1.「2026江苏南通海安期末改编」已知 C,B 两点在线段 AD 上(点 C 在点 B 左侧),点 E 在线段 AC 上,点 F 在线段 BD 上.
(1)如图1,点 E 为线段 AC 的中点,点 F 为线段 BD 的中点.
①若$AD=9,BC=1$,则 EF 的长为.
②若$AB=6,CD=4$,求 EF 的长.
(2)如图2,当$EC=\frac{1}{3}AC,FD=\frac{1}{3}BD,AB=2CD$时,求 EF 与 AB 的等量关系.

1.解析 (1)①因为AD=9,BC=1,
所以AC+BD=AD-BC=9-1=8,
因为点E为线段AC的中点,点F为线段BD的中点,
所以$EC=\frac{1}{2}AC,BF=\frac{1}{2}BD$,
所以$EC+BF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=4$,
所以EF=EC+BF+BC=4+1=5.
②设BC=x,则AC=AB-BC=6-x,BD=CD-BC=4-x,
因为点E为线段AC的中点,点F为线段BD的中点,
所以$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{6-x}{2},BF=\frac{1}{2}BD=\frac{4-x}{2}$,
所以$EF=EC+BF+BC=\frac{6-x}{2}+\frac{4-x}{2}+x=5$.
(2)设EC=a,则AC=3a,
设FD=b,则BD=3b,BF=2b,
设BC=c,则AB=AC+BC=3a+c,CD=BD+BC=3b+c,
EF=EC+BC+BF=a+c+2b,
因为AB=2CD,所以3a+c=2(3b+c),
整理得c=3a-6b,
则EF=a+c+2b=4a-4b=4(a-b),
AB=3a+c=6a-6b=6(a-b),
所以$EF=\frac{2}{3}AB$.

2.「2026江苏南京江宁月考」如图,射线OC在∠AOB的内部,OM,ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线.
(1)如果∠AOB = 140°,∠AOC = 60°,那么∠MON是多少度?
(2)请写出∠MON与∠BOC的数量关系,并说明理由.

2.解析 (1)因为射线OC在∠AOB的内部,OM,ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线,
所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$,$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×60°=30°$,
所以$∠ MON=∠ AOM-∠ AON=70°-30°=40°$.
(2)$∠ MON=\frac{1}{2}∠ BOC$.理由如下：
因为射线OC在∠AOB的内部,OM,ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线,
所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB,∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC$,
所以$∠ MON=∠ AOM-∠ AON=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ BOC$.

3.「2026江苏无锡天一中学月考」如图,点O在直线AB上,在直线AB的上方作两条射线OC,OD.
(1)若∠COD=90°,则图1中∠AOC的余角是,∠AOC的补角是.
(2)如图2,OE是∠AOD的平分线,OF是∠BOC的平分线.
①若∠COD=90°,求∠EOF的度数.
②设∠EOF=α,直接用含α的代数式表示∠COD的度数.

3.解析 (1)∠BOD;∠BOC.
(2)①因为∠AOB=180°,∠COD=90°,
所以∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°,
因为OE是∠AOD的平分线,OF是∠BOC的平分线,
所以$∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD,∠ FOC=\frac{1}{2}∠ BOC$,
所以$∠ EOF=(∠ EOD+∠ FOC)-∠ COD$
$=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOC)-∠ COD$
$=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)-∠ COD$
$=\frac{1}{2}×(180°+90°)-90°=45°$.
②∠COD的度数为180°-2α.
详解:因为OE是∠AOD的平分线,OF是∠BOC的平分线,
所以$∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD,∠ FOC=\frac{1}{2}∠ BOC$,
所以$∠ COD=∠ EOD+∠ FOC-∠ EOF$
$=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOC)-∠ EOF$
$=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)-∠ EOF$
$=\frac{1}{2}(180°+∠ COD)-α$,
所以∠COD=180°-2α.