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仿照下面的步骤画一个五角星(图 1)：
(1)任意画一个圆；
(2)以圆心为顶点，连续画$72°$(即$360° ÷ 5$)的角，与圆相交于五个点；
(3)连接每隔一点的两个点；
(4)擦去多余的线，就得到一个五角星。
你能说出这种画法的道理吗？你还有其他的画法吗？类似地，你能画出一个六角星吗？
通过折纸(图 2)，你能制作出一个五角星吗？沿不同的$∠ α$剪开，得到的五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的$∠ α$试一试！
许多艺术设计和图案设计都与星形有关，在你画出的五角星和六角星上着色，可以得到如图3所示的艺术图案，你能在此基础上再设计一些图案吗？
(1)任意画一个圆；
(2)以圆心为顶点，连续画$72°$(即$360° ÷ 5$)的角，与圆相交于五个点；
(3)连接每隔一点的两个点；
(4)擦去多余的线，就得到一个五角星。
你能说出这种画法的道理吗？你还有其他的画法吗？类似地，你能画出一个六角星吗？
通过折纸(图 2)，你能制作出一个五角星吗？沿不同的$∠ α$剪开，得到的五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的$∠ α$试一试！
许多艺术设计和图案设计都与星形有关，在你画出的五角星和六角星上着色，可以得到如图3所示的艺术图案，你能在此基础上再设计一些图案吗？
答案
解：
1. 该画法的道理：
周角为360°，将其平均分成5份，每份对应的圆心角是72°，得到的5个交点是圆的五等分点，顺次连接这5个点可得到正五边形，连接正五边形中间隔一个顶点的两个顶点，就能得到各边相等、各角相等的正五角星。
2. 其他画法示例：
先画出边长都相等的正五边形，再依次连接正五边形不相邻的顶点，擦去正五边形的原有边，即可得到五角星。
3. 六角星的画法：
任意画一个圆，以圆心为顶点，连续画60°（即360°÷6）的角，与圆相交得到6个六等分点，间隔选取3个点连成第一个正三角形，剩下的3个点连成第二个正三角形，两个正三角形叠加就得到正六角星。
4. 折纸相关结论：
按图2的步骤折叠纸张，可以制作出五角星；沿不同的∠α剪开，得到的五角星形状不相同；当∠α约为36°时，剪出的五角星边角比例匀称，最为美观。
5. 图案设计示例：
将五角星的五个尖角分别填充不同的亮色，内部的小五边形填充渐变色彩，在五角星的每条边上添加对称的小三角装饰；将六角星的两个重叠正三角形分别填充不同的对比色，在六角星中心的六边形区域绘制对称的六瓣花纹，即可得到新的艺术图案。
1. 该画法的道理：
周角为360°，将其平均分成5份，每份对应的圆心角是72°，得到的5个交点是圆的五等分点，顺次连接这5个点可得到正五边形，连接正五边形中间隔一个顶点的两个顶点，就能得到各边相等、各角相等的正五角星。
2. 其他画法示例：
先画出边长都相等的正五边形，再依次连接正五边形不相邻的顶点，擦去正五边形的原有边，即可得到五角星。
3. 六角星的画法：
任意画一个圆，以圆心为顶点，连续画60°（即360°÷6）的角，与圆相交得到6个六等分点，间隔选取3个点连成第一个正三角形，剩下的3个点连成第二个正三角形，两个正三角形叠加就得到正六角星。
4. 折纸相关结论：
按图2的步骤折叠纸张，可以制作出五角星；沿不同的∠α剪开，得到的五角星形状不相同；当∠α约为36°时，剪出的五角星边角比例匀称，最为美观。
5. 图案设计示例：
将五角星的五个尖角分别填充不同的亮色，内部的小五边形填充渐变色彩，在五角星的每条边上添加对称的小三角装饰；将六角星的两个重叠正三角形分别填充不同的对比色，在六角星中心的六边形区域绘制对称的六瓣花纹，即可得到新的艺术图案。
解析
【分析】
我们可以结合已学的周角特征、圆的等分规律逐步思考：①解释给定五角星画法的道理时，先从周角总度数是360°入手，平均分成5份每份对应圆心角为72°，得到的5个交点是圆上均匀分布的五等分点，基于五等分点就能构造出规则的五角星；②思考其他五角星画法时，可以从正五边形和五角星的关联切入；③画六角星时类比五角星的画法逻辑，将圆6等分后构造对应图形即可；④折纸相关结论可以结合动手操作的规律总结，图案设计部分结合审美自由发挥创意即可。
【解析】
1. 画法道理：周角总度数为360°，把周角平均分成5份，每份对应的圆心角就是$360°÷5=72°$，得到的5个交点是圆的五等分点，顺次连接这5个点可得到正五边形，连接正五边形中间隔一个顶点的两个顶点，就能得到各边相等、各角相等的正五角星。
2. 其他画法示例：先画出边长都相等的正五边形，再依次连接正五边形不相邻的顶点，擦去正五边形的原有边，即可得到五角星。
3. 六角星的画法：任意画一个圆，以圆心为顶点，连续画$60°$（即$360°÷6$）的角，与圆相交得到6个六等分点，间隔选取3个点连成第一个正三角形，剩下的3个点连成第二个正三角形，两个正三角形叠加就得到正六角星。
