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1. 一元二次方程$x^2 -4x +3=0$中$a,b,c$的值分别为 （
A.$1,-4,3$
B.$1,4,-3$
C.$-1,-4,3$
D.$1,4,3$
A
）A.$1,-4,3$
B.$1,4,-3$
C.$-1,-4,3$
D.$1,4,3$
答案
1. A
解析
【分析】
要确定一元二次方程中a、b、c的值，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a是二次项系数、b是一次项系数、c是常数项。解题时首先判断给出的方程是否为一般形式，本题给出的方程已经符合一般形式，接下来直接对应各项提取系数即可，需要特别注意系数要连同项前面的符号一起确定，不能忽略负号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
将题干中的方程$x^2-4x+3=0$与一般形式对比：
二次项为$x^2$，因此二次项系数$a=1$；
一次项为$-4x$，因此一次项系数$b=-4$；
常数项为$3$，因此$c=3$。
综上，$a,b,c$的值分别为$1,-4,3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程各项系数的辨识能力，解题的易错点是容易忽略一次项系数前面的负号，只要掌握一般形式的定义，细心判断即可得分。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程中a、b、c的值，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a是二次项系数、b是一次项系数、c是常数项。解题时首先判断给出的方程是否为一般形式，本题给出的方程已经符合一般形式，接下来直接对应各项提取系数即可，需要特别注意系数要连同项前面的符号一起确定，不能忽略负号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
将题干中的方程$x^2-4x+3=0$与一般形式对比：
二次项为$x^2$，因此二次项系数$a=1$；
一次项为$-4x$，因此一次项系数$b=-4$；
常数项为$3$，因此$c=3$。
综上，$a,b,c$的值分别为$1,-4,3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程各项系数的辨识能力，解题的易错点是容易忽略一次项系数前面的负号，只要掌握一般形式的定义，细心判断即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 若方程 $x^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4c}}{2}$，则 $b$ 的值为（
A.2
B.3
C.$-3$
D.1
C
）A.2
B.3
C.$-3$
D.1
答案
2. C
解析
【分析】
本题可通过对比一元二次方程的求根公式与题目给出的根的表达式求解。首先回忆一元二次方程的求根公式，明确给定方程中二次项、一次项、常数项的系数，再将题目给出的根的形式与标准求根公式对应，找到关于b的等量关系，即可求出b的值。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
题目给出的方程为$x^2 + bx + c = 0$，对比一般形式可得$a=1$，将$a=1$代入求根公式，得该方程的根为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$
已知方程的根为$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4c}}{2}$，将两个表达式对应对比可得：$-b=3$，解得$b=-3$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程求根公式
2.恒等式系数对应
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式的记忆与应用，只要熟练掌握求根公式的结构，通过对比系数即可快速解题，是一元二次方程章节的常见常规考题。
【难度系数】
0.8
本题可通过对比一元二次方程的求根公式与题目给出的根的表达式求解。首先回忆一元二次方程的求根公式，明确给定方程中二次项、一次项、常数项的系数，再将题目给出的根的形式与标准求根公式对应，找到关于b的等量关系，即可求出b的值。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
题目给出的方程为$x^2 + bx + c = 0$，对比一般形式可得$a=1$，将$a=1$代入求根公式，得该方程的根为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$
已知方程的根为$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4c}}{2}$，将两个表达式对应对比可得：$-b=3$，解得$b=-3$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程求根公式
2.恒等式系数对应
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式的记忆与应用，只要熟练掌握求根公式的结构，通过对比系数即可快速解题，是一元二次方程章节的常见常规考题。
【难度系数】
0.8
3.用公式法解关于$x$的一元二次方程，得
，则该一元二次方程是
（
A.$2x^2 -6x +4=0$
B.$4x^2 -6x +4=0$
C.$4x^2 +6x +1=0$
D.$2x^2 +6x +1=0$
，则该一元二次方程是（
C
）A.$2x^2 -6x +4=0$
B.$4x^2 -6x +4=0$
C.$4x^2 +6x +1=0$
D.$2x^2 +6x +1=0$
答案
3. C
解析
【分析】
解题的核心是熟记一元二次方程的求根公式结构。一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需将题干给出的求根表达式与公式各部分一一对应，确定系数$a、b、c$的值，就能写出对应的一元二次方程。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×4×1}}{2×4}$与求根公式逐部分对应：
