10.（1）已知$A(-1,y_1)$、$B(3,y_2)$两点在双曲线$y=\frac{3 + 2m}{x}$上，且$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是_______。
（2）（武汉中考）已知点$A(a,y_1)$、$B(a + 1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{m^2 + 1}{x}$（$m$是常数）的图像上，且$y_1＜y_2$，则$a$的取值范围是_______。

(1)$m＜-\frac{3}{2}$ 解析：由题意可知，-1＜0＜3，$y_1 ＞ y_2$，∴双曲线位于第二、四象限，∴3 + 2m＜0，解得$m＜-\frac{3}{2}$.
(2) -1＜a＜0 解析：∵$k = m^2 + 1＞0$，∴反比例函数$y = \frac{m^2 + 1}{x}$(m是常数)的图像在第一、三象限，在第一、三象限内，y随x的增大而减小. ①当A(a, $y_1$)，B(a + 1, $y_2$)在同一象限时，∵$y_1 ＜ y_2$，∴a＞a + 1，此时不等式无解；②当点A(a, $y_1$)，B(a + 1, $y_2$)在不同象限时，∵$y_1 ＜ y_2$，∴a＜0，a + 1＞0，解得-1＜a＜0.

11.（福建中考）设$A$、$B$、$C$、$D$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图像上的任意四点，现有以下结论：
①四边形$ABCD$可以是平行四边形；
②四边形$ABCD$可以是菱形；
③四边形$ABCD$不可能是矩形；
④四边形$ABCD$不可能是正方形。
其中正确的是_______。（写出所有正确结论的序号）

①④ 解析：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图像于A、C、B、D，得到四边形ABCD. 由对称性可知，OA = OC，OB = OD，∴四边形ABCD是平行四边形. 当OA = OC = OB = OD时，四边形ABCD是矩形. ∵反比例函数的图像在第一、三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，同理反比例函数的图像在第二、四象限时，直线AC与直线BD也不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形. 故结论①④正确.

12. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(3,5)$与点$C$关于原点$O$对称，分别过点$A$、$C$作$y$轴的平行线，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(0＜k＜15)$的图像交于点$B$、$D$，连接$AD$、$BC$，$AD$与$x$轴交于点$E(-2,0)$。
（1）求直线$AD$对应的函数表达式；
（2）求$k$的值；
（3）直接写出阴影部分图形的面积之和。

(1) 设直线AD对应的函数表达式为y = ax + b. ∵直线AD过点A(3, 5)，E(-2, 0)，∴$\begin{cases}3a + b = 5\\-2a + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$，∴直线AD的函数表达式为y = x + 2.
(2) ∵点A(3, 5)关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为(-3, -5). ∵CD//y轴，∴设点D的坐标为(-3, a)，∴a = -3 + 2 = -1，∴点D的坐标为(-3, -1). ∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像经过点D，∴k = -3×(-1) = 3.
(3) 12 解析：设AD、BC分别与y轴交于点G、F. ∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积. ∴$S_{阴影}$ = 4×3 = 12.

13. 设函数$y_1=\frac{k}{x}$，$y_2=\frac{k + 2}{x}(k \neq 0,k \neq -2)$，当$1 \leq x \leq 4$时，函数$y_1$的最大值为$m$，函数$y_2$的最小值为$m - 4$，则$m + k$的值为_______。

12或-10 解析：①当k＞0时，函数$y_1 = \frac{k}{x}$，$y_2 = \frac{k + 2}{x}$的图像在第一、三象限，根据题意，当x = 1时，函数$y_1 = \frac{k}{x}$有最大值m，当x = 4时，函数$y_2 = \frac{k + 2}{x}$有最小值m - 4，∴$\begin{cases}k = m\\\frac{k + 2}{4}=m - 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 6\\k = 6\end{cases}$，则m + k = 12.
②当k＜-2时，函数$y_1 = \frac{k}{x}$，$y_2 = \frac{k + 2}{x}$的图像在第二、四象限，根据题意，当x = 4时，函数$y_1 = \frac{k}{x}$有最大值m，当x = 1时，函数$y_2 = \frac{k + 2}{x}$有最小值m - 4，∴$\begin{cases}\frac{k}{4}=m\\k + 2=m - 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -2\\k = -8\end{cases}$，则m + k = -10.
③当-2＜k＜0时，函数$y_1 = \frac{k}{x}$的图像在第二、四象限，函数$y_2 = \frac{k + 2}{x}$的图像在第一、三象限，根据题意，当x = 4时，函数$y_1 = \frac{k}{x}$有最大值m，当x = 4时，函数$y_2 = \frac{k + 2}{x}$有最小值m - 4，∴$\begin{cases}\frac{k}{4}=m\\\frac{k + 2}{4}=m - 4\end{cases}$，无解，不符合题意. 故m + k的值为12或-10.

14.（郴州中考改编）参照学习函数的过程与方法，探究函数$y=\frac{x - 2}{x}(x \neq 0)$的图像与性质。 因为$y=\frac{x - 2}{x}=1-\frac{2}{x}$，即$y = -\frac{2}{x}+1$，所以我们对比函数$y = -\frac{2}{x}$来探究。 列表如下：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量$x$的取值为横坐标，以$y=\frac{x - 2}{x}$相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示。
（1）请把$y$轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来。
（2）观察图像并分析表格，回答下列问题：
①当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而_______；（填“增大”或“减小”）
②$y=\frac{x - 2}{x}$的图像是由$y = -\frac{2}{x}$的图像向_______平移_______个单位而得到的；
③图像关于点_______中心对称。（填点的坐标）
（3）设$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$是函数$y=\frac{x - 2}{x}$的图像上的两点，且$x_1 + x_2 = 0$，试求$y_1 + y_2 + 3$的值。

(1) 函数图像如图所示.

(2) ①增大 ②上 1 ③(0, 1)
(3) ∵$x_1 + x_2 = 0$，∴$x_1 = -x_2$，∴A($x_1$, $y_1$)、B($x_2$, $y_2$)关于点(0, 1)对称，∴$y_1 + y_2 = 2$，∴$y_1 + y_2 + 3 = 5$.