典例2 已知二次函数$y = x^{2}+(m - 2)x + m - 4$,其中$m ＞ 2$．
(1)当该函数的图像经过原点$O(0,0)$时,求二次函数图像的顶点$A$的坐标；
(2)求证：二次函数$y = x^{2}+(m - 2)x + m - 4$图像的顶点在第三象限；
(3)如图,在(1)的条件下,若平移该二次函数的图像,使其顶点在直线$y = -x - 2$上运动,平移后所得函数的图像与$y$轴的负半轴的交点为$B$,连接$OA$,$AB$,求$\triangle AOB$面积的最大值．

[思路点拨](1)把原点$O(0,0)$代入二次函数的表达式求解．(2)由顶点坐标公式,得出顶点坐标,再配方,结合自变量$m$的取值范围可证出结论．(3)以$OB$为底,点$A$到$y$轴的距离为高求出$\triangle AOB$的面积,得到一个关于$b$的代数式,再配方求最大值．

典例2(1)$\because$二次函数$y=x^{2}+(m - 2)x + m - 4$的图像经过原点$O(0,0)$，$\therefore m - 4 = 0$，解得$m = 4$.$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^{2}+2x=(x + 1)^{2}-1$.$\therefore$二次函数图像的顶点$A$的坐标为$(-1,-1)$.
(2)由顶点坐标公式，得二次函数$y=x^{2}+(m - 2)x + m - 4$图像的顶点坐标为$(\frac{2 - m}{2},\frac{-m^{2}+8m - 20}{4})$.$\because m＞2$，$\therefore 2 - m＜0$.$\therefore\frac{2 - m}{2}＜0$.$\because\frac{-m^{2}+8m - 20}{4}=-\frac{1}{4}(m - 4)^{2}-1\leqslant-1＜0$，$\therefore$二次函数$y=x^{2}+(m - 2)x + m - 4$图像的顶点在第三象限.
(3)设平移后所得图像对应的二次函数表达式为$y=x^{2}+bx + c$，则其顶点坐标为$(-\frac{b}{2},\frac{4c - b^{2}}{4})$.令$x = 0$，得$y = c$.$\therefore$点$B$的坐标为$(0,c)$.$\because$顶点$(-\frac{b}{2},\frac{4c - b^{2}}{4})$在直线$y=-x - 2$上，$\therefore\frac{4c - b^{2}}{4}=\frac{b}{2}-2$.$\therefore c=\frac{b^{2}+2b - 8}{4}$.$\because$点$B(0,c)$在$y$轴的负半轴上，$\therefore c＜0$.$\therefore OB=-c=-\frac{b^{2}+2b - 8}{4}$.如图，过点$A$作$AH\perp OB$于点$H$.$\because$点$A$的坐标为$(-1,-1)$，$\therefore AH = 1$.$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OB\cdot AH=\frac{1}{2}\times(-\frac{b^{2}+2b - 8}{4})\times1=-\frac{1}{8}(b^{2}+2b - 8)=-\frac{1}{8}(b + 1)^{2}+\frac{9}{8}$.$\because-\frac{1}{8}＜0$，$\therefore$当$b=-1$时，此时$c＜0$，$S_{\triangle AOB}$取得最大值，为$\frac{9}{8}$.$\therefore\triangle AOB$面积的最大值是$\frac{9}{8}$.