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1.已知$a-b=8,a^2+b^2=82$,则$ab$的值是（
A.9
B.$-9$
C.27
D.$-27$
A
）A.9
B.$-9$
C.27
D.$-27$
答案
1. A
解析
【分析】
已知a-b的数值和a²+b²的数值，要求ab的值，首先联想到完全平方差公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²，该公式刚好包含a-b、a²+b²、ab三个量，已知其中两个量即可求出第三个量。解题时先计算出(a-b)²的值，再把a²+b²的值代入公式，通过移项计算就能求出ab的值。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
已知$a-b=8$，则$(a-b)^2 = 8^2 = 64$
又已知$a^2 + b^2 = 82$，将二者代入上述公式：
$64 = 82 - 2ab$
移项计算得：$2ab = 82 - 64 = 18$
两边同时除以2得：$ab = 9$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方差公式；代数式求值
【点评】
本题是乘法公式应用的常见基础题型，核心考查完全平方公式的变形运用，熟练掌握公式的展开形式及常见变形是解题关键，计算时要注意移项的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
已知a-b的数值和a²+b²的数值，要求ab的值，首先联想到完全平方差公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²，该公式刚好包含a-b、a²+b²、ab三个量，已知其中两个量即可求出第三个量。解题时先计算出(a-b)²的值，再把a²+b²的值代入公式，通过移项计算就能求出ab的值。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
已知$a-b=8$，则$(a-b)^2 = 8^2 = 64$
又已知$a^2 + b^2 = 82$，将二者代入上述公式：
$64 = 82 - 2ab$
移项计算得：$2ab = 82 - 64 = 18$
两边同时除以2得：$ab = 9$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方差公式；代数式求值
【点评】
本题是乘法公式应用的常见基础题型，核心考查完全平方公式的变形运用，熟练掌握公式的展开形式及常见变形是解题关键，计算时要注意移项的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2.若$|x - y - 5| + (xy - 6)^2 = 0$，则$x^2 + y^2$的值为
37
。答案
2. 37
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的特征：等式是绝对值与平方的和为0。根据绝对值和偶次平方的非负性，可知两个非负项分别为0，由此可求出x-y与xy的值。再观察待求式$x^2+y^2$，可通过完全平方公式变形为含$(x-y)$和$xy$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|x - y - 5|≥0$，$(xy - 6)^2≥0$，且两者的和为0
∴ $\begin{cases}x - y - 5 = 0 \\xy - 6 = 0\end{cases}$
整理得：$x - y = 5$，$xy = 6$
根据完全平方公式变形可得：
$x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$
将$x - y = 5$，$xy = 6$代入上式得：
原式$=5^2 + 2×6 = 25 + 12 = 37$
【答案】
37
【知识点】
非负数的性质；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，核心考查非负数的性质与完全平方公式的灵活变形，运用整体代入的思想可简化计算过程，避免求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的特征：等式是绝对值与平方的和为0。根据绝对值和偶次平方的非负性，可知两个非负项分别为0，由此可求出x-y与xy的值。再观察待求式$x^2+y^2$，可通过完全平方公式变形为含$(x-y)$和$xy$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|x - y - 5|≥0$，$(xy - 6)^2≥0$，且两者的和为0
∴ $\begin{cases}x - y - 5 = 0 \\xy - 6 = 0\end{cases}$
整理得：$x - y = 5$，$xy = 6$
根据完全平方公式变形可得：
$x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$
将$x - y = 5$，$xy = 6$代入上式得：
原式$=5^2 + 2×6 = 25 + 12 = 37$
【答案】
37
【知识点】
非负数的性质；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，核心考查非负数的性质与完全平方公式的灵活变形，运用整体代入的思想可简化计算过程，避免求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
3.若$4a^2 + b^2 = 57$，$ab = 6$，则$2a + b$的值为
±9
答案
3. ±9
解析
【分析】
要求$2a+b$的值，已知$4a^2+b^2$和$ab$的数值，可联想完全平方和公式，先计算$(2a+b)^2$的值，再根据平方根的性质求出$2a+b$的结果，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=2a$，$n=b$，可得：
$\begin{aligned}(2a+b)^2&=(2a)^2+2×2a· b +b^2\\&=4a^2+4ab+b^2\end{aligned}$
