10. 如图.
在△ABC中,边BC上的高是;
在△AEC中,边AE上的高是;
在△FEC中,边EC上的高是;
在△AEC中,边EC上的高是.

10.AB CD EF AB

【分析】
解题的核心是牢记三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。找高的步骤为：①先确定要找高的对应边；②找到这条边相对的三角形顶点；③观察从该顶点向这条边（或其延长线）作的垂线段，即为所求的高，结合图中的直角标记判断即可。
【解析】
1. 在△ABC中，边BC的对顶点是A，由图可知AB⊥BC，因此边BC上的高是AB；
2. 在△AEC中，边AE的对顶点是C，由图可知CD⊥AD（即AE所在直线），因此边AE上的高是CD；
3. 在△FEC中，边EC的对顶点是F，由图可知EF⊥EC，因此边EC上的高是EF；
4. 在△AEC中，边EC的对顶点是A，由图可知AB⊥BC（即EC所在直线），因此边EC上的高是AB。
【答案】
AB；CD；EF；AB
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是准确理解三角形高的定义，结合图形的垂直标记，区分不同三角形中对应边的高，避免因混淆三角形和对应边出错。
【难度系数】
0.75

三、解答题
11. 在$△ ABC$中，$AB:AC=3:2$，$BC=AC+1$，若$△ ABC$的中线$BD$把$△ ABC$的周长分成两部分的比是$8:7$，求边$AB$，$AC$的长。

11. 设$AB=3x$,则$AC=2x$,$AD=CD=x$,$BC=2x+1$.
分两种情况讨论：
①当$(AB+AD):(BC+CD)=8:7$时，
即$7×4x=8×(2x+1+x)$，
解得$x=2$,则$AB=6,AC=4$.
②当$(BC+CD):(AB+AD)=8:7$时，
$7×(2x+1+x)=8×4x$，
解得$x=\frac{7}{11}$,则$AB=\frac{21}{11},AC=\frac{14}{11}$.
综上所述,$AB=6,AC=4$或$AB=\frac{21}{11},AC=\frac{14}{11}$.

【分析】
首先根据题目给出的AB与AC的比例关系，可采用设参数的方法简化计算，设AB=3x，AC=2x，再结合BC与AC的数量关系得BC=2x+1。又因为BD是AC边上的中线，根据中线定义可得AD=CD=x。要注意的是，BD是周长两部分的公共边，计算比值时会抵消，因此实际是(AB+AD)与(BC+CD)的比为8:7。由于题目未指明哪部分周长更长，所以需要分两种情况讨论：①AB+AD的部分占8份，BC+CD的部分占7份；②BC+CD的部分占8份，AB+AD的部分占7份，分别列比例方程求解即可。
【解析】
设$AB=3x$，由$AB:AC=3:2$可得$AC=2x$，
因为BD是AC边上的中线，所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC=x$，
又因为$BC=AC+1$，所以$BC=2x+1$。
分两种情况讨论：
①当$(AB+AD):(BC+CD)=8:7$时，
代入得$(3x+x):(2x+1+x)=8:7$，
根据比例的基本性质，内项积等于外项积，得$7×4x=8×(3x+1)$，
解得$x=2$，则$AB=3x=6$，$AC=2x=4$。
②当$(BC+CD):(AB+AD)=8:7$时，
代入得$(2x+1+x):(3x+x)=8:7$，
根据比例的基本性质得$7×(3x+1)=8×4x$，
解得$x=\frac{7}{11}$，则$AB=3x=\frac{21}{11}$，$AC=2x=\frac{14}{11}$。
【答案】
$AB=6,AC=4$或$AB=\frac{21}{11},AC=\frac{14}{11}$
【知识点】
1. 三角形中线定义 2. 比例方程求解 3. 分类讨论思想
【点评】
本题是三角形周长与比例结合的典型题，解题关键是利用参数法表示各边长度，同时要注意题目未明确两部分周长的大小关系，需分类讨论避免漏解，求出结果后可通过三角形三边关系验证解的合理性。
【难度系数】
0.6

12. 如图，在$△ ABC$中，$AE$是$△ ABC$的角平分线，$AD$是边$BC$上的高。
(1)若$∠ B=35°$，$∠ C=75°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)若$∠ B=m°$，$∠ C=n°$，$m＜n$，则$∠ DAE=$.(直接用$m,n$表示)

12. (1)$\because ∠B=35°,∠C=75°,$
$\therefore ∠BAC=180°-35°-75°=70°.$
$\because AE$平分$∠BAC,\therefore ∠EAC=\frac{1}{2}∠CAB=35°.$
$\because AD⊥BC,\therefore ∠ADC=90°.$
$\therefore ∠DAC=90°-75°=15°.$
$\therefore ∠DAE=∠EAC-∠DAC=20°.$
(2)$\frac{1}{2}(n-m)°$ [解析]$\because ∠B=m°,∠C=n°,$
$\therefore ∠BAC=180°-m°-n°.$
$\because AE$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠EAC=\frac{1}{2}∠CAB=90°-\frac{1}{2}m°-\frac{1}{2}n°.$
$\because AD⊥BC,\therefore ∠ADC=90°.∴∠DAC=90°-n°.$
$\therefore ∠DAE=∠EAC-∠DAC=90°-\frac{1}{2}m°-\frac{1}{2}n°-(90°-n°)=\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°=\frac{1}{2}(n-m)°.$

