6. (江苏苏州期中) 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle B = 105 ^ { \circ } $,$ \angle C = 35 ^ { \circ } $,$ M $ 是边 $ A B $ 的中点,$ N $ 是边 $ A C $ 上的任意一点,将 $ \triangle A M N $ 沿直线 $ M N $ 翻折,使点 $ A $ 关于直线 $ M N $ 的对称点 $ D $ 落在直线 $ B C $ 上,则 $ \angle D N C $ 的度数为( )


A.$ 70 ^ { \circ } $
B.$ 80 ^ { \circ } $
C.$ 70 ^ { \circ } $ 或 $ 110 ^ { \circ } $
D.$ 80 ^ { \circ } $ 或 $ 110 ^ { \circ } $

D [解析]∵$∠ABC = 105^{\circ}$,$∠C = 35^{\circ}$,∴$∠A = 180^{\circ} - ∠ABC - ∠C = 40^{\circ}$.
如图,当点 D 与点 B 重合时,

由折叠的性质,得$∠ABN = ∠A = 40^{\circ}$,∴$∠DNC = ∠A + ∠ABN = 80^{\circ}$.
如图,当点 D 在 CB 的延长线上时,

由折叠的性质,得$AM = DM$,$∠NDM = ∠A = 40^{\circ}$.∵M 是边 AB 的中点,∴$AM = BM$,∴$DM = BM$,∴$∠MDB = ∠MBD = 180^{\circ} - ∠ABC = 75^{\circ}$,∴$∠NDC = ∠MDB - ∠NDM = 35^{\circ}$,∴$∠DNC = 180^{\circ} - ∠C - ∠NDC = 110^{\circ}$.
综上所述,$∠DNC$的度数为$80^{\circ}$或$110^{\circ}$.

7. (江苏常州期中) 如图,在四边形 $ A B C D $ 中,$ A B = B C = B D $. 设 $ \angle A B C = \alpha $,则 $ \angle A D C $ 的度数是()

A.$ 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \alpha $
B.$ \alpha $
C.$ 90 ^ { \circ } + \frac { 1 } { 2 } \alpha $
D.$ 180 ^ { \circ } - \alpha $

A [解析]∵$AB = BC = BD$,∴$∠BDA = ∠A$,$∠BDC = ∠C$.
∵$∠BDA + ∠BDC + ∠C + ∠A + ∠ABC = 360^{\circ}$,∴$∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = \frac{360^{\circ} - α}{2}=180^{\circ}-\frac{1}{2}α$.

8. 练思维·推理能力 如图,在等腰三角形 $ A B C $ 中,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $,$ A C = 8 $,$ F $ 是边 $ A B $ 的中点,点 $ D $,$ E $ 分别在边 $ A C $,$ B C $ 上运动,且保持 $ A D = C E $,连接 $ D E $,$ D F $,$ E F $. 在点 $ D $,$ E $ 运动的过程中,有下列结论：① $ \triangle D E F $ 是等腰直角三角形；②四边形 $ C D F E $ 的面积保持不变；③ $ \triangle C D E $ 面积的最大值为 8. 其中,正确的结论是( )

A.①
B.①②③
C.②
D.③

B [解析]①如图,连接 CF.

∵$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,∴$∠A = 45^{\circ}$.
∵F 是边 AB 的中点,∴$CF = AF = BF$,$CF⊥AB$,$∠ACF = ∠BCF = 45^{\circ}$,∴$∠AFC = 90^{\circ}$,$∠A = ∠ECF$.
在$△ADF$和$△CEF$中,$\begin{cases}AD = CE\\∠A = ∠ECF\\AF = CF\end{cases}$
∴$△ADF≌△CEF(SAS)$,∴$DF = EF$,$∠AFD = ∠CFE$,∴$∠AFD + ∠DFC = ∠CFE + ∠DFC = 90^{\circ}$,即$∠DFE = 90^{\circ}$,∴$△DEF$是等腰直角三角形,故①正确.
②由①,知$△ADF≌△CEF$,∴$S_{△ADF}=S_{△CEF}$,∴$S_{四边形CDFE}=S_{△AFC}$,∴四边形 CDFE 的面积保持不变,故②正确.
③∵$S_{△CDE}=S_{四边形CDFE}-S_{△DEF}$,∴当$△CDE$的面积最大时,$△DEF$的面积最小.
∵当$EF⊥BC$时,EF 的值最小,最小值为 4,∴$S_{△DEF}$的最小值为$\frac{1}{2}×4×4 = 8$,∴$S_{△CDE}$的最大值为$S_{四边形CDFE}-S_{△DEF}=S_{△AFC}-S_{△DEF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}-S_{△DEF}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×8×8 - 8 = 8$,故③正确.
综上,正确的结论是①②③.

