1 [2024河北唐山期末,中]如图,△ABC中,
∠A=65°,直线DE交AB于点D,交AC于点E,
则∠BDE+∠CED= ()


A.180°
B.215°
C.235°
D.245°

1. D　[解析]因为$∠ A=65^{\circ}$,所以$∠ ADE+∠ AED=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$,所以$∠ BDE+∠ CED=360^{\circ}-115^{\circ}=245^{\circ}$,故选D.

2 [2024重庆万州区期末,中]如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外部点A'处时,测得∠1=70°,∠2=140°,则∠A的度数为 ()

A.25°
B.30°
C.35°
D.40°

2. B　[解析]因为$∠ 1=70^{\circ}$,$∠ 2=140^{\circ}$,所以$∠ B+∠ C=360^{\circ}-∠ 1-∠ 2=360^{\circ}-70^{\circ}-140^{\circ}=150^{\circ}$,所以$∠ A=180^{\circ}-(∠ B+∠ C)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$.故选B.

3 [2024河北唐山期末,中]如图,∠ABD,∠ACD的平分线交于点P,若∠A=55°,∠D=15°,则∠P的度数为 ()


A.15°
B.20°
C.25°
D.30°

3. B　[解析]如图,延长PC交BD于E.因为$∠ ABD$,$∠ ACD$的平分线交于点P,所以$∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=∠ 4$.由三角形的内角和定理得,$∠ A+∠ 1=∠ P+∠ 3$.①在$△ PBE$中,$∠ 5=∠ 2+∠ P$,在$△ DCE$中,$∠ 5=∠ 4-∠ D$,所以$∠ 2+∠ P=∠ 4-∠ D$.②① - ②得$∠ A-∠ P=∠ P+∠ D$,所以$∠ P=\frac{1}{2}(∠ A-∠ D)$.因为$∠ A=55^{\circ}$,$∠ D=15^{\circ}$,所以$∠ P=\frac{1}{2}(55^{\circ}-15^{\circ})=20^{\circ}$.故选B.

4 [2024山西大同校级质检,中]问题情境:
如图(1)所示的图形像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样的图形叫作“规形图”.
探究发现:
(1)观察“规形图”,试探究∠D与∠BAC,∠B,∠C之间的数量关系,并说明理由.
解决问题:
(2)请你利用以上结论,解决下列问题:
①如图(2),把一块含45°角的三角尺DEF放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边DE,DF恰好经过点B,C,若∠A=40°,则∠ABD+∠ACD=°;
②如图(3),BD平分∠ABP,CD平分∠ACP,若∠A=40°,∠P=130°,则∠D的度数为.

4. [解](1)$∠ BDC=∠ BAC+∠ B+∠ C$.理由:如图，连接AD并延长至点F.根据外角的性质，可得$∠ BDF=∠ BAD+∠ B$,$∠ CDF=∠ C+∠ CAD$.又因为$∠ BDC=∠ BDF+∠ CDF$,$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD$,所以$∠ BDC=∠ BAC+∠ B+∠ C$.

(2)①由(1)可得$∠ D=∠ ABD+∠ ACD+∠ A$.又因为$∠ A=40^{\circ}$,$∠ D=90^{\circ}$,所以$∠ ABD+∠ ACD=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$,故答案为50.
②由(1)可得$∠ P=∠ A+∠ ABP+∠ ACP$,$∠ D=∠ A+∠ ABD+∠ ACD$,所以$∠ ABP+∠ ACP=∠ P-∠ A=130^{\circ}-40^{\circ}=90^{\circ}$.又因为BD平分$∠ ABP$,CD平分$∠ ACP$，所以$∠ ABD+∠ ACD=\frac{1}{2}(∠ ABP+∠ ACP)=45^{\circ}$,所以$∠ D=45^{\circ}+40^{\circ}=85^{\circ}$.故答案为85°.

5 [中]如图,∠A=∠C=90°,AD,BC交于点E,∠2=27°,则∠1的大小为 ()


A.53°
B.43°
C.37°
D.27°

5. D　[解析]由对顶角相等得$∠ CED=∠ AEB$.因为$∠ A=∠ C=90^{\circ}$,所以$∠ CED+∠ 1=90^{\circ}$,$∠ AEB+∠ 2=90^{\circ}$,所以$∠ 1=∠ 2=27^{\circ}$.故选D.

6 [2024湖北武汉校级期中,中]如图,∠BAD与∠BCE的平分线交于点P,BC交AD于O,CE的反向延长线交AD于D,则∠P与∠B,∠D的数量关系是 ()

A.2∠P-∠B+∠D=180°

B.2∠P-∠B-∠D=180°
C.2∠P+∠B-∠D=180°
D.2∠P+∠B+∠D=360°

6. B　[解析]如图,设PC交AD于G,$∠ PAB=∠ OAP=x$,$∠ ECP=∠ PCB=y$,则$∠ BAO=2x$,$∠ BCE=2y$.因为$∠ AOB=∠ COD$,$∠ AGP=∠ CGD$,所以$∠ B+∠ BAO=∠ D+∠ OCD$,$∠ P+∠ PAG=∠ D+∠ GCD$,所以$\begin{cases}∠ B + 2x = ∠ D + 180^{\circ}-2y,①\\∠ P + x = ∠ D + 180^{\circ}-y,②\end{cases}$① - 2×②,可得$∠ B - 2∠ P = -∠ D - 180^{\circ}$,则$2∠ P - ∠ B - ∠ D = 180^{\circ}$.故选B.