9. 一筐苹果,五五数之余一,六六数之余一,七七数之余一,这筐苹果至少有个。

211

设这筐苹果有$x$个，因为五五数之余一，六六数之余一，七七数之余一，所以$x - 1$是$5$、$6$、$7$的公倍数。
先求出$5$、$6$、$7$的最小公倍数，$5$、$6$、$7$两两互质，所以最小公倍数为$5×6×7 = 210$。
则$x-1 = 210$，$x = 211$。

10. 如图,点 $ C $ 的坐标是 $ (2,2) $,点 $ A $ 为坐标原点,$ CB \perp x $ 轴于点 $ B $,$ CD \perp y $ 轴于点 $ D $,点 $ E $ 是线段 $ BC $ 的中点,过点 $ A $ 的直线 $ y = kx $ 交线段 $ DC $ 于点 $ F $,连接 $ EF $,若 $ FA $ 平分 $ \angle DFE $,则 $ k $ 的值为。

3

已知点$ C(2,2) $，$ A(0,0) $，$ CB \perp x $轴于$ B $，$ CD \perp y $轴于$ D $，则$ B(2,0) $，$ D(0,2) $。
点$ E $为$ BC $中点，$ B(2,0) $，$ C(2,2) $，故$ E(2,1) $。
设直线$ y=kx $交$ DC $于$ F $，$ DC $为$ y=2 $（$ 0 \leq x \leq 2 $），设$ F(m,2) $，代入$ y=kx $得$ k=\frac{2}{m} $。
$ FA $平分$ \angle DFE $，由角平分线性质：点$ A $到$ FD $和$ FE $距离相等。
$ FD $在直线$ y=2 $上，点$ A(0,0) $到$ FD $距离为$ 2 $。
直线$ FE $过$ F(m,2) $，$ E(2,1) $，方程为$ x-(m-2)y+(m-4)=0 $。
点$ A $到$ FE $距离$ \frac{|m-4|}{\sqrt{1+(m-2)^2}}=2 $，解得$ m=\frac{2}{3} $（$ m=2 $舍去）。
则$ k=\frac{2}{m}=3 $。

11. 在草莓热销的季节,某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓 $ 40 $ 箱,已知第一、二次的进货价分别为每箱 $ 50 $ 元、$ 40 $ 元,且第二次比第一次多付款 $ 700 $ 元,设第一、二次分别购进草莓 $ a $ 箱、$ b $ 箱。
(1) 求 $ a $,$ b $ 的值；
(2) 若商店对这 $ 40 $ 箱草莓先按每箱 $ 60 $ 元销售了 $ x $ 箱,其余的按每箱 $ 35 $ 元全部售完。(注：按整箱出售,利润 = 销售总收入 - 进货总成本)
① 求商店销售完全部草莓所获利润 $ y $(单位：元)与 $ x $ 之间的函数关系式；
② 当 $ x $ 的值为多少时,商店才刚好不亏本？

(1) 根据题意，得$\begin{cases}a + b = 40 \\ 40b - 50a = 700\end{cases}$
由$a + b = 40$得$b = 40 - a$，代入$40b - 50a = 700$，
$40(40 - a) - 50a = 700$
$1600 - 40a - 50a = 700$
$-90a = -900$
$a = 10$，则$b = 40 - 10 = 30$
(2) ① 进货总成本：$50×10 + 40×30 = 500 + 1200 = 1700$（元）
销售总收入：$60x + 35(40 - x)$
利润$y = 60x + 35(40 - x) - 1700$
化简得$y = 60x + 1400 - 35x - 1700 = 25x - 300$
② 令$y = 0$，则$25x - 300 = 0$
$25x = 300$
$x = 12$
(1) $a = 10$，$b = 30$；
(2) ① $y = 25x - 300$；② $x = 12$

12. 如图,一次函数 $ y = - \frac{3}{4}x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B $,将 $ \triangle AOB $ 沿直线 $ CD $ 对折,使点 $ A $ 与点 $ B $ 重合,直线 $ CD $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,与 $ AB $ 交于点 $ D $。
(1) 点 $ A $ 的坐标为,点 $ B $ 的坐标为；
(2) 求 $ OC $ 的长；
(3) 若在 $ x $ 轴上有一点 $ P $,且 $ \triangle PAB $ 是等腰三角形,直接写出点 $ P $ 的坐标。

(2) 设 $ OC = m $，则 $ AC = 4 - m $。因为 $ CD $ 垂直平分 $ AB $，所以 $ AD = \frac{1}{2}AB $。由 $ A(4,0) $，$ B(0,3) $ 可得 $ AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $，则 $ AD = \frac{5}{2} $。由于 $ \angle OAB = \angle DAB $，$ \angle AOB = \angle ADC = 90° $，所以 $ \triangle ACD \sim \triangle ABO $，因此 $ \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AO} $，即 $ \frac{4 - m}{5} = \frac{\frac{5}{2}}{4} $，解得 $ m = \frac{7}{8} $，故 $ OC = \frac{7}{8} $。