1. 对比分母：$2a=2×4$，可得$a=4$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=-6$，可得$b=6$；
3. 对比根号内的常数项：$4ac=4×4×1$，将$a=4$代入，可得$c=1$。
因此对应的一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题侧重对求根公式结构的考查，只要准确记忆公式各部分对应系数的关系，即可快速锁定答案，是一元二次方程章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是熟记一元二次方程的求根公式结构。一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需将题干给出的求根表达式与公式各部分一一对应，确定系数$a、b、c$的值，就能写出对应的一元二次方程。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×4×1}}{2×4}$与求根公式逐部分对应：
1. 对比分母：$2a=2×4$，可得$a=4$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=-6$，可得$b=6$；
3. 对比根号内的常数项：$4ac=4×4×1$，将$a=4$代入，可得$c=1$。
因此对应的一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题侧重对求根公式结构的考查，只要准确记忆公式各部分对应系数的关系，即可快速锁定答案，是一元二次方程章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.若关于x的一元二次方程$3x^2 -7x + m +2=0$的根的判别式的值是6，则此方程的根为
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
.答案
4. $x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆一元二次方程的求根公式，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若已知根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的值，可直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根。本题已经直接给出判别式的值为6，只需先确定方程中$a$、$b$的取值，再代入求根公式计算即可，注意代入时不要搞错$b$的符号。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -7x + m +2=0$，可得二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-7$，已知根的判别式$\Delta=6$。
根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应数值：
$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6}$
因此方程的两个根为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程求根公式的应用，解题关键是准确识别方程各项系数，代入公式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆一元二次方程的求根公式，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若已知根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的值，可直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根。本题已经直接给出判别式的值为6，只需先确定方程中$a$、$b$的取值，再代入求根公式计算即可，注意代入时不要搞错$b$的符号。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -7x + m +2=0$，可得二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-7$，已知根的判别式$\Delta=6$。
根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应数值：
$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6}$
因此方程的两个根为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程求根公式的应用，解题关键是准确识别方程各项系数，代入公式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
5. 用公式法解下列方程.
(1) $5x^2 + 1 = 2\sqrt{5}x$.
(2) $(x + 2)(2x - 9) = -22$.
(1) $5x^2 + 1 = 2\sqrt{5}x$.
(2) $(x + 2)(2x - 9) = -22$.
答案
5.【解】(1)方程化为 $5x^{2}-2\sqrt{5}x+1=0$,此时 $a=5$,$b=-2\sqrt{5},c=1$,所以 $\Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×5×1=0$.方程有两个相等的实数根 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{5}}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.(2)方程化为 $2x^{2}-5x+4=0$,此时 $a=2$,$b=-5,c=4$,所以 $\Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×2×4=-7＜0$.方程无实数根.
