1 [2025 河南信阳三模]若 $a + 1 ＞ b - 2$，则下列不等式一定成立的是()

A.$a ＞ b$
B.$a + 2 ＞ b - 3$
C.$a + 2 ≥ b - 1$
D.$ab ＜ 0$

1. B 【解析】不等式 $ a + 1 ＞ b - 2 $ 两边同时减去 1，得 $ a ＞ b - 3 $，故选项 A 不符合题意. 不等式 $ a + 1 ＞ b - 2 $ 两边同时加上 1，得 $ a + 2 ＞ b - 1 $. 又因为 $ b - 1 ＞ b - 3 $，所以 $ a + 2 ＞ b - 3 $，故选项 B 符合题意，选项 C 不符合题意. $ a = 1 $，$ b = 1 $ 满足 $ a + 1 ＞ b - 2 $，但不满足 $ ab ＜ 0 $，故选项 D 不符合题意. 故选 B.

2 [2025 河南驻马店期中]水果店的小王从水果批发市场购进 $100\ \mathrm{kg}$ 梨和 $84\ \mathrm{kg}$ 苹果，在卖出 $a\ \mathrm{kg}$ 梨和 $a\ \mathrm{kg}$ 苹果后，又分别购进了 $b\ \mathrm{kg}$ 梨和 $b\ \mathrm{kg}$ 苹果，请用“＜”或“＞”填空：
$100 - a$$84 - a$，$100 - a + b$$84 - a + b$。

2. $ ＞ $ $ ＞ $ 【解析】由不等式的基本性质 1 可得 $ 100 - a ＞ 84 - a $，$ 100 - a + b ＞ 84 - a + b $，故答案为 $ ＞ $，$ ＞ $.

3 [2024 浙江杭州期末]已知 $a ＞ b$，则一定有 $-4a$□$-4b$，“□”中应填的符号是()

A.＞
B.＜
C.≥
D.=

3. B 【解析】将不等式 $ a ＞ b $ 两边同乘 $ - 4 $，不等号的方向改变，所以 $ - 4a ＜ - 4b $，所以“□”中应填的符号是“＜”. 故选 B.

4 [2024 江苏南通期中]若 $x ＞ y$，则下列不等式中一定成立的是()

A.$x^{2} ＞ y^{2}$
B.$-3x ＞ -3y$
C.$\frac{x}{2} ＜ \frac{y}{2}$
D.$1 - x ＜ 1 - y$

4. D 【解析】
A $ x ^ { 2 } $，$ y ^ { 2 } $ 的大小无法确定，故本选项错误
B $ - 3 x ＜ - 3 y $，故本选项错误
C $ \frac { x } { 2 } ＞ \frac { y } { 2 } $，故本选项错误
D $ 1 - x ＜ 1 - y $，故本选项正确

5 若 $-\frac{a}{3} ＜ -\frac{b}{9}$，则 $3a\_\_\_\_\_\_b$。(填“＜”“＞”或“=”)

5. $ ＞ $ 【解析】因为 $ - \frac { a } { 3 } ＜ - \frac { b } { 9 } $，所以 $ - 3 a ＜ - b $，所以 $ 3 a ＞ b $. 故答案为 $ ＞ $.

6 [2024 陕西西安质检]若 $a ＜ b$，则 $(k^{2} + 1)a\_\_\_\_\_\_(k^{2} + 1)b$。

6. $ ＜ $ 【解析】因为 $ a ＜ b $，且 $ k ^ { 2 } + 1 ＞ 0 $，所以 $ ( k ^ { 2 } + 1 ) a ＜ ( k ^ { 2 } + 1 ) b $. 故答案为 $ ＜ $.

7 [2025 安徽淮南质检]已知 $3 - \frac{x}{2} ＞ 3 - \frac{y}{2}$，$-\frac{4}{5} + ax ＞ -\frac{4}{5} + ay$，求 $a$ 的取值范围。

7. 【解】因为 $ 3 - \frac { x } { 2 } ＞ 3 - \frac { y } { 2 } $，所以 $ - \frac { x } { 2 } ＞ - \frac { y } { 2 } $，所以 $ \frac { x } { 2 } ＜ \frac { y } { 2 } $，所以 $ x ＜ y $. 因为 $ - \frac { 4 } { 5 } + a x ＞ - \frac { 4 } { 5 } + a y $，所以 $ a x ＞ a y $，所以 $ a ＜ 0 $.