【分析】
要计算∠DAE的度数，可按以下思路推导：①先利用三角形内角和为180°，求出△ABC的顶角∠BAC的度数；②根据AE是角平分线，求出∠EAC的度数；③根据AD是BC边上的高，可知△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数；④观察图形可知∠DAE=∠EAC-∠DAC，代入数值或代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠B=35°，∠C=75°，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-35°-75°=70°$
∵AE是∠BAC的角平分线
$\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$
∵AD是BC边上的高，
∴$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$
在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=90°-∠ C=90°-75°=15°$
$\therefore ∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=35°-15°=20°$
(2) 当$∠ B=m°$，$∠ C=n°$（$m＜n$）时：
根据三角形内角和：$∠ BAC=180°-m°-n°$
∵AE平分∠BAC
$\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-m°-n°)=90°-\frac{1}{2}m°-\frac{1}{2}n°$
∵$AD⊥ BC$，在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=90°-∠ C=90°-n°$
$\therefore ∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=90°-\frac{1}{2}m°-\frac{1}{2}n°-(90°-n°)=\frac{1}{2}(n-m)°$
【答案】
(1) $20°$；(2) $\frac{1}{2}(n-m)°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题关键是理清图中各角的数量关系，结合相关性质分步推导，第二问从特殊数值推广到一般代数式，考查了代数推导能力和对几何关系通用规律的总结能力。
【难度系数】
0.8

13. 如图，$△ ABC$的角平分线$BD$，$CE$相交于点$F$.
(1)若$∠ A=54°$，$∠ ABC=50°$，求$∠ CFD$的度数；
(2)求证：$2∠ BFC=∠ A+180°$.

13. (1)$\because ∠A=54°,∠ABC=50°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,$
$\therefore ∠ACB=180°-50°-54°=76°.$
$\because △ABC$的角平分线$BD,CE$相交于点$F,$
$\therefore ∠CBF=\frac{1}{2}∠ABC=25°,∠BCF=\frac{1}{2}∠ACB=38°,\therefore ∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-25°-38°=117°,\therefore ∠CFD=180°-117°=63°.$
(2)$\because △ABC$的角平分线$BD,CE$相交于点$F,$
$\therefore ∠CBF=\frac{1}{2}∠ABC,∠BCF=\frac{1}{2}∠ACB,$
$\therefore ∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-\frac{1}{2}∠ABC-\frac{1}{2}∠ACB=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A,$
即$2∠BFC=180°+∠A.$

【分析】
(1) 解决第一问首先利用三角形内角和为180°，已知∠A和∠ABC的度数，先求出∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，算出∠FBC和∠FCB的度数，再次用三角形内角和求出∠BFC的度数，最后根据邻补角的和为180°，即可求出∠CFD的度数。
(2) 解决第二问可类比第一问的推导思路，先根据角平分线的定义得到∠FBC和∠FCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，再结合三角形内角和定理，将∠BFC用∠ABC和∠ACB表示，然后把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，整理式子即可证明结论。
【解析】
(1) 已知∠A=54°，∠ABC=50°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-54°-50°=76°$
∵BD、CE是△ABC的角平分线，交于点F
∴$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$，$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×76°=38°$
在△BFC中，根据三角形内角和：
$∠ BFC=180°-∠ CBF-∠ BCF=180°-25°-38°=117°$
∵∠CFD和∠BFC是邻补角，和为180°
∴$∠ CFD=180°-∠ BFC=180°-117°=63°$
(2) 证明：
∵BD、CE是△ABC的角平分线，交于点F
∴$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BFC中，$∠ BFC=180°-∠ CBF-∠ BCF$
代入得：$∠ BFC=180°-\frac{1}{2}∠ ABC-\frac{1}{2}∠ ACB=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入上式：
$∠ BFC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=180°-90°+\frac{1}{2}∠ A=90°+\frac{1}{2}∠ A$
等式两边同时乘2，得：$2∠ BFC=180°+∠ A$，即$2∠BFC=∠A+180°$，得证。
【答案】
(1) $∠ CFD=63°$；
(2) $2∠BFC=∠A+180°$，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角相关的基础综合题，从具体角度计算到一般结论推导，逻辑连贯，解题核心是熟练运用三角形内角和定理和角平分线的性质，掌握这类推导方法可以快速解决三角形角平分线夹角的相关问题。
【难度系数】
0.7

14. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AD$是$△ ABC$的角平分线.$E$为$BC$上一点,过点$E$作射线$EF$,交$AC$于点$G$.
(1)若$∠ C=30°$,求$∠ BAD$的度数;
(2)若$∠ FGC+∠ BAD=180°$,求证:$EF// AD$.

14. (1)$\because AD$是$△ABC$的角平分线，
$\therefore ∠BAD=∠CAD,\therefore ∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC.$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠B=90°,∠C=30°,$
$\therefore ∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×(180°-90°-30°)=30°.$
(2)$\because ∠BAD=∠CAD,∠FGC=∠AGE,∠FGC+∠BAD=180°,∴∠AGE+∠CAD=180°,$
$\therefore EF// AD.$

【分析】
(1) 要求∠BAD的度数，首先根据角平分线的性质可知∠BAD是∠BAC的一半，因此先利用直角三角形两锐角互余（或三角形内角和）求出∠BAC的度数，再除以2即可得到∠BAD的度数。
(2) 要证明EF//AD，可通过平行线的判定定理推导：首先利用对顶角相等将∠FGC转换为∠AGE，再结合角平分线的性质将∠BAD替换为∠CAD，结合已知的角度和为180°的条件，可得到同旁内角互补，进而证明两直线平行。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，即$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，
∵$∠ FGC$和$∠ AGE$是对顶角，
∴$∠ FGC=∠ AGE$，
已知$∠ FGC+∠ BAD=180°$，等量代换得：
$∠ AGE+∠ CAD=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$EF// AD$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) 证明如上。
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题属于三角形与平行线的综合基础题，核心考查角度的等量代换能力，解题时只需熟练掌握角平分线、对顶角的性质以及平行线的判定规则，即可快速完成推导。
【难度系数】
0.8