴四边形AHGD是矩形，∴GH = AD = AB。∵FG⊥AE，∴∠AMF = 90°，∴∠GFH + ∠BAE = 90°。∵∠AEB + ∠BAE = 90°，∴∠GFH = ∠AEB。∵∠GHF = ∠ABE，∠GFH = ∠AEB，GH = AB，∴△ABE≌△GHF（AAS），∴GF = AE = $\sqrt{5}$。∵四边形FGNE是平行四边形，∴GF//EN，GF = EN = AE = $\sqrt{5}$，EF = GN，∴∠AEN = ∠AMG = 90°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴$AN=\sqrt{2}AE=\sqrt{10}$。∵AG + GN≥AN，∴当A、G、N在一条直线上时，AG + GN最小，为AN，即EF + AG的最小值为$\sqrt{10}$，故答案为$\sqrt{10}$。

6.（2024·泰州期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD，BD⊥CD于点D，BD = 24，CD = 7，在BD右侧的平面内有一点F，△BDF的面积是96，当FA + FC的最小值是30时，那么AB = ________。
　　

9 解析：设△BDF的边BD上的高为h，∵△BDF的面积是96，BD = 24，∴$\frac{1}{2}\times24h = 96$，解得h = 8，∴点F在平行于BD，且到BD边的距离等于8的直线MN上。如图，延长DC交MN于点M，并在射线DC上取CM = MG，连接AG交直线MN于点F，连接CF、DF，过点A作AH⊥CD，交CD延长线于点H。∵BD⊥CD，MN//BD，∴∠NMG = ∠BDC = 90°，∴MN⊥CG。∵CM = MG，∴点C、G关于直线MN对称。∵当FA + FC的最小值是30，∴点C、G关于直线MN对称时FA + FC = AG = 30。∵AH⊥CD，BD⊥CD，∴AH//BD，∴∠H = ∠BDC = 90°。∵AB//CD，∴四边形ABDH是平行四边形，∴AH = BD = 24，DH = AB，∴$HG=\sqrt{AG^{2}-AH^{2}} = 18$。∵DM = h = 8，CD = 7，∴MG = CM = 8 - 7 = 1，∴AB = DH = HG - DM - MG = 9。

7.（2024·宿迁期末）如图，点A坐标是(0,3)，点B是x轴正半轴上的任意一动点，以AB为边向右侧作矩形ABCD，且AB·BC = 6，则点D到x轴的距离DE的最大值是________。

4 解析：由题可知，∠AOE = ∠DEO = 90°，OA = 3，∵AB·BC = 6，即矩形ABCD面积为6，∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\times6 = 3$，∴取点H(2,3)，即$S_{\triangle ABH}=\frac{1}{2}\cdot x_{H}\cdot y_{H}=\frac{1}{2}\times2\times3 = 3 = S_{\triangle ABD}$，∴DH//AB。∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∠BAD = 90°，∴点H在CD上，∴∠ADH = 90°。取AH的中点F，∴DF = 1，∴当D、F、E三点共线时，点D到x轴的距离DE的值最大。∵A(0,3)，H(2,3)，∴AH⊥y轴，∴∠HAO = 90°，∴四边形AOEF为矩形，∴EF = OA = 3，∴DE的最大值为EF + DF = 4。

8.（2024·扬州期末）如图，正方形ABCD的边长为2，∠BCM = 30°，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值为________。
　　　　　　

$\sqrt{2}-1$ 解析：连接BD，在BD上截取BG，使BG = BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB = BC = CD = AD = 2，∠ADC = ∠DCB = ∠ABC = ∠BAD = 90°，∠CBD = 45°，∴$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}} = 2\sqrt{2}$，BG = BC = 2，∴$DG = BD - BG = 2\sqrt{2}-2$。∵∠CBG = ∠EBF = 45°，∴∠CBE = ∠GBF。在△CBE和△GBF中，$\begin{cases} CB = GB \\ \angle CBE=\angle GBF \\ BE = BF \end{cases}$，∴△CBE≌△GBF（SAS），∴∠BCE = ∠BGF = 30°，∴点F在直线GF上运动，当点F与点H重合时，DF的值最小。∵DH⊥GF，∠DGH = ∠BGF = 30°，∴$DH=\frac{1}{2}DG=\sqrt{2}-1$。