3. (2022·达州中考)如图①,在平面直角坐标系中,已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 2(a\neq0)$的图像经过点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,与$y$轴交于点$C$.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)连接$BC$,在该二次函数图像上是否存在点$P$,使$\angle PCB= \angle ABC$？若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
(3)如图②,直线$l$为该二次函数图像的对称轴,交$x$轴于点$E$.若点$Q$为$x$轴上方二次函数图像上一动点,过点$Q$作直线$AQ$、$BQ$分别交直线$l$于点$M$、$N$,在点$Q$的运动过程中,$EM + EN$的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
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(1)求该二次函数的表达式.
(2)连接$BC$,在该二次函数图像上是否存在点$P$,使$\angle PCB= \angle ABC$？若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
(3)如图②,直线$l$为该二次函数图像的对称轴,交$x$轴于点$E$.若点$Q$为$x$轴上方二次函数图像上一动点,过点$Q$作直线$AQ$、$BQ$分别交直线$l$于点$M$、$N$,在点$Q$的运动过程中,$EM + EN$的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
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答案
4. (2023·衡阳中考)如图,已知抛物线$y = ax^{2}-2ax + 3(a\neq0)$与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$,与$y$轴交于点$C$,连接$AC$,过$B$、$C$两点作直线.
(1)求$a$的值.
(2)将直线$BC$向下平移$m(m＞0)$个单位长度,交抛物线于$B'$、$C'$两点.在直线$B'C'$上方的抛物线上是否存在定点$D$,无论$m$取何值时,都是点$D$到直线$B'C'$的距离最大.若存在,请求出点$D$的坐标；若不存在,请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点$P$,使$\angle PBC+\angle ACO = 45^{\circ}$,若存在,请求出直线$BP$的表达式；若不存在,请说明理由.
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(1)求$a$的值.
(2)将直线$BC$向下平移$m(m＞0)$个单位长度,交抛物线于$B'$、$C'$两点.在直线$B'C'$上方的抛物线上是否存在定点$D$,无论$m$取何值时,都是点$D$到直线$B'C'$的距离最大.若存在,请求出点$D$的坐标；若不存在,请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点$P$,使$\angle PBC+\angle ACO = 45^{\circ}$,若存在,请求出直线$BP$的表达式；若不存在,请说明理由.
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答案
