2. (2025开封一模)抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的部分图象如图所示，与$x$轴的一个交点坐标为$(4,0)$，抛物线的对称轴是直线$x = 1$。下列结论：①$abc ＞ 0$；②$2a + b = 0$；③$4a - 2b + c = 0$；④方程$ax^{2}+bx + c = 2$有两个不相等的实数根；⑤若点$A(m,n)$在该抛物线上，则$am^{2}+bm + c \leq a + b + c$。其中正确的个数是()

A.2
B.3
C.4
D.5

C

1. 由图象可知：抛物线开口向下，$a＜0$，对称轴$x=1$在$y$轴右侧，$b＞0$（因为对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，当$a＜0$时，$b＞0$），抛物线与$y$轴交点在正半轴，$c＞0$，
$\therefore abc＜0$，①错误。
2. 对称轴为直线$x=1$，
$\therefore-\frac{b}{2a}=1\Rightarrow b=-2a$，
$\therefore2a+b=0$，②正确。
3. 对称轴是直线$x=1$，与$x$轴的一个交点是$(4,0)$，
则与$x$轴另一个交点为$(-2,0)$，
代入$x=-2$，得：$4a-2b+c=0$，③正确。
4. 抛物线开口向下，顶点坐标为$(1,4)$，
方程$ax^2+bx+c=2$转化为求与$y=2$的交点，
$y=2$与抛物线有两个不同的交点，
方程$ax^2+bx+c=2$有两个不相等的实数根，④正确。
5. 抛物线开口向下，顶点坐标为$(1,4)$，
$\therefore$抛物线的最大值为$a+b+c$，
$\because am^2+bm+c\leq a+b+c$，
即$am^2+bm+c\leq4$，⑤正确。
正确的个数是4。

3. (2025焦作模拟)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的部分图象如图所示，图象过点$(1,0)$，对称轴为直线$x = 2$，有下列结论：①$abc ＞ 0$；②$b^{2}-4ac ＞ 0$；③$c = 3a$；④$4a + b = 0$；⑤当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而增大。其中正确结论的个数是()

A.2
B.3
C.4
D.5

B

由图象开口向上得$a＞0$；对称轴$x=2$，即$-\frac{b}{2a}=2$，得$b=-4a＜0$；与$y$轴交点在正半轴得$c＞0$，故$abc＜0$，①错误。
抛物线与$x$轴有两个交点（$(1,0)$和$(3,0)$，由对称性得），则$\Delta=b^2-4ac＞0$，②正确。
将$(1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$得$a+b+c=0$，又$b=-4a$，则$a-4a+c=0$，即$c=3a$，③正确。
由对称轴得$-\frac{b}{2a}=2$，即$4a+b=0$，④正确。
开口向上，对称轴$x=2$，则$x＜2$时$y$随$x$增大而减小，故$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，⑤错误。
正确结论为②③④，共3个。

4. (2025绥化)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交于点$A(3,0)$，$B(-1,0)$，与$y$轴交于点$C(0,m)$，其中$-4 ＜ m ＜ -3$。则下列结论：①$a - c ＞ 0$；②方程$ax^{2}+bx + c - 5 = 0$没有实数根；③$-\frac{8}{3} ＜ b ＜ -2$；④$\frac{a + b + c}{b - a} ＞ 0$。其中错误的个数是()

A.1
B.2
C.3
D.4

A

∵二次函数与x轴交于A(3,0)，B(-1,0)，∴设解析式为$y=a(x-3)(x+1)=ax^2-2ax-3a$，则$b=-2a$，$c=-3a$。
∵与y轴交于C(0,m)，且$-4＜m＜-3$，∴$c=m=-3a$，即$-4＜-3a＜-3$，解得$1＜a＜\frac{4}{3}$。
① $a - c = a - (-3a) = 4a$，∵$a＞0$，∴$4a＞0$，①正确；
② 方程$ax^2+bx+c-5=0$的判别式$\Delta=b^2-4a(c-5)=(-2a)^2-4a(-3a-5)=16a^2+20a$，∵$a＞0$，$\Delta＞0$，方程有实根，②错误；
③ $b=-2a$，∵$1＜a＜\frac{4}{3}$，∴$- \frac{8}{3}＜-2a＜-2$，即$- \frac{8}{3}＜b＜-2$，③正确；
④ $\frac{a+b+c}{b-a}=\frac{a-2a-3a}{-2a-a}=\frac{-4a}{-3a}=\frac{4}{3}＞0$，④正确。
错误结论为②，共1个。

5. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的对称轴为直线$x = -2$，且过点$(1,0)$。则下列结论正确的是()

A.$abc ＞ 0$
B.$a + c ＜ 0$
C.$a - b + c ＞ 0$
D.若点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$在该抛物线上，且$x_{1} ＜ x_{2}$，则$y_{1} ＜ y_{2}$

B

由抛物线对称轴为$x=-2$，得$-\frac{b}{2a}=-2$，即$b=4a$。抛物线过点$(1,0)$，代入得$a+b+c=0$，将$b=4a$代入得$5a+c=0$，即$c=-5a$。
由抛物线开口向上（根据图像特征），得$a＞0$，则$b=4a＞0$，$c=-5a＜0$。
A：$abc=a·4a·(-5a)=-20a^3＜0$，错误；
B：$a+c=a-5a=-4a＜0$，正确；
C：$a-b+c=a-4a-5a=-8a＜0$，错误；
D：抛物线在对称轴两侧增减性不同，$x_1＜x_2$时$y_1$与$y_2$大小不确定，错误。

6. 如图，已知开口向下的抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于点$(6,0)$，对称轴为直线$x = 2$。则下列结论正确的有()
①$abc ＜ 0$；②$a - b + c ＞ 0$；③方程$cx^{2}+bx + a = 0$的两个根为$x_{1} = \frac{1}{2}$，$x_{2} = -\frac{1}{6}$；④抛物线上有两点$P(x_{1},y_{1})$和$Q(x_{2},y_{2})$，若$x_{1} ＜ 2 ＜ x_{2}$且$x_{1}+x_{2} ＞ 4$，则$y_{1} ＜ y_{2}$。

A.1个
B.4个
C.3个
D.2个

D

∵抛物线开口向下，∴a＜0。
∵对称轴为x=2，即$- \frac{b}{2a}=2$，∴b=-4a＞0（a＜0）。
∵抛物线与x轴交于(6,0)，对称轴x=2，∴另一交点为(-2,0)。
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0。
①abc：a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，①正确。
②a - b + c：当x=-1时，y=a - b + c，x=-1在对称轴左侧且x=-1 ＞ -2（与x轴交点），开口向下，y随x增大而增大，∴y(-1) ＞ y(-2)=0，即a - b + c＞0，②正确。
③方程cx² + bx + a=0：由ax² + bx + c=0根为-2和6，得$t=-2$或$6$（令$t=\frac{1}{x}$），∴$x=-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{6}$，③错误。
④x₁＜2＜x₂且x₁+x₂＞4：P到对称轴距离d₁=2 - x₁，Q到对称轴距离d₂=x₂ - 2，x₁+x₂＞4⇒x₂＞4 - x₁⇒d₂＞2 - x₁=d₁，开口向下，距离越远y越小，∴y₂＜y₁，④错误。
正确结论：①②，共2个。

7. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的部分图象如图所示，图象过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x = 2$，下列结论：①$4a + b = 0$；②$9a + c ＜ 3b$；③$8a + 7b + 2c ＞ 0$；④若点$A(-\frac{1}{2},y_{1})$，$B(1,y_{2})$，$C(\frac{7}{2},y_{3})$在该函数图象上，则$y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$；⑤若方程$a(x + 1)(x - 5) = -1$的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，且$x_{1} ＜ x_{2}$，则$x_{1} ＜ -1$，$x_{2} ＞ 5$。其中正确结论的个数是()


A.2
B.3
C.4
D.5

C

①对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$，得$-b=4a$，即$4a+b=0$，①正确；
②由$b=-4a$，函数过$(-1,0)$得$a-b+c=0$，即$c=-5a$。$9a+c=4a$，$3b=-12a$，因$a＜0$（开口向下），$4a＜-12a$，故$9a+c＜3b$，②正确；
③$8a+7b+2c=8a+7(-4a)+2(-5a)=-30a$，$a＜0$则$-30a＞0$，③正确；
④点$A(-\frac{1}{2},y_1)$、$B(1,y_2)$、$C(\frac{7}{2},y_3)$到对称轴$x=2$的距离分别为$2.5$、$1$、$1.5$，开口向下，距离越近$y$越大，故$y_1＜y_3＜y_2$，④错误；
⑤方程$a(x+1)(x-5)=-1$即抛物线$y=a(x+1)(x-5)$与$y=-1$交点，因开口向下且顶点$y=-9a＞0$，交点在$(-1,0)$左侧和$(5,0)$右侧，即$x_1＜-1$，$x_2＞5$，⑤正确。
正确结论为①②③⑤，共4个。