解析
【分析】
要使用公式法解一元二次方程，需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值；②计算根的判别式$\Delta =b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根。
针对本题两个小题：第(1)题先通过移项将方程化为一般形式；第(2)题先展开左侧多项式，再移项合并同类项得到一般形式，再按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 移项，将方程化为一般形式：$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$，
其中二次项系数$a=5$，一次项系数$b=-2\sqrt{5}$，常数项$c=1$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×5×1 = 20 - 20 = 0$，
因此方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2\sqrt{5}}{2×5} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 先展开左侧乘积：$2x^2 - 9x + 4x - 18 = -22$，
移项、合并同类项，化为一般形式：$2x^2 - 5x + 4 = 0$，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=4$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×4 = 25 - 32 = -7 ＜ 0$，
因此该方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$；(2) 方程无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法解方程的规范步骤，解题时需注意移项要改变符号，多项式展开不要漏乘项，计算判别式时要注意系数的符号，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
要使用公式法解一元二次方程，需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值；②计算根的判别式$\Delta =b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根。
针对本题两个小题：第(1)题先通过移项将方程化为一般形式；第(2)题先展开左侧多项式，再移项合并同类项得到一般形式，再按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 移项，将方程化为一般形式：$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$，
其中二次项系数$a=5$，一次项系数$b=-2\sqrt{5}$，常数项$c=1$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×5×1 = 20 - 20 = 0$，
因此方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2\sqrt{5}}{2×5} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 先展开左侧乘积：$2x^2 - 9x + 4x - 18 = -22$，
移项、合并同类项，化为一般形式：$2x^2 - 5x + 4 = 0$，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=4$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×4 = 25 - 32 = -7 ＜ 0$，
因此该方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$；(2) 方程无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法解方程的规范步骤，解题时需注意移项要改变符号，多项式展开不要漏乘项，计算判别式时要注意系数的符号，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
6. 若方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程，则该方程的根是（$\quad$）
A.$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
B.$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
D.$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$
A.$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
B.$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
D.$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，首先需根据一元二次方程的定义确定参数m的取值：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0。求出m后代入原方程得到标准一元二次方程，再用求根公式计算方程的根，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足：
$\begin{cases}|m|=2 \\m-2≠0\end{cases}$
由$|m|=2$得$m=\pm2$，结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$。
将$m=-2$代入原方程得：
$(-2-2)x^2 -2x +1=0$，整理得$4x^2+2x-1=0$
这里$a=4$，$b=2$，$c=-1$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×4×(-1)=4+16=20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.公式法解一元二次方程
3.绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程定义结合解方程的基础题型，易错点是求解参数m时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，熟练掌握一元二次方程的定义和求根公式即可准确解题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需根据一元二次方程的定义确定参数m的取值：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0。求出m后代入原方程得到标准一元二次方程，再用求根公式计算方程的根，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足：
$\begin{cases}|m|=2 \\m-2≠0\end{cases}$
由$|m|=2$得$m=\pm2$，结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$。
将$m=-2$代入原方程得：
$(-2-2)x^2 -2x +1=0$，整理得$4x^2+2x-1=0$
这里$a=4$，$b=2$，$c=-1$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×4×(-1)=4+16=20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.公式法解一元二次方程
3.绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程定义结合解方程的基础题型，易错点是求解参数m时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，熟练掌握一元二次方程的定义和求根公式即可准确解题。
【难度系数】
0.7
7.已知关于$x$的方程$2x^2 + kx -10=0$的一个根为$x=\frac{5}{2}$，求$k$的值及它的另一个根。
答案
7.【解】把 $x=\frac{5}{2}$ 代入 $2x^{2}+kx-10=0$,得 $2×\frac{25}{4}+\frac{5}{2}k-10=0$. 解得 $k=-1$.故原方程为 $2x^{2}-x-10=0$.$\because a=2,b=-1,c=-10$,$\therefore\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-10)=81$.方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{1\pm9}{4}$,即 $x_1=\frac{5}{2},x_2=-2$.故 $k$ 的值为 $-1$,方程的另一个根为 $x=-2$.