9. (江苏泰州) 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = A C $,$ \angle A = 30 ^ { \circ } $,射线 $ C P $ 从射线 $ C A $ 开始绕点 $ C $ 逆时针旋转 $ \alpha ( 0 ^ { \circ } ＜ \alpha ＜ 75 ^ { \circ } ) $,与射线 $ A B $ 相交于点 $ D $,将 $ \triangle A C D $ 沿射线 $ C P $ 翻折至 $ \triangle A ^ { \prime } C D $ 处,射线 $ C A ^ { \prime } $ 与射线 $ A B $ 相交于点 $ E $. 若 $ \triangle A ^ { \prime } D E $ 是等腰三角形,则 $ \angle \alpha $ 的度数为____.

$22.5^{\circ}$或$45^{\circ}$或$67.5^{\circ}$ [解析]由折叠的性质,知$∠A = ∠A' = 30^{\circ}$,$∠ACP = ∠A'CP = α$.
如图 1,当$A'D = DE$时,$∠DEA' = ∠A' = 30^{\circ}$.

由三角形外角的性质,得$∠DEA' = ∠A + ∠ACD + ∠A'CD$,即$30^{\circ} = 30^{\circ} + 2α$,此种情况不存在.
如图 2,当$A'D = A'E$时,

$∠A' = 30^{\circ}$,$∠DEA' = ∠EDA' = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ}$.
由三角形外角的性质,得$∠DEA' = ∠A + ∠ACD + ∠A'CD$,即$75^{\circ} = 30^{\circ} + 2α$,解得$α = 22.5^{\circ}$.
如图 3,当$EA' = DE$时,$∠EDA' = ∠A' = 30^{\circ}$,

∴$∠DEA' = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$.
由三角形外角的性质,得$∠DEA' = ∠A + ∠ACD + ∠A'CD$,即$120^{\circ} = 30^{\circ} + 2α$,解得$α = 45^{\circ}$.
如图 4,当$A'D = A'E$时,$∠A'DE = ∠A'ED = 15^{\circ}$,

∴$∠ADC = ∠A'DC = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 15^{\circ}) = 82.5^{\circ}$,∴$∠ACD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 82.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$.
综上,$∠α$的度数为$22.5^{\circ}$或$45^{\circ}$或$67.5^{\circ}$.
[解题技巧]本题考查了折叠的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质,数形结合是解题的关键.

10. (江苏常州) 如图,$ B $,$ E $,$ C $,$ F $ 是直线 $ l $ 上的四点,$ A C $,$ D E $ 相交于点 $ G $,$ A B = D F $,$ A C = D E $,$ B C = F E $.
(1) 求证：$ \triangle G E C $ 是等腰三角形；
(2) 若连接 $ A D $,则 $ A D $ 与 $ l $ 的位置关系是____.

解:(1)证明:在$△ABC$和$△DFE$中,$\begin{cases}AB = DF\\AC = DE\\BC = FE\end{cases}$
∴$△ABC≌△DFE(SSS)$,
预备新初二数学(SK 版)
∴$∠ACB = ∠DEF$,∴$EG = CG$,∴$△GEC$是等腰三角形.
(2)∵$AC = DE$,$EG = CG$,∴$AC - CG = DE - EG$,即$AG = DG$,∴$∠GAD = ∠GDA = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠AGD).$
∵$∠ACE = ∠DEF = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠CGE)$,$∠AGD = ∠CGE$,∴$∠GAD = ∠ACE$,∴$AD// l$.故答案为$AD// l$.