将$4a^2+b^2=57$，$ab=6$代入上式：
$4a^2+4ab+b^2=57+4×6=57+24=81$
即$(2a+b)^2=81$，根据平方根的定义可得：
$2a+b=\pm\sqrt{81}=\pm9$
【答案】
$\pm9$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题考查乘法公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过构造目标式的平方间接求解，同时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
要求$2a+b$的值，已知$4a^2+b^2$和$ab$的数值，可联想完全平方和公式，先计算$(2a+b)^2$的值，再根据平方根的性质求出$2a+b$的结果，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=2a$，$n=b$，可得：
$\begin{aligned}(2a+b)^2&=(2a)^2+2×2a· b +b^2\\&=4a^2+4ab+b^2\end{aligned}$
将$4a^2+b^2=57$，$ab=6$代入上式：
$4a^2+4ab+b^2=57+4×6=57+24=81$
即$(2a+b)^2=81$，根据平方根的定义可得：
$2a+b=\pm\sqrt{81}=\pm9$
【答案】
$\pm9$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题考查乘法公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过构造目标式的平方间接求解，同时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
4. (1)已知$a-\frac{2}{a}=4$，则$a^2+\frac{4}{a^2}$的值是________。
(2)【T4(1)变式】已知$a+\frac{1}{a}=3$，求$(a-\frac{1}{a})^2$的值。
(2)【T4(1)变式】已知$a+\frac{1}{a}=3$，求$(a-\frac{1}{a})^2$的值。
答案
(1) 20
(2) 解:原式$=(a+\frac{1}{a})^2 -4 · a · \frac{1}{a}=3^2 -4=5$
(2) 解:原式$=(a+\frac{1}{a})^2 -4 · a · \frac{1}{a}=3^2 -4=5$
解析
【分析】
这两道题均考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 观察已知等式$a-\frac{2}{a}=4$和所求式子$a^2+\frac{4}{a^2}$的结构，发现所求式子是已知等式左边两项的平方和，因此可以将已知等式左右两边同时平方，利用完全平方公式展开后，交叉项为常数，移项即可求出结果。
(2) 所求$(a-\frac{1}{a})^2$展开后为$a^2-2+\frac{1}{a^2}$，而已知$a+\frac{1}{a}=3$，将已知等式平方可得到$a^2+2+\frac{1}{a^2}$的值，进而求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值代入即可；也可以直接利用$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$的变形公式，结合$a·\frac{1}{a}=1$的特点直接计算。
【解析】
(1) 对等式$a-\frac{2}{a}=4$两边同时平方，根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$可得：
$(a-\frac{2}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = 4^2$
化简得：$a^2 -4 + \frac{4}{a^2}=16$
移项计算得：$a^2+\frac{4}{a^2}=16+4=20$
(2) 根据完全平方公式的变形关系$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，令$b=\frac{1}{a}$，则$ab=a·\frac{1}{a}=1$，代入得：
$(a-\frac{1}{a})^2=(a+\frac{1}{a})^2 -4ab=3^2 -4×1=9-4=5$
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；乘法公式变形
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，解题核心是抓住已知和所求式子的结构特征，利用完全平方公式展开后交叉项为常数的特点，通过等式平方建立已知和未知的联系，熟练掌握公式的常见变形可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 观察已知等式$a-\frac{2}{a}=4$和所求式子$a^2+\frac{4}{a^2}$的结构，发现所求式子是已知等式左边两项的平方和，因此可以将已知等式左右两边同时平方，利用完全平方公式展开后，交叉项为常数，移项即可求出结果。
(2) 所求$(a-\frac{1}{a})^2$展开后为$a^2-2+\frac{1}{a^2}$，而已知$a+\frac{1}{a}=3$，将已知等式平方可得到$a^2+2+\frac{1}{a^2}$的值，进而求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值代入即可；也可以直接利用$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$的变形公式，结合$a·\frac{1}{a}=1$的特点直接计算。
【解析】
(1) 对等式$a-\frac{2}{a}=4$两边同时平方，根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$可得：