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，根据一元二次方程根的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根），将已知根$x=\frac{5}{2}$代入原方程，就能得到只含未知数$k$的一元一次方程，解这个方程即可求出$k$的值；第二步，把求出的$k$代回原方程，得到确定的一元二次方程，再用公式法求解，就能得到方程的另一个根。
【解析】
把 $x=\frac{5}{2}$ 代入 $2x^{2}+kx-10=0$，得：
$2×\frac{25}{4}+\frac{5}{2}k-10=0$
化简计算得$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}k=0$，解得 $k=-1$。
故原方程为 $2x^{2}-x-10=0$。
其中$a=2,b=-1,c=-10$，计算判别式：
$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-10)=81＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{1\pm9}{4}$
即$x_1=\frac{5}{2},x_2=-2$。
【答案】
$k$的值为$-1$，方程的另一个根为$x=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心考查根的定义的应用，解题的关键是先通过代入已知根求出未知系数$k$，再求解完整的一元二次方程，也可以用根与系数的关系快速求解另一个根，拓展解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步思考：第一步，根据一元二次方程根的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根），将已知根$x=\frac{5}{2}$代入原方程，就能得到只含未知数$k$的一元一次方程，解这个方程即可求出$k$的值；第二步，把求出的$k$代回原方程，得到确定的一元二次方程，再用公式法求解，就能得到方程的另一个根。
【解析】
把 $x=\frac{5}{2}$ 代入 $2x^{2}+kx-10=0$，得：
$2×\frac{25}{4}+\frac{5}{2}k-10=0$
化简计算得$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}k=0$，解得 $k=-1$。
故原方程为 $2x^{2}-x-10=0$。
其中$a=2,b=-1,c=-10$，计算判别式：
$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-10)=81＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{1\pm9}{4}$
即$x_1=\frac{5}{2},x_2=-2$。
【答案】
$k$的值为$-1$，方程的另一个根为$x=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心考查根的定义的应用，解题的关键是先通过代入已知根求出未知系数$k$，再求解完整的一元二次方程，也可以用根与系数的关系快速求解另一个根，拓展解题思路。
【难度系数】
0.8
8.如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上.若点A表示的数是$2x-1$,点B表示的数是$x^2+x$,$AB=5$,则x的值为
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
.答案
8. $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
解析
【分析】
解题首先要明确数轴上两点间的距离计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数等于两点距离。本题中B在A右侧，所以AB=B表示的数 - A表示的数=5，据此列一元二次方程，求解后再结合A在负半轴、B在正半轴的条件对根进行筛选，舍去不符合题意的根即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵点B在点A右侧，数轴上两点距离为右侧点表示的数减左侧点表示的数
∴可列方程：$x^2 + x - (2x - 1) = 5$
整理得：$x^2 - x - 4 = 0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入a=1，b=-1，c=-4得：
$x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
结合题意筛选根：
点A在负半轴，故$2x-1＜0$，即$x＜\frac{1}{2}$；点B在正半轴，故$x^2+x＞0$。
当$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$时，$x＞\frac{1}{2}$，此时$2x-1＞0$，A在正半轴，不符合题意，舍去；
当$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$时，$x＜\frac{1}{2}$，$2x-1＜0$，且$x^2+x=5-\sqrt{17}＞0$，符合题意。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离公式；解一元二次方程；根的取舍
【点评】
本题属于基础综合题，将数轴性质和一元二次方程求解结合考查，易错点是求解方程后忽略题目中点的位置限制，未对根进行筛选导致多解，解题时要注意结合实际条件对计算结果进行验证。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确数轴上两点间的距离计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数等于两点距离。本题中B在A右侧，所以AB=B表示的数 - A表示的数=5，据此列一元二次方程，求解后再结合A在负半轴、B在正半轴的条件对根进行筛选，舍去不符合题意的根即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵点B在点A右侧，数轴上两点距离为右侧点表示的数减左侧点表示的数
∴可列方程：$x^2 + x - (2x - 1) = 5$
整理得：$x^2 - x - 4 = 0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入a=1，b=-1，c=-4得：
$x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
结合题意筛选根：
点A在负半轴，故$2x-1＜0$，即$x＜\frac{1}{2}$；点B在正半轴，故$x^2+x＞0$。
当$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$时，$x＞\frac{1}{2}$，此时$2x-1＞0$，A在正半轴，不符合题意，舍去；
当$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$时，$x＜\frac{1}{2}$，$2x-1＜0$，且$x^2+x=5-\sqrt{17}＞0$，符合题意。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离公式；解一元二次方程；根的取舍
【点评】
本题属于基础综合题，将数轴性质和一元二次方程求解结合考查，易错点是求解方程后忽略题目中点的位置限制，未对根进行筛选导致多解，解题时要注意结合实际条件对计算结果进行验证。
【难度系数】
0.6
