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11.【数学文化】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，即已知井的直径AD为5尺，ED⊥AD于点D，ED为5尺，连接BE交AD于点F，且FD长为4寸。设井深CD为x尺(1尺=10寸)，所列方程正确的是(
A.$\frac{5}{5+x}=\frac{0.4}{5}$
B.$\frac{5}{x}=\frac{0.4}{5}$
C.$\frac{x}{x+5}=\frac{5}{0.4}$
D.$\frac{5}{x}=\frac{5-0.4}{0.4}$
A
)。A.$\frac{5}{5+x}=\frac{0.4}{5}$
B.$\frac{5}{x}=\frac{0.4}{5}$
C.$\frac{x}{x+5}=\frac{5}{0.4}$
D.$\frac{5}{x}=\frac{5-0.4}{0.4}$
答案
11. A
12.一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，现只有长为60 cm和120 cm的两根木条。要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
B
）。A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
答案
12. B
13.如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，D是边AB上一点，且$AD=2$。如果点E在边AC上，且$△ ADE$与$△ ABC$相似，那么$AE=$
$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
。答案
13. $\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
14.如图，将$△ ABC$纸片按如图所示的方式折叠，使点$B$落在边$AC$上，记为点$B'$，折痕为$EF$，已知$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$。若以$B'$，$F$，$C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，那么$CF$的长度是________。
答案
$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$ 解析: $\because △ ABC$沿$EF$折叠后点$B$和$B'$重合，
$\therefore BF=B'F$。
设$BF=x$,则$CF=5-x$,
当$△ B'FC∽△ ABC$时,$\frac{B'F}{AB}=\frac{CF}{BC}$。
$\because AB=3,BC=5$,
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{5-x}{5}$,
解得$x=\frac{15}{8}$。
$\therefore CF=5-x=\frac{25}{8}$。
当$△ FB'C∽△ ABC$时,$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$,即$\frac{x}{3}=\frac{5-x}{4}$,
解得$x=\frac{15}{7}$。
$\therefore CF=5-x=\frac{20}{7}$。
$\therefore CF$的长为$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$。
$\therefore BF=B'F$。
设$BF=x$,则$CF=5-x$,
当$△ B'FC∽△ ABC$时,$\frac{B'F}{AB}=\frac{CF}{BC}$。
$\because AB=3,BC=5$,
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{5-x}{5}$,
解得$x=\frac{15}{8}$。
$\therefore CF=5-x=\frac{25}{8}$。
当$△ FB'C∽△ ABC$时,$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$,即$\frac{x}{3}=\frac{5-x}{4}$,
解得$x=\frac{15}{7}$。
$\therefore CF=5-x=\frac{20}{7}$。
$\therefore CF$的长为$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$。
15.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$。点$P$从点$C$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CA$向点$A$匀速运动，同时点$Q$从点$B$出发，以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$向点$C$匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动。
（1）经过几秒，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$？
（2）经过几秒，$△ PCQ$与$△ ABC$相似？
（1）经过几秒，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$？
（2）经过几秒，$△ PCQ$与$△ ABC$相似？
答案
解:(1)设经过$t\ \mathrm{s}$,$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$,则$PC=2t\ \mathrm{cm}$,$BQ=t\ \mathrm{cm}$,$CQ=(5-t)\ \mathrm{cm}$。
$\therefore \frac{1}{2}× 2t×(5-t)=\frac{1}{2}×12×5×\frac{1}{5}$。
整理,得$t^2-5t+6=0$。
解得$t_1=2,t_2=3$。
$\because 0＜t＜5$,
$\therefore$ 经过$2\ \mathrm{s}$或$3\ \mathrm{s}$,$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$。
(2)①设经过$a\ \mathrm{s}$,$△ PCQ∽△ ACB$,
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{PC}{CQ}$。
$\therefore \frac{12}{5}=\frac{2a}{5-a}$,
解得$a=\frac{30}{11}$。
②设经过$b\ \mathrm{s}$,$△ PCQ∽△ BCA$,
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{PC}{CQ}$,
$\therefore \frac{5}{12}=\frac{2b}{5-b}$,
解得$b=\frac{25}{29}$。
综上,经过$\frac{30}{11}\ \mathrm{s}$或$\frac{25}{29}\ \mathrm{s}$,$△ PCQ$与$△ ABC$相似。
$\therefore \frac{1}{2}× 2t×(5-t)=\frac{1}{2}×12×5×\frac{1}{5}$。
整理,得$t^2-5t+6=0$。
解得$t_1=2,t_2=3$。
$\because 0＜t＜5$,
$\therefore$ 经过$2\ \mathrm{s}$或$3\ \mathrm{s}$,$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$。
(2)①设经过$a\ \mathrm{s}$,$△ PCQ∽△ ACB$,
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{PC}{CQ}$。
$\therefore \frac{12}{5}=\frac{2a}{5-a}$,
解得$a=\frac{30}{11}$。
②设经过$b\ \mathrm{s}$,$△ PCQ∽△ BCA$,
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{PC}{CQ}$,
$\therefore \frac{5}{12}=\frac{2b}{5-b}$,
解得$b=\frac{25}{29}$。
综上,经过$\frac{30}{11}\ \mathrm{s}$或$\frac{25}{29}\ \mathrm{s}$,$△ PCQ$与$△ ABC$相似。
