4.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(4,2),点B坐标为(1,-3),在y轴上有一点P使PA+PB的值最小,则点P的坐标为().


A.(2,0)
B.(-2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)

4. D 解析 如图,设过点$A$,且分别与$x$轴、$y$轴垂直的直线分别交$x$轴、$y$轴于点$H,E$,作点$B$关于$y$轴的对称点$B'$,$BB'$交$y$轴于点$D$,直线$AH,BB'$交于点$C$,连接$AB'$,交$y$轴于点$P$,此时$AP+PB=AP+PB'=AB'$的值最小.

$\because$点$B$坐标为$(1,-3)$,
$\therefore B'(-1,-3)$,
$\therefore B'C=AC=5$,
$\therefore ∠ AB'C=45°$,
$\therefore PD=B'D=1$.
$\because OD=|-3|=3$,
$\therefore OP=2,\therefore P(0,-2)$. 故选 D.

5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 10$，$△ ABC$ 的面积是 40，$AD$ 平分 $∠ BAC$。若 $P$，$Q$ 分别是 $AD$ 和 $AC$ 上的动点，则 $PC+PQ$ 的最小值是 。

5. 8 解析 $\because AB=AC$,$AD$ 平分$∠ BAC$,
$\therefore AD$ 垂直平分$BC$.
如图,过点 $B$ 作 $BQ⊥ AC$ 于点 $Q$,$BQ$交$AD$ 于点 $P$,则此时 $PC+PQ$ 取最小值,最小值为 $BQ$ 的长.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BQ=\frac{1}{2}× 10× BQ=40$,
$\therefore BQ=8$.

6.已知M，N两地间隔两条河流，第一条河流的河岸为直线j，k，第二条河流的河岸为直线l，g，所有的河岸皆平行。现要在两条河上分别修两座桥AB，CD，两座桥修在何处，才能使从M到N的路径M—A—B—C—D—N最短？且河上的桥必须与河岸垂直。（要求：保留作图痕迹，不写画法）

6. 解 如图,两座桥$AB,CD$即为所求.

7.如图，在$△ ABC$区域内，小羊从路边AB某点出发跑到水沟边AC喝水，然后跑向路边BC吃草，最后跑回到出发点处休息，为使所跑总路程最短，小羊应从AB边上的哪一点出发？又按怎样的路线奔跑？

7. 解 如图①,在$AB$上取一点$P$. 作点$P$关于$AC$的对称点$P'$,关于$BC$的对称点$P''$,连接$CP,CP',CP'',P'P'',P'P''$交$AC$于点$K$,交$BC$于点$T$,

由对称性可知, $CP' = CP = CP''$,$∠ P'CA=∠ PCA$,$∠ P''CB=∠ PCB$,$PK=P'K,PT=P''T$,
$\therefore PK+KT+PT=P'K+KT+P''T$.
$\because P',K,T,P''$共线，
$\therefore$从点 $P$ 出发, 此时 $PK + KT + PT=P'P''$最小.
$\because ∠ P'CA=∠ PCA$,$∠ P''CB=∠ PCB$,
$\therefore ∠ P' CA + ∠ P'' CB = ∠ PCA + ∠ PCB=∠ ACB$,
$\therefore ∠ P'CP''=2∠ ACB$,
$\therefore △ P'CP''$是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边 $P'P''$最小,即当$CP$ 最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②,

$\therefore$过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线,垂足 $P$ 即为小羊出发的点,此时沿路线 $P\rightarrow K\rightarrow T\rightarrow P$奔跑,所跑总路程最短.