答案 P25
[2024 沈阳 126 中月考]【问题初探】
数学课上，老师和学生探究课本 35 页的“思考·交流”的内容。
如图 1，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时∠2 + ∠3 = 90°，∠1 = ∠2。

(1) 若∠1 = 60°，则∠3 = °。
(2) ∠ADE 的余角是。
(3) ∠ADF 与∠BDE 的数量关系是，依据是。
(4) 图 1 中可以表示的互余的角有对。
【类比探究】
(5) 如图 2，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，并且∠2 + ∠3 = 90°，∠4 + ∠5 = 90°。如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5 = 40°，那么∠1 = °才能保证黑球准确入袋。
【学科融合】
(6) 小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似。光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角(反射角)等于入射光线与法线的夹角(入射角)。如图 3，EF 为一镜面，AO 为入射光线，入射点为点 O，ON 为法线(过入射点 O 且垂直于镜面 EF 的直线)，OB 为反射光线，此时反射角∠BON 等于入射角∠AON。如图 4，现有一激光反光装置，AE，BF 是两块可以分别绕 A，B 两点转动的镜面，O 点是激光发射装置。由 O 点发出的激光照射在点 A 和点 B 处，AG，BH 是两束反射光线。A，B 处于同一水平高度，已知入射光线 OA 和 OB 与水平线 MN 的夹角分别是 10°和 20°，镜面 AE 与立杆的夹角∠EAC = 45°，则反射光线 AG 与水平面的夹角∠GAN = °；通过调节 BF 的角度，当∠FBD = °时，反射光线 AG 和 BH 平行。

综合与实践
解：(1)30
因为$∠1=60^{\circ },∠1=∠2,∠2+∠3=90^{\circ }$，所以$∠3=90^{\circ }-∠2=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$。
(2)$∠ADC,∠3$
(3)相等 等角的补角相等
(4)9
$∠1$和$∠ADC$、$∠1$和$∠3$、$∠2$和$∠ADC$、$∠2$和$∠3$、$∠2$和$∠DNF$、$∠1$和$∠DNF$、$∠DNM$和$∠DNF$、$∠DNM$和$∠3$、$∠DNM$和$∠ADC$互为余角。
(5)40
如图1，过点F作$EF// AB$。由题意，得$AB// CD$，所以$AB// EF// CD$。因为$∠5=40^{\circ }$，所以$∠7=∠5=40^{\circ }$。因为$∠3=∠4$，所以$∠7=∠6=40^{\circ }$，所以$∠2=∠6=40^{\circ }$，所以$∠1=∠2=40^{\circ }$，所以$∠1=40^{\circ }$才能保证黑球准确入袋。

(6)80 50
如图2，过点A作$AP⊥AE$，过点B作$BQ⊥BF$。根据反射角等于入射角，得$∠GAP=∠OAP,∠HBQ=∠OBQ$。由题意，得$MN// CD,AC⊥CD,BD⊥CD$，所以$AC⊥MN,BD⊥MN$，所以$∠CAN=∠DBN=90^{\circ }$。因为$∠EAC=45^{\circ }$，所以$∠EAN=45^{\circ }$。因为$∠OAN=10^{\circ },AP⊥AE$，所以$∠OAP+∠OAN+∠EAN=∠PAE=90^{\circ }$，所以$∠OAP+10^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$，所以$∠OAP=35^{\circ }$，所以$∠GAP=∠OAP=35^{\circ }$，所以$∠GAO=2∠OAP=70^{\circ }$，所以$∠GAN=∠GAO+∠OAN=70^{\circ }+10^{\circ }=80^{\circ }$。设$∠FBD=α$，则$∠FBN=∠DBN-∠FBD=90^{\circ }-α$，因为$∠OBN=20^{\circ },BQ⊥BF$，所以$∠OBQ=∠QBF-∠OBN-∠FBN=90^{\circ }-20^{\circ }-(90^{\circ }-α)=α-20^{\circ }$，所以$∠HBO=2∠OBQ=2(α-20^{\circ })=2α-40^{\circ }$，所以$∠HBN=∠HBO+∠OBN=2α-40^{\circ }+20^{\circ }=2α-20^{\circ }$，当$AG// BH$时，$∠HBN=∠GAN$，所以$2α-20^{\circ }=80^{\circ }$，所以$α=50^{\circ }$，即$∠FBD=50^{\circ }$。