20.(本题8分)如图1,点P在∠MAN的平分线上,PB//AN交AM于点B。
任务:用尺规在射线AN上确定一点C,使得四边形ABPC是菱形。
小江:如图2,以点A为圆心,AB为半径作弧,交AN于点C,连结PC,则四边形ABPC是菱形。
小北:以点P为圆心,PB为半径作弧,交AN于点C,连结PC,则四边形ABPC是菱形。
小江:小北,我认为你的作法有问题哦。
小北:是吗?让我想想……哦!我明白了。
(1)证明:小江所作的四边形ABPC是菱形;
(2)请指出小北作法中存在的问题,并说明理由。

20.解:(1)证明:因为AP平分∠MAN,所以∠MAP=∠NAP。因为PB//AN,所以∠APB=∠NAP,所以∠MAP=∠APB,所以AB=PB。因为由作法可知AB=AC,所以AC=PB,所以四边形ABPC是平行四边形。因为AB=AC,所以平行四边形ABPC是菱形;
(2)以P为圆心PB为半径作弧,与AN可能会有两个交点,其中只有一个点满足要求。

【分析】
要解决本题，需结合角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形和菱形的判定定理分析：
(1) 证明小江所作四边形为菱形，先利用AP平分∠MAN得到等角关系，结合PB//AN推出边相等，再根据作法得到边的等量关系，结合平行线判定平行四边形，最后由邻边相等判定菱形；
(2) 分析小北的作法，其以P为圆心作弧得到的点C无法保证AB//PC，不能直接判定为平行四边形，且弧与AN有两个交点，仅一个能构成菱形，故作法存在问题。
【解析】
(1) 证明：
∵ AP平分∠MAN，
∴ ∠MAP = ∠NAP。
∵ PB//AN，
∴ ∠APB = ∠NAP，
∴ ∠MAP = ∠APB，
∴ AB = PB。
由小江的作法可知AB = AC，
∴ AC = PB。
又
∵ PB//AN，即PB//AC，
∴ 四边形ABPC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ AB = AC，
∴ 平行四边形ABPC是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2) 小北的作法存在的问题：以点P为圆心，PB为半径作弧，与射线AN会有两个交点，其中只有一个交点能使四边形ABPC是菱形，另一个交点无法满足AB//PC，不能构成菱形。
理由：按小北的作法仅能得到PC = PB，无法保证AB//PC，因此不能直接判定四边形ABPC是平行四边形，无法确定是菱形，故该作法不严谨，存在问题。
【答案】
20.解:(1)证明:因为AP平分∠MAN,所以∠MAP=∠NAP。因为PB//AN,所以∠APB=∠NAP,所以∠MAP=∠APB,所以AB=PB。因为由作法可知AB=AC,所以AC=PB,所以四边形ABPC是平行四边形。因为AB=AC,所以平行四边形ABPC是菱形;(2)以P为圆心PB为半径作弧,与AN可能会有两个交点,其中只有一个点满足要求。
【知识点】
角平分线性质、平行线性质、菱形判定
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定，需熟练运用角平分线、平行线的性质推导边与角的关系，区分不同作法对四边形判定的影响，是几何综合题的常见题型，需注重逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6