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23. (11分)我们知道,如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫这个圆的内接四边形。我们规定:若圆的内接四边形有一组邻边相等,则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”。
(1)下列用含$30°$和$45°$角的直角三角形纸板拼出的4个四边形(如图17)中,是邻等内接四边形的是(填序号)。
(2)如图18,四边形ABCD是邻等内接四边形,且$∠ BAC = 90°$,$AB=3$,$AC=4$,$AB=AD$。求四边形ABCD的面积。
(1)下列用含$30°$和$45°$角的直角三角形纸板拼出的4个四边形(如图17)中,是邻等内接四边形的是(填序号)。
(2)如图18,四边形ABCD是邻等内接四边形,且$∠ BAC = 90°$,$AB=3$,$AC=4$,$AB=AD$。求四边形ABCD的面积。
答案
(1)
$\boldsymbol{②③}$
---
(2)
解：
$\because ∠ BAC=90°$，四边形$ABCD$是圆的内接四边形，
$\therefore BC$是该外接圆的直径。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AB=AD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD$，即$AC$平分$∠ BCD$。
过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$，$AN⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$N$，由角平分线性质得$AM=AN$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}· BC· AM$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AM$，解得$AM=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中：
$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$，
$\therefore S_{△ ACM}=\frac{1}{2}· CM· AM=\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×\frac{12}{5}=\frac{96}{25}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$和$\mathrm{Rt}△ ABM$中：
$\begin{cases}AD=AB\\AN=AM\end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADN≌\mathrm{Rt}△ ABM\ (\mathrm{HL})$。
同理可证$\mathrm{Rt}△ ACN≌\mathrm{Rt}△ ACM\ (\mathrm{HL})$。
$\therefore S_{△ ACN}=S_{△ ACM}=\frac{96}{25}$，
$S_{△ ABM}=S_{△ ABC}-S_{△ ACM}=6-\frac{96}{25}=\frac{54}{25}$，
$\therefore S_{△ ADN}=S_{△ ABM}=\frac{54}{25}$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ACN}-S_{△ ADN}=\frac{96}{25}-\frac{54}{25}=\frac{42}{25}$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=6+\frac{42}{25}=\frac{192}{25}$。
答：四边形$ABCD$的面积为$\boldsymbol{\frac{192}{25}}$。
$\boldsymbol{②③}$
---
(2)
解：
$\because ∠ BAC=90°$，四边形$ABCD$是圆的内接四边形，
$\therefore BC$是该外接圆的直径。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AB=AD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD$，即$AC$平分$∠ BCD$。
过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$，$AN⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$N$，由角平分线性质得$AM=AN$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}· BC· AM$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AM$，解得$AM=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中：
$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$，
$\therefore S_{△ ACM}=\frac{1}{2}· CM· AM=\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×\frac{12}{5}=\frac{96}{25}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$和$\mathrm{Rt}△ ABM$中：
$\begin{cases}AD=AB\\AN=AM\end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADN≌\mathrm{Rt}△ ABM\ (\mathrm{HL})$。
同理可证$\mathrm{Rt}△ ACN≌\mathrm{Rt}△ ACM\ (\mathrm{HL})$。
$\therefore S_{△ ACN}=S_{△ ACM}=\frac{96}{25}$，
$S_{△ ABM}=S_{△ ABC}-S_{△ ACM}=6-\frac{96}{25}=\frac{54}{25}$，
$\therefore S_{△ ADN}=S_{△ ABM}=\frac{54}{25}$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ACN}-S_{△ ADN}=\frac{96}{25}-\frac{54}{25}=\frac{42}{25}$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=6+\frac{42}{25}=\frac{192}{25}$。
答：四边形$ABCD$的面积为$\boldsymbol{\frac{192}{25}}$。
解析
【分析】
(1) 解决本小问需同时满足两个核心条件：①是圆内接四边形，即四边形对角互补；②是邻等四边形，即存在一组邻边相等。结合含30°、45°的直角三角板的边长、角度特征，逐一验证四个四边形是否同时满足上述两个条件即可。
(2) 解决本小问的思路如下：①由∠BAC=90°且四边形内接于圆，根据90°圆周角所对的弦是直径，可得BC为外接圆直径，先求出△ABC的面积和BC的长度；②由AB=AD可得对应弧相等，结合圆周角定理推出AC平分∠BCD；③利用角平分线的性质作两条高，再通过HL证明两组直角三角形全等，将△ACD的面积转化为可计算的部分，最后将两个三角形的面积相加得到四边形总面积。