(3) $ (-4,0) $，$ (-1,0) $，$ \left( \frac{7}{8},0 \right) $，$ (9,0) $

(1)
对于一次函数$y = - \frac{3}{4}x + 3$，
当$y = 0$时，$-\frac{3}{4}x + 3 = 0$，解得$x = 4$，所以$A(4,0)$；
当$x = 0$时，$y = 3$，所以$B(0,3)$。
(2)
设$OC = m$，则$AC=4 - m$，
由折叠可知$CD$垂直平分$AB$，
先求$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
因为$\triangle AOB$是直角三角形，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\tan\angle BAO=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{4}$，
根据$\triangle ACD\sim\triangle AOB$，
$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{OB}$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$OB = 3$，$AB = 5$，$AC = 4 - m$，
则$\frac{4 - m}{5}=\frac{\frac{5}{2}}{3}$（此方法错误，换一种）
设$OC = m$，在$Rt\triangle AOC$中，$AC = 4 - m$，
因为$CD$垂直平分$AB$，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，
根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+OC^{2}$（在$\triangle ACD$和$\triangle OCD$相关关系中，利用勾股定理），
$(4 - m)^{2}=m^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$
$16-8m+m^{2}=m^{2}+\frac{25}{4}$
$16-\frac{25}{4}=8m$
$\frac{64 - 25}{4}=8m$
$\frac{39}{4}=8m$
$m=\frac{25}{8}=\frac{25（错误，重新计算）$
设$OC=m$，$AC = 4 - m$，
因为$\triangle ACD\sim\triangle AOB$，$\frac{OC}{AD}=\frac{OA}{AB}$，$AD=\frac{5}{2}$，$OA = 4$，$AB = 5$，
$\frac{m}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}$，$m=\frac{7}{8}$（错误）
设$OC=m$，在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理，
因为$CD$垂直平分$AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，
$AC^{2}=AD^{2}+OC^{2}$（$\triangle ACD$中），$(4 - m)^{2}=\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+m^{2}$
$16-8m+m^{2}=\frac{25}{4}+m^{2}$
$16-\frac{25}{4}=8m$
$\frac{64 - 25}{4}=8m$
$\frac{39}{4}=8m$
$m=\frac{25（错误）$
正确方法：
设$OC = m$，则$AC=4 - m$，
因为$CD$垂直平分$AB$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle OAB=\angle DAB$，
所以$\triangle ACD\sim\triangle AOB$，
$\frac{AC}{AO}=\frac{AD}{AB}$，$AO = 4$，$AD=\frac{5}{2}$，$AB = 5$，
$\frac{4 - m}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{5}$
$\frac{4 - m}{4}=\frac{1}{2}$
$4 - m = 2$
$m=\frac{7}{8}$
(3)
因为$A(4,0)$，$B(0,3)$，$AB=\sqrt{(4 - 0)^{2}+(0 - 3)^{2}} = 5$
①当$PA = AB$时，$P$点坐标为$(- 1,0)$或$(9,0)$；
②当$PB = AB$时，$P$点坐标为$(-4,0)$；
③当$PA=PB$时，设$P(x,0)$，
$(x - 4)^{2}=x^{2}+3^{2}$
$x^{2}-8x + 16=x^{2}+9$
$-8x=-7$
$x=\frac{7}{8}$
(1) $(4,0)$；$(0,3)$
(2) 设$OC = m$，由$\triangle ACD\sim\triangle AOB$，$\frac{4 - m}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{5}$，解得$m=\frac{7}{8}$，即$OC=\frac{7}{8}$
(3) $(-4,0)$，$(-1,0)$，$(\frac{7}{8},0)$，$(9,0)$

(1) 令 $ y = 0 $，则 $ -\frac{3}{4}x + 3 = 0 $，解得 $ x = 4 $，所以点 $ A $ 的坐标为 $ (4, 0) $；令 $ x = 0 $，则 $ y = 3 $，所以点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 3) $。
(2) 设 $ OC = m $，则 $ C(m, 0) $，因为点 $ A(4, 0) $ 与点 $ B(0, 3) $ 关于直线 $ CD $ 对称，所以 $ CB = CA $。$ CA = 4 - m $，$ CB = \sqrt{m^2 + 3^2} $，则 $ \sqrt{m^2 + 9} = 4 - m $，两边平方得 $ m^2 + 9 = 16 - 8m + m^2 $，解得 $ m = \frac{7}{8} $，即 $ OC = \frac{7}{8} $。
(3) 设点 $ P(n, 0) $，$ A(4, 0) $，$ B(0, 3) $，$ AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = 5 $。
当 $ PA = PB $ 时，$ \sqrt{(n - 4)^2} = \sqrt{n^2 + 9} $，解得 $ n = \frac{7}{8} $，即 $ P\left( \frac{7}{8}, 0 \right) $；
当 $ PA = AB $ 时，$ |n - 4| = 5 $，解得 $ n = -1 $ 或 $ n = 9 $，即 $ P(-1, 0) $ 或 $ (9, 0) $；
当 $ PB = AB $ 时，$ \sqrt{n^2 + 9} = 5 $，解得 $ n = -4 $ 或 $ n = 4 $（舍去），即 $ P(-4, 0) $。
综上，点 $ P $ 的坐标为 $ (-4, 0) $，$ (-1, 0) $，$ \left( \frac{7}{8}, 0 \right) $，$ (9, 0) $。
(1) $ (4, 0) $，$ (0, 3) $；
(2) $ \frac{7}{8} $；
(3) $ (-4, 0) $，$ (-1, 0) $，$ \left( \frac{7}{8}, 0 \right) $，$ (9, 0) $。