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10. (2023·湖北鄂州)已知关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x - a ＞ 2, \\ x + 1 ＜ b\end{cases}$ 的解集是 $ -1 ＜ x ＜ 1 $，则 $ (a + b)^{2023} $ 的值为( )
A.0
B.-1
C.1
D.2023
A.0
B.-1
C.1
D.2023
答案
10. B
11. 新趋势开放探究 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}2x - 6 + m ＜ 0, \\ 4x - m ＞ 0\end{cases}$ 有解，则在其解集中，整数的个数不可能是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11. C 解析：解不等式 $ 2x - 6 + m ＜ 0 $，得 $ x ＜ \frac{6 - m}{2} $；解不等式 $ 4x - m ＞ 0 $，得 $ x ＞ \frac{m}{4} $。因为原不等式组有解，所以 $ \frac{m}{4} ＜ \frac{6 - m}{2} $，解得 $ m ＜ 4 $。因为原不等式组的解集为 $ \frac{m}{4} ＜ x ＜ \frac{6 - m}{2} $，所以当 $ 2 ≤ m ＜ 4 $ 时，原不等式组的整数解为 $ x = 1 $，有1个；当 $ 0 ≤ m ＜ 2 $ 时，原不等式组的整数解为 $ x = 1 $，$ 2 $，有2个；当 $ -2 ≤ m ＜ 0 $ 时，原不等式组的整数解为 $ x = 0 $，$ 1 $，$ 2 $，$ 3 $，有4个；当 $ m ＜ -2 $ 时，原不等式组的整数解个数大于4。故在原不等式组的解集中，整数的个数不可能是3。
12. (2024·黑龙江哈尔滨)不等式组 $ \begin{cases}x + 2 ＞ 3, \\ 3x - 8 ＜ 1\end{cases}$ 的解集是 ______ .
答案
12. $ 1 ＜ x ＜ 3 $
13. (2025·江苏无锡期末)不等式组 $ \begin{cases}2x + 4 ≥ 0, \\ 6 - x ＞ 3\end{cases}$ 的所有整数解的和为 ______ .
答案
13. 0
14. (2025·黑龙江鹤岗)若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}2x - 3 ≤ 0, \\ x - a ＞ 0\end{cases}$ 恰有3个整数解，则 $ a $ 的取值范围是 ______ .
答案
14. $ -2 ≤ a ＜ -1 $ 解析：解不等式 $ 2x - 3 ≤ 0 $，得 $ x ≤ \frac{3}{2} $；解不等式 $ x - a ＞ 0 $，得 $ x ＞ a $。因为原不等式组恰有3个整数解，所以原不等式组的解集为 $ a ＜ x ≤ \frac{3}{2} $，且整数解为 $ x = -1 $，$ 0 $，$ 1 $，所以 $ -2 ≤ a ＜ -1 $。故 $ a $ 的取值范围为 $ -2 ≤ a ＜ -1 $。
15. 新素养抽象能力 定义新运算“△”：对于任意有理数 $ a $，$ b $，都有 $ a△b = ab - a - b + 1 $.例如：$ 2△4 = 2×4 - 2 - 4 + 1 = 3 $.请根据上述知识解决问题：若 $ 3△x $ 的值大于5且小于9，求 $ x $ 的取值范围.
答案
15. 由题意，得 $ 3 △ x = 3x - 3 - x + 1 = 2x - 2 $。因为 $ 3 △ x $ 的值大于5且小于9，所以 $ \begin{cases} 2x - 2 ＞ 5 \\ 2x - 2 ＜ 9 \end{cases} $，解得 $ \frac{7}{2} ＜ x ＜ \frac{11}{2} $。故 $ x $ 的取值范围为 $ \frac{7}{2} ＜ x ＜ \frac{11}{2} $。
16. 解不等式组：$ \begin{cases} x - 2 ≥ -5 ①, \\ 3x ＜ x + 2 ②. \end{cases} $ 请按下列步骤完成解答.
