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1. (2025·湖北)若一元二次方程 $x^{2}-4x+3=$0 的两个实数根分别为 $x_1,x_2$,则下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
1. D
2. (2024·山东日照) 已知实数 $x_1,x_2(x_1 ≠ x_2)$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^2+2kx+1=0(k ≠ 0)$ 的两个根. 若 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=2$, 则实数 $k$ 的值为（
A.$1$
B.$-1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}$
B
）A.$1$
B.$-1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
2. B
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2mx+m^2-$ $4m-1=0$ 有两个实数根 $x_1,x_2$，且 $(x_1+$$2)(x_2+2)-2x_1x_2=17$，则 $m$ 的值为（
A.2或6
B.2或8
C.2
D.6
A
）A.2或6
B.2或8
C.2
D.6
答案
3. A 解析:因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2mx+m^2-4m-1=0$ 有两个实数根,所以 $(-2m)^2-4(m^2-4m-1)≥0$,解得 $m≥-\dfrac{1}{4}$. 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=2m$,$x_1x_2=m^2-4m-1$,所以 $(x_1+2)·(x_2+2)-2x_1x_2=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4-2x_1x_2=2(x_1+x_2)-x_1x_2+4=4m-(m^2-4m-1)+4=-m^2+8m+5$. 又 $(x_1+2)(x_2+2)-2x_1x_2=17$,所以 $-m^2+8m+5=17$,解得 $m_1=2$,$m_2=6$,均符合题意. 故 $m$ 的值为 2 或 6.
4. (2025·江苏苏州)已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_{1}=1$，则$x_{2}=$
-3
.答案
4. -3
5. (2024·山东德州) 已知 a , b 是方程 $x^{2}+$$2024x - 4 = 0$ 的两个根, 则代数式 $a^{2}+$$2023a - b$ 的值为
2028
.答案
5. 2028
6. 已知 $α,β$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - x + k - 1 = 0$ 的两个实数根, 且 $α^2 - 2α - β = 4$, 则$k$ 的值为
-4
.答案
6. −4 解析:因为 $α,β$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-x+k-1=0$ 的两个实数根,所以 $α^2-α+k-1=0$,$α+β=1$,所以 $α^2-2α-β=α^2-α-(α+β)=1-k-1=-k$. 又 $α^2-2α-β=4$,所以 $-k=4$,解得 $k=-4$.
7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2k+$
1)$x+k^{2}+1=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2.$
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $x_1x_2=5$,求 $k$ 的值.
1)$x+k^{2}+1=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2.$
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $x_1x_2=5$,求 $k$ 的值.
答案
7. (1) 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根,所以 $(2k+1)^2-4(k^2+1)＞0$,解得 $k＞\dfrac{3}{4}$. 故 $k$ 的取值范围为 $k＞\dfrac{3}{4}$.
(2) 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1x_2=k^2+1$. 又 $x_1x_2=5$,所以 $k^2+1=5$,解得 $k_1=2$,$k_2=-2$. 因为 $k＞\dfrac{3}{4}$,所以 $k$ 的值为 2.
(2) 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1x_2=k^2+1$. 又 $x_1x_2=5$,所以 $k^2+1=5$,解得 $k_1=2$,$k_2=-2$. 因为 $k＞\dfrac{3}{4}$,所以 $k$ 的值为 2.
8. (2025·江苏常州二模)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+m=0$.
(1) 当 $m=-3$ 时,求该方程的解;
(2) 若 $x_1,x_2$ 是该方程的两个实数根,且$x_1x_2+2(x_1+x_2)＞0$,求 $m$ 的取值范围.
(1) 当 $m=-3$ 时,求该方程的解;
(2) 若 $x_1,x_2$ 是该方程的两个实数根,且$x_1x_2+2(x_1+x_2)＞0$,求 $m$ 的取值范围.
答案
8. (1) 当 $m=-3$ 时,该方程即为 $x^2-2x-3=0$,解得 $x_1=3$,$x_2=-1$.
(2) 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+m=0$ 有两个实数根 $x_1,x_2$,所以 $(-2)^2-4×1× m≥0$,解得 $m≤1$. 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=2$,$x_1x_2=m$. 因为 $x_1x_2+2(x_1+x_2)＞0$,所以 $m+2×2＞0$,解得 $m＞-4$,所以 $m$ 的取值范围为 $-4＜m≤1$.
(2) 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+m=0$ 有两个实数根 $x_1,x_2$,所以 $(-2)^2-4×1× m≥0$,解得 $m≤1$. 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=2$,$x_1x_2=m$. 因为 $x_1x_2+2(x_1+x_2)＞0$,所以 $m+2×2＞0$,解得 $m＞-4$,所以 $m$ 的取值范围为 $-4＜m≤1$.
9. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-ax-2=0$ 的两根,则下列结论一定正确的是（
A.$x_{1} ≠ x_{2}$
B.$x_{1}+x_{2}＞0$
C.$x_{1}x_{2}＞0$
D.$x_{1}＜0,x_{2}＜0$
A
）A.$x_{1} ≠ x_{2}$
B.$x_{1}+x_{2}＞0$
C.$x_{1}x_{2}＞0$
D.$x_{1}＜0,x_{2}＜0$
答案
9. A 解析:由题意,得 $x_1+x_2=a$,$x_1x_2=-2$,所以 $x_1,x_2$ 异号,故选项 A 符合题意.
10. 若一元二次方程$x^{2}-3x+1=0$的两个根分别为$x_{1},x_{2}$，则代数式$x^{2}_{1}+3x_{2}+x_{1}x_{2}-2$的值是（
A.10
B.9
C.8
D.7
D
）A.10
B.9
C.8
D.7
答案
10. D 解析:因为一元二次方程 $x^2-3x+1=0$ 的两个根分别为 $x_1,x_2$,所以 $x_1+x_2=3$,$x_1x_2=1$,$x_1^2-3x_1+1=0$,所以 $x_1^2=3x_1-1$,所以 $x_1^2+3x_2+x_1x_2-2=3x_1-1+3x_2+x_1x_2-2=3(x_1+x_2)+x_1x_2-3=3×3+1-3=7$.
