1. 如图是一张直角三角形的纸片,两直角边$AC= 6cm$,$BC= 8cm$,现将$\triangle ABC$折叠,使点$B与点A$重合,折痕为$DE$,则$BE= $()

A.$4cm$
B.$5cm$
C.$6cm$
D.$10cm$

B

在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10cm。折叠后点B与点A重合，折痕DE为AB的垂直平分线，所以AE=BE。设BE=xcm，则AE=xcm，EC=BC-BE=(8-x)cm。在Rt△AEC中，AC²+EC²=AE²，即6²+(8-x)²=x²，解得x=6.25。（注：原解析过程存在错误，根据题目所给图形及条件，正确解法应为上述过程，但选项中无6.25，推测可能是图形中E点位置在AB上，此时BE=AB/2=5cm，故修正如下）
在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=√(6²+8²)=10cm。折叠后点B与点A重合，折痕DE垂直平分AB，所以E为AB中点，BE=AB/2=5cm。

2. 如图,长方形$ABCD$中,$AB= 8cm$,$BC= 10cm$,在$CD上取一点E$,将$\triangle ADE折叠使点D恰好落在BC上的点F$处,则$CE= $()

A.$2cm$
B.$3cm$
C.$4cm$
D.$5cm$

B

由题意，长方形$ABCD$中，$AB = 8cm$，$AD = BC = 10cm$，$CD=AB=8cm$。
由于$\triangle ADE$折叠后点$D$落在$BC$上的点$F$处，根据折叠的性质，得到$AD = AF = 10cm$，$DE=EF$，$\angle D=\angle AFE=90°$。
在$\triangle ABF$中，$AB=8cm$，$AF = 10cm$，根据勾股定理，$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2} = 6cm$。
所以$FC = BC - BF = 10 - 6 = 4cm$。
设$CE=xcm$，则$DE = CD - CE = (8 - x)cm$，那么$EF = DE = (8 - x)cm$。
在$\triangle EFC$中，$EC=xcm$，$EF = (8 - x)cm$，$FC = 4cm$，根据勾股定理可得：
$EC^{2}+FC^{2}=EF^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$。
展开$(8 - x)^{2}$得$x^{2}+16 = 64 - 16x+x^{2}$。
移项可得$16x = 64 - 16$，即$16x = 48$，解得$x = 3$，所以$CE = 3cm$。

3. 如图,$Rt\triangle ABC$中,$AB= 9$,$BC= 6$,$\angle B= 90^{\circ}$,将$\triangle ABC$折叠,使点$A与BC的中点D$重合,折痕为$MN$,则$BN= $()

A.$4$
B.$5$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{5}{2}$

A

∵D是BC中点，BC=6，∴BD=3。设BN=x，由折叠知AN=DN=9-x。在Rt△DBN中，∠B=90°，由勾股定理得：x²+3²=(9-x)²。解得x=4，即BN=4。

4. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB= 16$,$BC= 8$,将长方形沿对角线$AC$折叠,点$D落在点E$处,且$CE与AB交于点F$,则$AF= $。

10

∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=8，CD=AB=16，∠D=∠B=90°。
由折叠性质得：△ADC≌△AEC，∴AE=AD=8，CE=CD=16，∠E=∠D=90°，∠ACD=∠ACE。
∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD（两直线平行，内错角相等），∴∠BAC=∠ACE，∴AF=CF（等角对等边）。
设AF=x，则CF=x，BF=AB-AF=16-x，EF=CE-CF=16-x。
在Rt△AEF中，AE=8，EF=16-x，AF=x，由勾股定理得：$8^2+(16-x)^2=x^2$。
解得：$64+256-32x+x^2=x^2$，$320=32x$，$x=10$。即AF=10。

5. 如图,将长方形纸片$ABCD$折叠,使得$DC边落在对角线AC$上,点$D落在点D'$处,折痕为$CE$,若$AB= 6$,$AD= 8$,则线段$ED$的长为。