$(a-\frac{2}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = 4^2$
化简得：$a^2 -4 + \frac{4}{a^2}=16$
移项计算得：$a^2+\frac{4}{a^2}=16+4=20$
(2) 根据完全平方公式的变形关系$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，令$b=\frac{1}{a}$，则$ab=a·\frac{1}{a}=1$，代入得：
$(a-\frac{1}{a})^2=(a+\frac{1}{a})^2 -4ab=3^2 -4×1=9-4=5$
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；乘法公式变形
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，解题核心是抓住已知和所求式子的结构特征，利用完全平方公式展开后交叉项为常数的特点，通过等式平方建立已知和未知的联系，熟练掌握公式的常见变形可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5. a,b均为正数，$a-b=1$，$ab=2$，则$a+b$的值是
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
本题已知a-b和ab的值，要求a+b，可联想到完全平方公式的变形关系：(a+b)²与(a-b)²的差值为4ab，因此不需要单独求解a、b的具体值，通过整体代入即可先求出(a+b)²的值，再结合a、b均为正数的条件确定a+b的符号，开方得到最终结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
因此推导得变形公式：$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$
将$a-b=1$，$ab=2$代入上式：
$(a+b)^2 = 1^2 + 4×2 = 1 + 8 = 9$
∵a、b均为正数，
∴$a+b＞0$
∴$a+b=\sqrt{9}=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，核心考查完全平方公式的变形运用，采用整体代入的方法计算可简化运算过程，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知a-b和ab的值，要求a+b，可联想到完全平方公式的变形关系：(a+b)²与(a-b)²的差值为4ab，因此不需要单独求解a、b的具体值，通过整体代入即可先求出(a+b)²的值，再结合a、b均为正数的条件确定a+b的符号，开方得到最终结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
因此推导得变形公式：$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$
将$a-b=1$，$ab=2$代入上式：
$(a+b)^2 = 1^2 + 4×2 = 1 + 8 = 9$
∵a、b均为正数，
∴$a+b＞0$
∴$a+b=\sqrt{9}=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，核心考查完全平方公式的变形运用，采用整体代入的方法计算可简化运算过程，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 已知$a+b=6$，$ab=2$，求下列各式的值：
①$a^2+b^2$；②$(a-b)^2$；③$a^2-ab+b^2$。
①$a^2+b^2$；②$(a-b)^2$；③$a^2-ab+b^2$。
答案
解:①$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 6^2 - 2× 2 = 32$；②$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 6^2 - 4× 2 = 28$；③$a^2 - ab + b^2 = a^2 + b^2 - ab = (a + b)^2 - 3ab = 6^2 - 3× 2 = 30$。
解析
【分析】
本题已知$a+b$与$ab$的值，无需计算$a$、$b$的具体数值，可利用完全平方公式的变形，将待求的三个式子均转化为含有$(a+b)^2$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，根据这两个公式对待求式变形：①把$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$；②把$(a-b)^2$变形为$(a+b)^2-4ab$，也可利用①的结果计算；③把$a^2-ab+b^2$变形为$(a+b)^2-3ab$，也可利用①的结果计算。
【解析】
解：①根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=6^2 - 2×2 = 36 - 4 = 32$
②根据完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=6^2 - 4×2 = 36 - 8 = 28$
③将式子变形为：
$a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=6^2 - 3×2 = 36 - 6 = 30$
【答案】
①$\boldsymbol{32}$；②$\boldsymbol{28}$；③$\boldsymbol{30}$
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，重点考查完全平方公式的灵活变形，解题时运用整体代入思想可避免求解单个字母的值，大幅简化计算过程，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形形式。
【难度系数】
0.8
