1. (2024·江西吉安吉州区期中)填空:已知$∠ AOB=$$90°,∠ COD=90°,OE$平分$∠ BOD,∠ AOC=30°.$
(1)如图,$OC$在$∠ AOB$内部时,求$∠ COE$的度数.
解:$\because ∠ AOB=90°,\therefore ∠ BOC+∠ AOC=90°.$
$\because ∠ COD=90°,\therefore ∠ BOC+∠ BOD=90°,$
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD(\_\_\_\_\_\_)$(填写推理依据).
$\because ∠ AOC=30°,\therefore ∠ BOD=30°.$
$\because OE$平分$∠ BOD,$
$\therefore ∠ DOE=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_°(\_\_\_\_\_\_)$(填写推理依据),
$\therefore ∠ COE=∠ COD-∠ DOE=\_\_\_\_\_\_°.$
(2)若$OC$在$∠ AOB$外部,$∠ COE$的度数为.


(变式1.1)

(1) 推理依据：同角的余角相等；$∠ DOE=∠ BOE=15°$，推理依据：角平分线的定义；$∠ COE=75°$
(2) $165°$或$105°$
解析分情况讨论：
①如图(1),当 OD 在$∠AOB$外部时,$\because ∠AOB=90°,$
$∠COD=90°,∠AOC=30°,$
$\therefore ∠BOD=360°-90°-90°-30°=150°.$
$\because OE$平分$∠BOD,\therefore ∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=75°,$
$\therefore ∠COE=∠COD+DOE=90°+75°=165°.$
②如图(2),当 OD 在$∠AOB$内部时,$\because ∠AOB=90°,$
$∠COD=90°,∠AOC=30°,\therefore ∠BOD=30°.$
$\because OE$平分$∠BOD,\therefore ∠DOE=15°.$
$\therefore ∠COE=∠COD+DOE=90°+15°=105°.$

变式1.1 （2025·北京怀柔区期末）如图是某航海区域的情况，在灯塔$O$附近有$A,B,C,D,E,F$六座海轮，其中$F$到灯塔的距离为10 km，海轮$F$在灯塔和海轮$D$的中点处. 且$∠ AOD=42°30'$，$∠ DOE=∠ AOC=78.5°$. 则下列说法正确的是().
①若海轮$F$的速度为30 km/h，则海轮$F$抵达灯塔需要20 min；②$∠ EOC=43°$；③$∠ BOE=59°$；④$C$在灯塔的北偏东$11°30'$的方向上.

A.①④
B.①②
C.①③④
D.①②③④

C
解析①若海轮 F 的速度为 30 km/h,则海轮 F抵达灯塔需要$\frac{10}{30}h=20\min$,故①正确;②$\because ∠DOE=∠AOC,$
$\therefore ∠DOE-∠COD=∠AOC-∠COD,\therefore ∠EOC=∠AOD=42°30'$,故②错误;③$∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=180°-42°30'-78.5°=59°$,故③正确;④$\because 90°-∠AOC=11°30',\therefore C$在灯塔的北偏东$11°30'$的方向上,故④正确.故选 C.

变式 1.2 （2025·陕西西安高陵区期末）[问题背景]已知
$OB$ 是 $∠ AOC$ 内部的一条射线，$OM$ 是 $∠ AOB$ 内部的一条射线，$ON$ 是 $∠ BOC$ 内部的一条射线.
[初步探究](1) 如图(1)，已知$∠ AOB=30°$，$OM$是$∠ AOB$的角平分线.
①则$∠ AOM=$；
②若$∠ MON=70°$，$ON$是$∠ BOC$的角平分线，求$∠ BOC$的度数.
[拓展提升](2) 如图(2)，若$∠ AOC=140°$，$∠ AOB=$$4∠ AOM=4∠ CON$，且$∠ BON=\dfrac{2}{3}∠ BOM$，求$∠ MON$的度数.

(1)①$15°$
解析$\because ∠AOB=30°$,OM 是$∠AOB$的角平分线,$\therefore ∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=15°$.
②$\because ∠AOB=30°$,OM 是$∠AOB$的平分线,
$\therefore ∠BOM=∠AOM=15°.$
$\because ∠MON=70°,\therefore ∠BON=∠MON-∠BOM=55°.$
$\because ON$ 平分$∠BOC,\therefore ∠BOC=2∠BON=110°.$
(2)设$∠AOM=∠CON=α$,则$∠AOB=4α$.
$\because ∠BOM=∠AOB-∠AOM,\therefore ∠BOM=4α-α=3α.$
$\because ∠BON=\frac{2}{3}∠BOM,\therefore ∠BON=2α.$
$\because ∠AOC=∠AOB+∠BON+∠CON=140°,$
$\therefore 4α+2α+α=140°,\therefore α=20°.$
$\because ∠MON=∠BOM+∠BON,$
$\therefore ∠MON=3α+2α=100°.$

2. (2025·河南漯河舞阳期末)如图,$OB$是$∠ AOC$内部一条射线,$OM$是$∠ AOB$平分线,$ON$是$∠ AOC$的平分线,$OP$是$∠ NOA$平分线,$OQ$是$∠ MOA$的平分线,则$∠ POQ:∠ BOC=(\quad)$.


A.$1:2$
B.$1:3$
C.$2:5$
D.$1:4$

D
解析$\because OM$是$∠AOB$的平分线,OQ 是$∠MOA$平分线,$\therefore ∠AOQ=\frac{1}{2}∠AOM=\frac{1}{4}∠AOB.$
$\because ON$是$∠AOC$的平分线,OP 是$∠NOA$的平分线,
$\therefore ∠AOP=\frac{1}{2}∠AON=\frac{1}{4}∠AOC=\frac{1}{4}(∠AOB+∠BOC),$
$\therefore ∠POQ=∠AOP-∠AOQ=\frac{1}{4}(∠AOB+∠BOC)-\frac{1}{4}∠AOB=\frac{1}{4}∠BOC,$
$\therefore ∠POQ:∠BOC=1:4.$
故选 D.