10 [2024 黔西南州期末]如图，已知∠BAC = 90°，DE 与 AC 相交于点 F，BD//EC，且∠ABD + ∠CED = 180°。
（1）试说明：DE⊥AC。
（2）连接 BE，若∠BDE = 60°，且∠ABE：∠ABD = 1：3，求∠CEB 的度数。

10 解:(1)因为∠BAC = 90°,所以AB⊥AC。因为BD//EC,所以∠BDE = ∠CED。因为∠ABD + ∠CED = 180°,所以∠ABD + ∠BDE = 180°,所以AB//DE,所以DE⊥AC。(2)由(1)得AB//DE,因为∠BDE = 60°,所以∠ABD = 180° - 60° = 120°。因为∠ABE:∠ABD = 1:3,所以∠ABE = $\frac{1}{3}$∠ABD = $\frac{1}{3}$×120° = 40°,所以∠BED = ∠ABE = 40°。因为BD//EC,所以∠CED = ∠BDE = 60°,所以∠CEB = ∠CED + ∠BED = 60° + 40° = 100°。

11 [2024 丽水莲都区期末]如图，点 O 是直线 AB 上的一点，射线 OC，OD 在直线 AB 的异侧，已知 OC⊥OD，OE 平分∠AOC。
（1）若∠BOD = 40°，求∠AOE 的度数。
（2）∠AOE 与∠BOD 是否可能成为对顶角？若可能，请求出∠BOD 的度数；若不可能，请说明理由。

11 解:(1)因为OC⊥OD,所以∠BOC + ∠BOD = 90°,又因为∠BOD = 40°,所以∠BOC = 90° - ∠BOD = 50°,所以∠AOC = 180° - ∠BOC = 130°。因为OE平分∠AOC,所以∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = 65°。(2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角。理由如下:当∠AOE与∠BOD成为对顶角时,∠AOE = ∠BOD,∠BOD + ∠BOC + ∠COE = 180°。因为OE平分∠AOC,所以∠AOE = ∠COE,所以∠BOD = ∠COE。因为OC⊥OD,所以∠BOC + ∠BOD = 90°,所以∠BOC + ∠COE = 90°,所以∠BOC + ∠BOD + ∠BOC + ∠COE = 180°,与∠BOD + ∠BOC + ∠COE = 180°相矛盾,所以∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角。

12 [2025 湘潭期末]已知直线 a//b，嘉淇对直角三角尺在这两条平行线间的摆放进行了探究。
(1)如图 1，嘉淇把三角尺的直角顶点放在直线 b 上。若∠α = 40°，则∠β 的度数为。
(2)将含 60°角的直角三角尺 ABC(∠ACB = 60°)如图 2 所示摆放，当 BA 平分∠MBC 时，CA 一定平分∠BCN 吗？请作出判断，并说明理由。
(3)将一副直角三角尺按如图 3 所示方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含 60°角的直角三角尺 ABC(∠ACB = 60°)的直角顶点与 45°角的顶点重合于点 A，直角三角尺 ABC 的斜边 BC 在直线 b 上，含 45°角的直角三角尺的另一个顶点 D 在直线 a 上，求∠γ 的度数。

12 解:(1)130°(2)CA一定平分∠BCN。理由如下:因为∠ACB = 60°,∠CAB = 90°,所以∠ABC = 30°。因为BA平分∠MBC,所以∠MBC = 2∠ABC = 60°。因为a//b,所以∠MBC + ∠BCN = 180°,所以∠BCN = 120°,所以∠2 = ∠BCN - ∠ACB = 60°,所以∠2 = ∠ACB,即CA平分∠BCN。(3)如图,延长CA交直线a于点F。

由题意,得∠ACB = 60°,∠DAE = 45°,∠BAC = 90°,所以∠CAD = ∠BAC + ∠DAE = 135°,所以∠DAF = 45°。因为a//b,所以∠AFD + ∠ACB = 180°,所以∠AFD = 180° - ∠ACB = 120°,所以∠γ = 180° - ∠DAF - ∠AFD = 15°。