本题已知$a+b$与$ab$的值，无需计算$a$、$b$的具体数值，可利用完全平方公式的变形，将待求的三个式子均转化为含有$(a+b)^2$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，根据这两个公式对待求式变形：①把$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$；②把$(a-b)^2$变形为$(a+b)^2-4ab$，也可利用①的结果计算；③把$a^2-ab+b^2$变形为$(a+b)^2-3ab$，也可利用①的结果计算。
【解析】
解：①根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=6^2 - 2×2 = 36 - 4 = 32$
②根据完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=6^2 - 4×2 = 36 - 8 = 28$
③将式子变形为：
$a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=6^2 - 3×2 = 36 - 6 = 30$
【答案】
①$\boldsymbol{32}$；②$\boldsymbol{28}$；③$\boldsymbol{30}$
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，重点考查完全平方公式的灵活变形，解题时运用整体代入思想可避免求解单个字母的值，大幅简化计算过程，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形形式。
【难度系数】
0.8
7.(2024·天水月考)已知$a^2 + b^2 = 25$，$(a - b)^2 = 1$，求$(a + b)^2$的值。
答案
解:$\because a^2 + b^2 = 25,(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 1,\therefore 2ab = a^2 + b^2 - (a-b)^2 = 25-1=24,\therefore (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 25+24=49$。
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的展开形式：$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$。观察已知条件，已经给出$a^2+b^2$和$(a-b)^2$的值，我们可以先将$(a-b)^2$展开，代入已知的$a^2+b^2$的值求出$2ab$的数值，再将$2ab$和$a^2+b^2$代入$(a+b)^2$的展开式，就能求出最终结果，不需要单独计算$a$、$b$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 = 25$，$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 1$，
$\therefore$ 代入$a^2+b^2=25$可得：
$2ab = a^2 + b^2 - (a-b)^2 = 25-1=24$，
又$\because (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$，
将$a^2 + b^2=25$、$2ab=24$代入得：
$(a+b)^2 = 25+24=49$。
【答案】
$49$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式变形应用的基础题型，核心是掌握两个完全平方公式的结构特征，利用两个公式共有的$a^2+b^2$、$ab$项建立关联，通过整体代入的思路运算，避免单独求解未知数的繁琐，降低计算量。
【难度系数】
0.8
首先回忆完全平方公式的展开形式：$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$。观察已知条件，已经给出$a^2+b^2$和$(a-b)^2$的值，我们可以先将$(a-b)^2$展开，代入已知的$a^2+b^2$的值求出$2ab$的数值，再将$2ab$和$a^2+b^2$代入$(a+b)^2$的展开式，就能求出最终结果，不需要单独计算$a$、$b$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 = 25$，$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 1$，
$\therefore$ 代入$a^2+b^2=25$可得：
$2ab = a^2 + b^2 - (a-b)^2 = 25-1=24$，
又$\because (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$，
将$a^2 + b^2=25$、$2ab=24$代入得：
$(a+b)^2 = 25+24=49$。
【答案】
$49$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式变形应用的基础题型，核心是掌握两个完全平方公式的结构特征，利用两个公式共有的$a^2+b^2$、$ab$项建立关联，通过整体代入的思路运算，避免单独求解未知数的繁琐，降低计算量。
【难度系数】
0.8
8.(1)请同学们观察用硬纸片拼成的图形(如图)，根据图形的面积关系，写出一个等量关系式为
(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：
①若$m+n=8$，$mn=12$，则$m-n$的值为
②已知$(2m+n)^2=13$，$(2m-n)^2=5$，请利用上述等式求$mn$的值。
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
；(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：
①若$m+n=8$，$mn=12$，则$m-n$的值为
$\pm4$
；②已知$(2m+n)^2=13$，$(2m-n)^2=5$，请利用上述等式求$mn$的值。
答案