(1)解不等式①，得
(2)解不等式②，得
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集是
(1)解不等式①，得
$ x ≥ -3 $
；(2)解不等式②，得
$ x ＜ 1 $
；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集是
$ -3 ≤ x ＜ 1 $
.答案
16. （1）$ x ≥ -3 $ （2）$ x ＜ 1 $ （3）数轴表示略。（4）$ -3 ≤ x ＜ 1 $
17. 下列四个不等式组中，解集可能为 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 的是(
A.$ \begin{cases} ax ＞ 1, \\ bx ＞ 1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} ax ＜ 2, \\ bx ＜ 2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} ax ＞ 3, \\ bx ＜ 3 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} ax ＜ 4, \\ bx ＞ 4 \end{cases} $
B
)A.$ \begin{cases} ax ＞ 1, \\ bx ＞ 1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} ax ＜ 2, \\ bx ＜ 2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} ax ＞ 3, \\ bx ＜ 3 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} ax ＜ 4, \\ bx ＞ 4 \end{cases} $
答案
17. B 解析：因为不等式组的解集为 $ -1 ＜ x ＜ 3 $，所以取解集中的一个特殊解 $ x = 0 $。当 $ x = 0 $ 时，选项A，C，D中不等式组均不成立。当 $ a = \frac{2}{3} $，$ b = -2 $ 时，不等式组 $ \begin{cases} ax ＜ 2 \\ bx ＜ 2 \end{cases} $ 即为 $ \begin{cases} \frac{2}{3}x ＜ 2 \\ -2x ＜ 2 \end{cases} $，它的解集为 $ -1 ＜ x ＜ 3 $。故选项B符合题意。
18. (2025·江苏镇江期末)对非负数 $ x $ 四舍五入到个位的值记为 $ (x) $，即当 $ n $ 为非负整数时，若 $ n - 0.5 ≤ x ＜ n + 0.5 $，则 $ (x) = n $.如：$ (1.34) = 1 $，$ (4.86) = 5 $.若 $ (0.5x - 1) = 6 $，则 $ x $ 的取值范围是
$ 13 ≤ x ＜ 15 $
.答案
18. $ 13 ≤ x ＜ 15 $ 解析：由题意，得 $ 6 - 0.5 ≤ 0.5x - 1 ＜ 6 + 0.5 $，解得 $ 13 ≤ x ＜ 15 $。故 $ x $ 的取值范围是 $ 13 ≤ x ＜ 15 $。
19. 新素养推理能力 已知关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} x + 1 + 2a ＞ 0, \\ x - 3 - 2a ＜ 0. \end{cases} $
（1）当 $ a = \dfrac{1}{2} $ 时，解不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含3个奇数，求 $ a $ 的取值范围.
（1）当 $ a = \dfrac{1}{2} $ 时，解不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含3个奇数，求 $ a $ 的取值范围.
答案
19. （1）当 $ a = \frac{1}{2} $ 时，原不等式组可化为 $ \begin{cases} x + 1 + 1 ＞ 0 \\ x - 3 - 1 ＜ 0 \end{cases} $，解得 $ -2 ＜ x ＜ 4 $。
（2）解不等式 $ x + 1 + 2a ＞ 0 $，得 $ x ＞ -2a - 1 $；解不等式 $ x - 3 - 2a ＜ 0 $，得 $ x ＜ 2a + 3 $。因为原不等式组的解集中恰含3个奇数，所以原不等式组的解集为 $ -2a - 1 ＜ x ＜ 2a + 3 $，且 $ 2a + 3 - (-2a - 1) ＞ 4 $，解得 $ a ＞ 0 $，所以 $ -2a - 1 ＜ -1 $ 且 $ 2a + 3 ＞ 3 $，所以该不等式组的解集中的3个奇数恰为 $ -1 $，$ 1 $，$ 3 $，所以 $ \begin{cases} -2a - 1 ≥ -3 \\ 2a + 3 ≤ 5 \end{cases} $，解得 $ a ≤ 1 $，所以 $ 0 ＜ a ≤ 1 $。故 $ a $ 的取值范围为 $ 0 ＜ a ≤ 1 $。
（2）解不等式 $ x + 1 + 2a ＞ 0 $，得 $ x ＞ -2a - 1 $；解不等式 $ x - 3 - 2a ＜ 0 $，得 $ x ＜ 2a + 3 $。因为原不等式组的解集中恰含3个奇数，所以原不等式组的解集为 $ -2a - 1 ＜ x ＜ 2a + 3 $，且 $ 2a + 3 - (-2a - 1) ＞ 4 $，解得 $ a ＞ 0 $，所以 $ -2a - 1 ＜ -1 $ 且 $ 2a + 3 ＞ 3 $，所以该不等式组的解集中的3个奇数恰为 $ -1 $，$ 1 $，$ 3 $，所以 $ \begin{cases} -2a - 1 ≥ -3 \\ 2a + 3 ≤ 5 \end{cases} $，解得 $ a ≤ 1 $，所以 $ 0 ＜ a ≤ 1 $。故 $ a $ 的取值范围为 $ 0 ＜ a ≤ 1 $。
