【生活情境】100多年前,德国数学家雷米欧斯提出了一个问题:已知在$△ ABC$中,$∠ ABC,∠ ACB$的平分线$BD$与$CE$相等.求证:$△ ABC$是等腰三角形.德国著名数学家施坦纳用反证法证明了这个结论,并使它成为一个定理,被称为“斯坦纳—雷米欧斯定理”.虽然后来数学爱好者们共发现了60多种证明方法,但还是反证法最为简洁.你能运用反证法证明这个定理吗?
【问题分析】反证法的关键步骤是确定反命题是什么.如图,本题中先假设$△ ABC$中$AB≠AC$,不妨设$AB＞AC$,构造$□ BFCD$后,通过推理得出矛盾,从而证明结论成立.

【问题解决】

假设$△ ABC$中$AB＞AC$,则$∠ B＜∠ C$,由于$BD,CE$是角平分线,则$∠ EBI＜∠ DCI$. 在$△ BEI$与$△ DCI$中,有$∠ EIB=∠ DIC$,从而可得$∠ BEC＞∠ BDC$ ①. 但是在$△ BCE$与$△ CBD$中,因$BD=CE$,$BC$是公共边,所以$∠ BCE＞∠ CBD$,则$BE＞CD$. 作$□ BFCD$,连结$EF$,由$BE＞CD=BF$,则$∠ 1＜∠ 2$. 又$CE=BD=CF$,则$∠ 3=∠ 4$,即$∠ BEC＜∠ BFC=∠ BDC$ ②. 由此可知①与②矛盾,则$AB$不大于$AC$,同理$AC$不大于$AB$,故$AB=AC$.

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，本质是证AB=AC，采用反证法求解思路如下：第一步先反设结论不成立，即假设AB≠AC，不妨先设AB＞AC。首先利用三角形大边对大角的性质，得到∠ABC＜∠ACB，再结合角平分线的定义得到角平分线分出的小角的大小关系，结合对顶角相等推导得到∠BEC和∠BDC的第一个大小关系；接下来构造平行四边形BFCD，借助平行四边形对边相等、对角相等的性质，把CD转化为BF、CE转化为CF，再利用大边对大角、等腰三角形等边对等角的性质，推导出∠BEC和∠BDC的第二个大小关系，两个结论矛盾即可否定AB＞AC的假设，同理可否定AC＞AB的假设，最终得到AB=AC的结论。
【解析】
证明：假设△ABC中$AB＞AC$，根据三角形大边对大角的性质可得$∠ABC＜∠ACB$，
∵$BD,CE$分别是$∠ABC,∠ACB$的平分线，
∴$∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB$，即$∠BCE＞∠CBD$。
在$△BEI$与$△DCI$中，$∠EIB=∠DIC$（对顶角相等），结合三角形内角和为$180°$，可得$∠BEC＞∠BDC$ ①。
在$△BCE$与$△CBD$中，$BD=CE$，$BC$是公共边，且$∠BCE＞∠CBD$，根据三角形大角对大边可得$BE＞CD$。
构造平行四边形$BFCD$，连结$EF$，由平行四边形性质得$CD=BF$，$BD=CF$，$∠BFC=∠BDC$。
∵$BE＞CD=BF$，在$△BEF$中由大边对大角得$∠1＜∠2$，
又
∵$CE=BD=CF$，$△CEF$为等腰三角形，得$∠3=∠4$，
∴$∠1+∠3＜∠2+∠4$，即$∠BEC＜∠BFC=∠BDC$ ②。
结论①与②矛盾，因此假设$AB＞AC$不成立，即$AB$不大于$AC$。
同理可证$AC＞AB$也不成立，即$AC$不大于$AB$。
故$AB=AC$，$△ABC$为等腰三角形。
【答案】
$△ABC$是等腰三角形（$AB=AC$）
【知识点】
反证法，角平分线定义，平行四边形的性质
【点评】
本题是经典的几何证明题，依托斯坦纳-雷米欧斯定理考察反证法的应用，解题的关键是正确反设结论，通过构造平行四边形作为辅助图形推导矛盾，能有效锻炼逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.3