1. 若直线 $ y = -x + a $ 与直线 $ y = x + b $ 的交点坐标为 $ (2,8) $,则 $ a - b $ 的值为()
A.2
B.4
C.6
D.8

B

将交点坐标(2,8)代入直线$y=-x+a$，得$8=-2+a$，解得$a=10$；代入直线$y=x+b$，得$8=2+b$，解得$b=6$。则$a - b=10 - 6=4$。

2. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与直线 $ y = x $ 平行,且过点 $ (1,2) $,那么它必过点()
A.$ (-1,0) $
B.$ (2,-1) $
C.$ (2,1) $
D.$ (0,-1) $

A

由于直线$y = kx + b$与直线$y = x$平行，根据平行直线的性质，两直线的斜率相等。
因此，$k = 1$。
将$k = 1$和点$(1,2)$代入$y = kx + b$，得到：
$2 = 1 × 1 + b$，
解得$b = 1$。
因此，一次函数的解析式为$y = x + 1$。
接下来，将选项中的点代入此函数进行验证：
A. 将$(-1,0)$代入$y = x + 1$，得$0 = -1 + 1$，成立。
B. 将$(2,-1)$代入$y = x + 1$，得$-1 \neq 2 + 1$，不成立。
C. 将$(2,1)$代入$y = x + 1$，得$1 \neq 2 + 1$，不成立。
D. 将$(0,-1)$代入$y = x + 1$，得$-1 \neq 0 + 1$，不成立。
因此，只有点$(-1,0)$在直线$y = x + 1$上。

3. 若一次函数 $ y = mx - 2 $ 的图象经过点 $ A(x_1,y_1) $ 和点 $ B(x_2,y_2) $,当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时,$ y_1 ＞ y_2 $,则 $ m $ 的取值范围是()
A.$ m ＞ -2 $
B.$ m ＜ -2 $
C.$ m ＞ 0 $
D.$ m ＜ 0 $

D

一次函数 $ y = mx - 2$中，当$x_1 \lt x_2$时，$y_1 \gt y_2$，说明$y$ 随 $x$ 的增大而减小，根据一次函数的性质，当$m \lt 0$时，函数单调递减。
所以$m$的取值范围是$m \lt 0$。

4. 如图,点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $,点 $ B $ 在直线 $ y = x $ 上运动,当线段 $ AB $ 最短时,点 $ B $ 的坐标为.

$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$

过点A作直线y=x的垂线，垂足为B，此时AB最短。直线y=x的斜率为1，其垂线的斜率为-1。设过A(-1,0)且斜率为-1的直线方程为y=-x+b，将A点坐标代入得0=-(-1)+b，解得b=-1，即垂线方程为y=-x-1。联立方程组$\begin{cases}y=x\\y=-x-1\end{cases}$，解得$x=-\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$，所以点B的坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。

5. 如图,直线 $ l_1 $ 过原点,直线 $ l_2 $ 的表达式为 $ y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2 $,且直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 互相垂直,那么直线 $ l_1 $ 的表达式为.

$y = \sqrt{3}x$

直线$l_2$的斜率为$k_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，因为$l_1\perp l_2$，根据两直线垂直斜率乘积为$-1$，设$l_1$的斜率为$k_1$，则$k_1×(-\frac{\sqrt{3}}{3})=-1$，可得$k_1=\sqrt{3}$。
又因为直线$l_1$过原点，设$l_1$表达式为$y = k_1x$，把$k_1=\sqrt{3}$代入得$y=\sqrt{3}x$。

6. 已知 $ y $ 是关于 $ x $ 的一次函数,且点 $ A(0,4) $,$ B(1,2) $ 在此函数图象上.
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 当 $ -2 \leq y ＜ 4 $ 时,求 $ x $ 的取值范围.

（1）设一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k \neq 0$）。
将点$A(0,4)$，$B(1,2)$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}b = 4, \\k + b = 2.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -2, \\b = 4.\end{cases}$
所以这个一次函数的表达式为$y = -2x + 4$。
（2）当$y = -2$时，$-2x + 4 = -2$，解得$x = 3$；
当$y = 4$时，$-2x + 4 = 4$，解得$x = 0$。
因为$k = -2 \lt 0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
所以当$-2 \leq y \lt 4$时，$x$的取值范围是$0 \lt x \leq 3$。

7. 如图,直线 $ l_1 $ 过点 $ A(0,4) $,$ D(4,0) $,直线 $ l_2:y = \frac{1}{2}x + 1 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,两直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交于点 $ B $.
(1) 求直线 $ l_1 $ 的函数表达式和点 $ B $ 的坐标；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的面积.

(1) 直线$ l_1 $的表达式为$ y = -x + 4 $，点$ B(2,2) $；(2) $ 6 $。

(1) 设直线$ l_1 $的函数表达式为$ y = kx + b $。
∵ 直线$ l_1 $过点$ A(0,4) $，∴ $ b = 4 $。
又∵ 直线$ l_1 $过点$ D(4,0) $，代入$ y = kx + 4 $得：$ 0 = 4k + 4 $，解得$ k = -1 $。
∴ 直线$ l_1 $的函数表达式为$ y = -x + 4 $。
联立$ l_1 $与$ l_2 $的方程：$ \begin{cases} y = -x + 4 \\ y = \frac{1}{2}x + 1 \end{cases} $
解得$ -x + 4 = \frac{1}{2}x + 1 $，$ \frac{3}{2}x = 3 $，$ x = 2 $，代入$ y = -x + 4 $得$ y = 2 $。
∴ 点$ B $的坐标为$ (2,2) $。
(2) 直线$ l_2: y = \frac{1}{2}x + 1 $与$ x $轴交于点$ C $，令$ y = 0 $，则$ 0 = \frac{1}{2}x + 1 $，解得$ x = -2 $，∴ 点$ C $的坐标为$ (-2,0) $。
已知$ A(0,4) $，$ B(2,2) $，$ C(-2,0) $，
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} | x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) | $
代入得：$ \frac{1}{2} | 0×(2 - 0) + 2×(0 - 4) + (-2)×(4 - 2) | = \frac{1}{2} | 0 - 8 - 4 | = \frac{1}{2}×12 = 6 $。

8. 如图,已知直线 $ l_1:y = -x + 3 $ 与过点 $ (3,\frac{5}{2}) $ 和点 $ (-2,-5) $ 的直线 $ l_2 $ 相交于点 $ A $,直线 $ x = 4 $ 与直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 分别相交于点 $ B $,$ C $.
(1) 求直线 $ l_2 $ 的函数表达式和点 $ A $ 的坐标；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的面积.

(1)设$l_2$的函数表达式为$y = kx + b$，
将$(3,\frac{5}{2})$，$( - 2, - 5)$代入，
得$\begin{cases}3k + b = \frac{5}{2},\\-2k + b = - 5.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{3}{2},\\b = - 2.\end{cases}$
所以直线$l_2$的函数表达式为$y = \frac{3}{2}x - 2$。
由$\begin{cases}y = - x + 3,\\y = \frac{3}{2}x - 2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$
所以点$A$的坐标为$(2,1)$。
(2)当$x = 4$时，
对于$l_1$：$y = - 4 + 3 = - 1$，则$B(4, - 1)$；
对于$l_2$：$y = \frac{3}{2}×4 - 2 = 4$，则$C(4,4)$。
所以$BC = 4 - ( - 1) = 5$，
点$A$到直线$x = 4$的距离为$4 - 2 = 2$，
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×5×2 = 5$。
故$\triangle ABC$的面积为$5$。