8 请利用不等式的基本性质说明下列说法的正确性。
（1）如果 $a ＞ b$，$c ＞ d$，那么 $a + c ＞ b + d$；
（2）如果 $a$，$b$，$c$，$d$ 都是正数，且 $a ＞ b$，$c ＞ d$，那么 $ac ＞ bd$。

8. 【解】(1) 因为 $ a ＞ b $，所以 $ a + c ＞ b + c $. 又因为 $ c ＞ d $，所以 $ b + c ＞ b + d $，所以 $ a + c ＞ b + d $.
(2) 因为 $ a ＞ b $，$ c $ 是正数，所以 $ a c ＞ b c $. 又因为 $ c ＞ d $，$ b $ 是正数，所以 $ b c ＞ b d $，所以 $ a c ＞ b d $.

9 [2024 江苏连云港质检]根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“$x ＞ a$”或“$x ＜ a$”的形式。
（1）$x - 4 ＞ 3$；
（2）$2x - 3 ＜ x - 2$；
（3）$\frac{1}{2}x + 1 ＞ -3$；
（4）$-2x - 4 ＜ 4x + 4$。

9. 【解】(1) 根据不等式的基本性质 1，在不等式 $ x - 4 ＞ 3 $ 两边都加上 4，得 $ x ＞ 7 $.
(2) 根据不等式的基本性质 1，在不等式 $ 2 x - 3 ＜ x - 2 $ 两边都加上 $ ( - x + 3 ) $，得 $ 2 x - 3 + ( - x + 3 ) ＜ x - 2 + ( - x + 3 ) $，所以 $ x ＜ 1 $.
(3) 根据不等式的基本性质 2，在不等式 $ \frac { 1 } { 2 } x + 1 ＞ - 3 $ 两边都乘 2，得 $ 2 ( \frac { 1 } { 2 } x + 1 ) ＞ - 3 × 2 $，所以 $ x + 2 ＞ - 6 $. 根据不等式的基本性质 1，在不等式 $ x + 2 ＞ - 6 $ 两边都减去 2，得 $ x ＞ - 8 $.
(4) 根据不等式的基本性质 1，在不等式 $ - 2 x - 4 ＜ 4 x + 4 $ 两边都加上 $ ( 4 - 4 x ) $，得 $ - 2 x - 4 + ( 4 - 4 x ) ＜ 4 x + 4 + ( 4 - 4 x ) $，所以 $ - 6 x ＜ 8 $.
根据不等式的基本性质 2，在不等式 $ - 6 x ＜ 8 $ 两边都除以 $ - 6 $，得 $ x ＞ - \frac { 4 } { 3 } $.

10 某运动员 $5000\ \mathrm{m}$ 长跑的个人最好成绩为 $16\ \mathrm{min}\ 45\ \mathrm{s}$。在一次 $5000\ \mathrm{m}$ 长跑比赛中，他跑完前 $3000\ \mathrm{m}$ 用时 $10\ \mathrm{min}\ 30\ \mathrm{s}$。如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩超越自己的个人最好成绩，那么在后 $2000\ \mathrm{m}$ 中，他的平均速度 $v\ \mathrm{m/s}$ 需要满足怎样的不等式？把这个不等式化为 $x ＞ c$ 或 $x ＜ c$（$c$ 为常数）的形式。

10. 【解】由题意可知，跑完后 2 000 m 的时间最多为 $ 16 \min 45 \mathrm { s } - 10 \min 30 \mathrm { s } = 6 \min 15 \mathrm { s } = 375 \mathrm { s } $，则 $ 375 v ＞ 2 000 $，根据不等式的基本性质 2，在不等式两边都除以 375，得 $ v ＞ \frac { 16 } { 3 } $.

11 小明说 $a ＞ 2a$ 永远不可能成立，因为不等式两边都除以 $a$，得到 $1 ＞ 2$ 这个错误结论，小明的说法正确吗？请说明理由。

11. 【解】小明的说法不正确. 理由如下：
小明默认 $ a ＞ 0 $，未对 $ a $ 的取值范围进行分类讨论.
当 $ a ＞ 0 $ 时，由 $ 1 ＜ 2 $ 得 $ a ＜ 2 a $；当 $ a = 0 $ 时，$ a = 2 a $；当 $ a ＜ 0 $ 时，由 $ 1 ＜ 2 $ 得 $ a ＞ 2 a $.
综上，当 $ a ＜ 0 $ 时，$ a ＞ 2 a $ 成立. 故小明的说法不正确.