4. 折纸相关结论：按给定步骤折叠纸张，可以制作出五角星；沿不同的$∠α$剪开，得到的五角星形状不相同；当$∠α$约为$36°$时，剪出的五角星边角比例匀称，最为美观。
5. 图案设计示例：将五角星的五个尖角分别填充不同的亮色，内部的小五边形填充渐变色彩，在五角星的每条边上添加对称的小三角装饰；将六角星的两个重叠正三角形分别填充不同的对比色，在六角星中心的六边形区域绘制对称的六瓣花纹，即可得到新的艺术图案。（图案设计不唯一，合理即可）
【答案】
1. 该画法的道理：
周角为360°，将其平均分成5份，每份对应的圆心角是72°，得到的5个交点是圆的五等分点，顺次连接这5个点可得到正五边形，连接正五边形中间隔一个顶点的两个顶点，就能得到各边相等、各角相等的正五角星。
2. 其他画法示例：
先画出边长都相等的正五边形，再依次连接正五边形不相邻的顶点，擦去正五边形的原有边，即可得到五角星。
3. 六角星的画法：
任意画一个圆，以圆心为顶点，连续画60°（即360°÷6）的角，与圆相交得到6个六等分点，间隔选取3个点连成第一个正三角形，剩下的3个点连成第二个正三角形，两个正三角形叠加就得到正六角星。
4. 折纸相关结论：
按图2的步骤折叠纸张，可以制作出五角星；沿不同的∠α剪开，得到的五角星形状不相同；当∠α约为36°时，剪出的五角星边角比例匀称，最为美观。
5. 图案设计示例：
将五角星的五个尖角分别填充不同的亮色，内部的小五边形填充渐变色彩，在五角星的每条边上添加对称的小三角装饰；将六角星的两个重叠正三角形分别填充不同的对比色，在六角星中心的六边形区域绘制对称的六瓣花纹，即可得到新的艺术图案。（图案设计合理即可）
【知识点】
周角的性质、圆的等分、图形操作与设计
【点评】
这道题将基础几何知识和动手实践、创意设计相结合，既考察了对周角、圆等分等核心知识点的理解，又能锻炼实践操作能力和审美意识，充分体现了数学在艺术设计中的应用价值。
【难度系数】
0.7
我们可以结合已学的周角特征、圆的等分规律逐步思考：①解释给定五角星画法的道理时，先从周角总度数是360°入手，平均分成5份每份对应圆心角为72°，得到的5个交点是圆上均匀分布的五等分点，基于五等分点就能构造出规则的五角星；②思考其他五角星画法时，可以从正五边形和五角星的关联切入；③画六角星时类比五角星的画法逻辑，将圆6等分后构造对应图形即可；④折纸相关结论可以结合动手操作的规律总结，图案设计部分结合审美自由发挥创意即可。
【解析】
1. 画法道理：周角总度数为360°，把周角平均分成5份，每份对应的圆心角就是$360°÷5=72°$，得到的5个交点是圆的五等分点，顺次连接这5个点可得到正五边形，连接正五边形中间隔一个顶点的两个顶点，就能得到各边相等、各角相等的正五角星。
2. 其他画法示例：先画出边长都相等的正五边形，再依次连接正五边形不相邻的顶点，擦去正五边形的原有边，即可得到五角星。
3. 六角星的画法：任意画一个圆，以圆心为顶点，连续画$60°$（即$360°÷6$）的角，与圆相交得到6个六等分点，间隔选取3个点连成第一个正三角形，剩下的3个点连成第二个正三角形，两个正三角形叠加就得到正六角星。
4. 折纸相关结论：按给定步骤折叠纸张，可以制作出五角星；沿不同的$∠α$剪开，得到的五角星形状不相同；当$∠α$约为$36°$时，剪出的五角星边角比例匀称，最为美观。
5. 图案设计示例：将五角星的五个尖角分别填充不同的亮色，内部的小五边形填充渐变色彩，在五角星的每条边上添加对称的小三角装饰；将六角星的两个重叠正三角形分别填充不同的对比色，在六角星中心的六边形区域绘制对称的六瓣花纹，即可得到新的艺术图案。（图案设计不唯一，合理即可）
【答案】
1. 该画法的道理：
周角为360°，将其平均分成5份，每份对应的圆心角是72°，得到的5个交点是圆的五等分点，顺次连接这5个点可得到正五边形，连接正五边形中间隔一个顶点的两个顶点，就能得到各边相等、各角相等的正五角星。
2. 其他画法示例：
先画出边长都相等的正五边形，再依次连接正五边形不相邻的顶点，擦去正五边形的原有边，即可得到五角星。
3. 六角星的画法：
任意画一个圆，以圆心为顶点，连续画60°（即360°÷6）的角，与圆相交得到6个六等分点，间隔选取3个点连成第一个正三角形，剩下的3个点连成第二个正三角形，两个正三角形叠加就得到正六角星。
4. 折纸相关结论：
按图2的步骤折叠纸张，可以制作出五角星；沿不同的∠α剪开，得到的五角星形状不相同；当∠α约为36°时，剪出的五角星边角比例匀称，最为美观。
5. 图案设计示例：
将五角星的五个尖角分别填充不同的亮色，内部的小五边形填充渐变色彩，在五角星的每条边上添加对称的小三角装饰；将六角星的两个重叠正三角形分别填充不同的对比色，在六角星中心的六边形区域绘制对称的六瓣花纹，即可得到新的艺术图案。（图案设计合理即可）
【知识点】
周角的性质、圆的等分、图形操作与设计
【点评】
这道题将基础几何知识和动手实践、创意设计相结合，既考察了对周角、圆等分等核心知识点的理解，又能锻炼实践操作能力和审美意识，充分体现了数学在艺术设计中的应用价值。
【难度系数】
0.7
