2. 已知抛物线$y = mx^{2} - 2mx + 3$，其中$m \neq 0$。
（1）若抛物线经过$(-1, 4)$，求抛物线的解析式。
（2）若该抛物线开口向上，当$-1 \leq x \leq 2$时，抛物线的最高点为$M$，最低点为$N$，点$M$的纵坐标为$9$，求点$M$和点$N$的坐标。
（3）在抛物线上任取两点$(x_{1}, y_{1})$，$(x_{2}, y_{2})$，当$a \leq x_{1} ＜ x_{2} \leq a + 2$时，总有$y_{1} ＞ y_{2}$，求$a$的取值范围。
（1）若抛物线经过$(-1, 4)$，求抛物线的解析式。
（2）若该抛物线开口向上，当$-1 \leq x \leq 2$时，抛物线的最高点为$M$，最低点为$N$，点$M$的纵坐标为$9$，求点$M$和点$N$的坐标。
（3）在抛物线上任取两点$(x_{1}, y_{1})$，$(x_{2}, y_{2})$，当$a \leq x_{1} ＜ x_{2} \leq a + 2$时，总有$y_{1} ＞ y_{2}$，求$a$的取值范围。
答案
（1）$y=\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x + 3$；（2）$M(-1,9)$，$N(1,1)$；（3）$a\leq-1$或$a\geq1$
解析
（1）将$(-1,4)$代入$y=mx^2 - 2mx + 3$，得$m(-1)^2 - 2m(-1) + 3 = 4$，即$m + 2m + 3 = 4$，解得$m=\frac{1}{3}$，解析式为$y=\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x + 3$。
（2）抛物线开口向上，$m＞0$，对称轴$x=-\frac{-2m}{2m}=1$。区间$[-1,2]$内，顶点$(1,-m+3)$为最低点$N$。端点$x=-1$离对称轴更远，故最高点$M$在$x=-1$处。将$x=-1,y=9$代入得$m(-1)^2 - 2m(-1) + 3=9$，即$3m + 3=9$，$m=2$。则$M(-1,9)$，$N(1,1)$。
（3）抛物线对称轴$x=1$。当$m＞0$（开口向上），递减区间$(-\infty,1]$，需$a+2\leq1\Rightarrow a\leq-1$；当$m＜0$（开口向下），递减区间$[1,+\infty)$，需$a\geq1$。综上，$a\leq-1$或$a\geq1$。
（2）抛物线开口向上，$m＞0$，对称轴$x=-\frac{-2m}{2m}=1$。区间$[-1,2]$内，顶点$(1,-m+3)$为最低点$N$。端点$x=-1$离对称轴更远，故最高点$M$在$x=-1$处。将$x=-1,y=9$代入得$m(-1)^2 - 2m(-1) + 3=9$，即$3m + 3=9$，$m=2$。则$M(-1,9)$，$N(1,1)$。
（3）抛物线对称轴$x=1$。当$m＞0$（开口向上），递减区间$(-\infty,1]$，需$a+2\leq1\Rightarrow a\leq-1$；当$m＜0$（开口向下），递减区间$[1,+\infty)$，需$a\geq1$。综上，$a\leq-1$或$a\geq1$。