$3$

$\because$四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AB = CD = 6$，$AD = BC = 8$，$\angle D = \angle B = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。
由折叠可知$\triangle CDE\cong\triangle CD'E$，
$\therefore CD' = CD = 6$，$D'E = DE$，$\angle CD'E = \angle D = 90^{\circ}$。
设$DE = D'E = x$，则$AE = 8 - x$。
在$Rt\triangle AD'E$中，$AD' = AC - CD' = 10 - 6 = 4$。
根据勾股定理可得：
$AD'^{2}+D'E^{2}=AE^{2}$，
即$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，
$16 + x^{2}=64 - 16x + x^{2}$，
$16x = 48$，
解得$x = 3$。

6. 把一张长方形纸片$ABCD$按如图方式折叠,使点$B和点D$重合,折痕为$EF$。若$AB= 3cm$,$BC= 5cm$,求重叠部分$\triangle DEF$的面积。

51/10cm²

解：设折叠后点B与D重合，折痕为EF，E在BC上，F在AD上。
由折叠性质知：DE=BE，DF=BF。
设CE=x，则BE=BC-CE=5-x，故DE=5-x。
在Rt△DCE中，DC=AB=3cm，根据勾股定理：
DE²=DC²+CE²
即(5-x)²=3²+x²
展开得：25-10x+x²=9+x²
化简得：25-10x=9
解得：x=8/5
∴CE=8/5cm，BE=DE=5-8/5=17/5cm。
设AF=y，则DF=AD-AF=5-y，故BF=5-y。
在Rt△ABF中，AB=3cm，根据勾股定理：
BF²=AB²+AF²
即(5-y)²=3²+y²
展开得：25-10y+y²=9+y²
化简得：25-10y=9
解得：y=8/5
∴DF=5-8/5=17/5cm。
△DEF中，DF=17/5cm，DF边上的高为DC=3cm（点E到AD的距离即长方形的宽）。
∴S△DEF=1/2×DF×DC=1/2×(17/5)×3=51/10cm²。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 20$,$AC= 12$,$BC= 16$,把$\triangle ABC$折叠,使$AB落在直线AC$上,求重叠部分(阴影部分)的面积。

36

解：
1. 判断△ABC形状：
$AC=12$，$BC=16$，$AB=20$，
$\because AC^2 + BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2 = AB^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle C=90°$。
2. 折叠性质与线段关系：
折叠后$B$落在直线$AC$上的$B'$处，折痕为$AD$（$D$在$BC$上），则$AB'=AB=20$，$BD=B'D$。
$\because AC=12$，$B'$在$AC$延长线上，$\therefore CB'=AB'-AC=20-12=8$。
3. 设未知数并利用勾股定理：
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=16-x$，$\therefore B'D=16-x$。
在$Rt\triangle DCB'$中，$CD^2 + CB'^2 = B'D^2$，即：
$x^2 + 8^2 = (16 - x)^2$，
解得$x=6$，即$CD=6$。
4. 计算重叠部分面积：
阴影部分为$Rt\triangle ADC$，面积$S = \frac{1}{2} × AC × CD = \frac{1}{2} × 12 × 6 = 36$。

8. 如图,在正方形$ABCD$中,过点$A引射线AH$,交边$CD于点H$(点$H与点D$不重合)。通过翻折,使点$B落在射线AH上的点G$处,折痕$AE交BC于点E$,延长$EG交CD于点F$。如图1,当点$H与点C$重合时,可得$FG= FD$。
(1) 如图2,当点$H为边CD$上任意一点时,猜想$FG与FD$之间的数量关系,并说明理由；
(2) 在(1)的条件下,当$AB= 5$,$BE= 3$时,求出$FG$的长。

(1) FG=FD。理由如下：
由折叠性质得AG=AB，EG=EB，∠AGE=∠ABE=90°，∴∠AGF=90°。
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=AG，∠D=90°。
在Rt△AGF和Rt△ADF中，AG=AD，AF=AF，∴Rt△AGF≌Rt△ADF(HL)，∴FG=FD。
(2) 设FG=FD=x，∵AB=5，∴AD=CD=5，BE=EG=3，EC=BC-BE=5-3=2，FC=5-x，EF=EG+FG=3+x。
在Rt△ECF中，EC²+FC²=EF²，即2²+(5-x)²=(3+x)²，解得x=5/4。
∴FG=5/4。