8. (1) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
(2) ① $\pm4$
② 解:$(2m+n)^2 - (2m-n)^2 = 8mn$,即 $8mn=13-5=8,\therefore mn=1$。
(2) ① $\pm4$
② 解:$(2m+n)^2 - (2m-n)^2 = 8mn$,即 $8mn=13-5=8,\therefore mn=1$。
解析
【分析】
(1) 先分析图形面积构成：整个大正方形边长为$a+b$，面积可表示为$(a+b)^2$；中间空白小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$。阴影部分面积既可以用大正方形面积减去空白小正方形面积得到，也可看作4个长为$a$、宽为$b$的长方形面积之和（即$4ab$），据此可推出等量关系。
(2) ① 套用(1)的结论变形得到$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，代入已知数值求出$(m-n)^2$后开平方即可，注意平方根有正负两个结果。
② 将$2m+n$和$2m-n$对应(1)中等式的$a+b$和$a-b$，代入公式化简得到关于$mn$的式子，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 大正方形面积：$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$
空白小正方形面积：$S_{\mathrm{空白}}=(a-b)^2$
阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{空白}}=(a+b)^2-(a-b)^2$
同时阴影部分为4个长$a$宽$b$的长方形，$S_{\mathrm{阴影}}=4ab$
因此等量关系为$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$。
(2) ① 由(1)的公式变形得：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
将$m+n=8$，$mn=12$代入得：
$(m-n)^2=8^2 - 4×12=64-48=16$
开平方得$m-n=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
② 将$2m+n$、$2m-n$代入(1)的等量关系：
$(2m+n)^2 - (2m-n)^2 = 4×(2m)× n = 8mn$
把$(2m+n)^2=13$，$(2m-n)^2=5$代入左边得：
$13-5=8=8mn$
两边同除以8，得$mn=1$。
【答案】
(1) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
(2) ① $\pm4$；② $mn=1$
【知识点】
完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，平方根计算
【点评】
本题结合几何图形推导乘法公式的变形结论，再利用结论解决代数式求值问题，既考查了数形结合的思想，又锻炼了公式灵活运用的能力，是乘法公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 先分析图形面积构成：整个大正方形边长为$a+b$，面积可表示为$(a+b)^2$；中间空白小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$。阴影部分面积既可以用大正方形面积减去空白小正方形面积得到，也可看作4个长为$a$、宽为$b$的长方形面积之和（即$4ab$），据此可推出等量关系。
(2) ① 套用(1)的结论变形得到$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，代入已知数值求出$(m-n)^2$后开平方即可，注意平方根有正负两个结果。
② 将$2m+n$和$2m-n$对应(1)中等式的$a+b$和$a-b$，代入公式化简得到关于$mn$的式子，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 大正方形面积：$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$
空白小正方形面积：$S_{\mathrm{空白}}=(a-b)^2$
阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{空白}}=(a+b)^2-(a-b)^2$
同时阴影部分为4个长$a$宽$b$的长方形，$S_{\mathrm{阴影}}=4ab$
因此等量关系为$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$。
(2) ① 由(1)的公式变形得：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
将$m+n=8$，$mn=12$代入得：
$(m-n)^2=8^2 - 4×12=64-48=16$
开平方得$m-n=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
② 将$2m+n$、$2m-n$代入(1)的等量关系：
$(2m+n)^2 - (2m-n)^2 = 4×(2m)× n = 8mn$
把$(2m+n)^2=13$，$(2m-n)^2=5$代入左边得：
$13-5=8=8mn$
两边同除以8，得$mn=1$。
【答案】
(1) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
(2) ① $\pm4$；② $mn=1$
【知识点】
完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，平方根计算
【点评】
本题结合几何图形推导乘法公式的变形结论，再利用结论解决代数式求值问题，既考查了数形结合的思想，又锻炼了公式灵活运用的能力，是乘法公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