【解析】
(1) 逐一判断4个四边形：
① 对角和不为180°，无法内接于圆，不符合要求；
② 对角互补可内接于圆，且存在一组邻边相等，符合“邻等内接四边形”定义；
③ 对角互补可内接于圆，且存在一组邻边相等，符合定义；
④ 无相等邻边，不符合要求；
故填②③。
(2) 解：
∵ ∠BAC=90°，四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴ BC是该外接圆的直径。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵ AB=AD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ ∠ACB=∠ACD，即AC平分∠BCD。
过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N，由角平分线性质得AM=AN。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·AC=\frac{1}{2}·BC·AM$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AM$，解得$AM=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ACM$中：
$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$，
∴ $S_{△ACM}=\frac{1}{2}·CM·AM=\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×\frac{12}{5}=\frac{96}{25}$。
在$\mathrm{Rt}△ADN$和$\mathrm{Rt}△ABM$中：
$\begin{cases}AD=AB\\AN=AM\end{cases}$，
∴ $\mathrm{Rt}△ADN≌\mathrm{Rt}△ABM\ (\mathrm{HL})$。
同理可证$\mathrm{Rt}△ACN≌\mathrm{Rt}△ACM\ (\mathrm{HL})$。
∴ $S_{△ACN}=S_{△ACM}=\frac{96}{25}$，
$S_{△ABM}=S_{△ABC}-S_{△ACM}=6-\frac{96}{25}=\frac{54}{25}$，
∴ $S_{△ADN}=S_{△ABM}=\frac{54}{25}$，
∴ $S_{△ACD}=S_{△ACN}-S_{△ADN}=\frac{96}{25}-\frac{54}{25}=\frac{42}{25}$。
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=6+\frac{42}{25}=\frac{192}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$
(2) $\boldsymbol{\frac{192}{25}}$
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为新定义类几何题，需要先准确理解新定义的内涵，再结合圆的基本性质、角平分线性质、全等三角形的知识求解。第一问侧重概念的理解与判断，第二问考察几何综合应用能力，通过全等转换面积是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 解决本小问需同时满足两个核心条件：①是圆内接四边形，即四边形对角互补；②是邻等四边形，即存在一组邻边相等。结合含30°、45°的直角三角板的边长、角度特征，逐一验证四个四边形是否同时满足上述两个条件即可。
(2) 解决本小问的思路如下：①由∠BAC=90°且四边形内接于圆，根据90°圆周角所对的弦是直径，可得BC为外接圆直径，先求出△ABC的面积和BC的长度；②由AB=AD可得对应弧相等，结合圆周角定理推出AC平分∠BCD；③利用角平分线的性质作两条高，再通过HL证明两组直角三角形全等，将△ACD的面积转化为可计算的部分，最后将两个三角形的面积相加得到四边形总面积。
【解析】
(1) 逐一判断4个四边形：
① 对角和不为180°，无法内接于圆，不符合要求；
② 对角互补可内接于圆，且存在一组邻边相等，符合“邻等内接四边形”定义；
③ 对角互补可内接于圆，且存在一组邻边相等，符合定义；
④ 无相等邻边，不符合要求；
故填②③。
(2) 解：
∵ ∠BAC=90°，四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴ BC是该外接圆的直径。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵ AB=AD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ ∠ACB=∠ACD，即AC平分∠BCD。
过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N，由角平分线性质得AM=AN。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·AC=\frac{1}{2}·BC·AM$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AM$，解得$AM=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ACM$中：
$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$，
∴ $S_{△ACM}=\frac{1}{2}·CM·AM=\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×\frac{12}{5}=\frac{96}{25}$。
在$\mathrm{Rt}△ADN$和$\mathrm{Rt}△ABM$中：
$\begin{cases}AD=AB\\AN=AM\end{cases}$，
∴ $\mathrm{Rt}△ADN≌\mathrm{Rt}△ABM\ (\mathrm{HL})$。
同理可证$\mathrm{Rt}△ACN≌\mathrm{Rt}△ACM\ (\mathrm{HL})$。
∴ $S_{△ACN}=S_{△ACM}=\frac{96}{25}$，
$S_{△ABM}=S_{△ABC}-S_{△ACM}=6-\frac{96}{25}=\frac{54}{25}$，
∴ $S_{△ADN}=S_{△ABM}=\frac{54}{25}$，
∴ $S_{△ACD}=S_{△ACN}-S_{△ADN}=\frac{96}{25}-\frac{54}{25}=\frac{42}{25}$。
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=6+\frac{42}{25}=\frac{192}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$
(2) $\boldsymbol{\frac{192}{25}}$
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为新定义类几何题，需要先准确理解新定义的内涵，再结合圆的基本性质、角平分线性质、全等三角形的知识求解。第一问侧重概念的理解与判断，第二问考察几何综合应用能力，通过全等转换面积是解题的关键。
【难度系数】
0.6
