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1 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（
A.①
B.②
C.③
D.④
（第1题图）
（第3题图）
A
）A.①
B.②
C.③
D.④
（第1题图）（第3题图）
答案
1.A 【解析】第①块碎片中有一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,再分别作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长. 故选 A.
解析
【分析】
要配到与原来大小一致的圆形镜子，本质是需要确定原圆的圆心和半径。我们知道：圆上任意弦的垂直平分线都经过圆心，只要拥有一段完整的、长度足够的弧，就可以在弧上任选两条不同的弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，进而得到半径确定圆的大小。接下来逐一判断四块碎片：只有碎片①包含较长的完整弧，其余碎片弧长过短，无法通过上述方法确定圆心，因此选择带碎片①即可。
【解析】
要确定原圆的大小，需先找到原圆的圆心与半径：
1. 观察四块碎片，碎片①包含一段完整的较长圆弧，我们可以在这段弧上任意选取两条不重合的弦；
2. 根据圆的性质，弦的垂直平分线必过圆心，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心；
3. 圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，由此即可确定原圆的大小。
而碎片②、③、④所含的弧长过短，无法通过上述方法确定圆心，也就不能确定原圆的大小。因此应带碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质的实际应用，解题核心是明确确定圆的大小需要先确定圆心和半径，只有包含足够长度完整弧的碎片才能满足要求，侧重考查学生对基础知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
要配到与原来大小一致的圆形镜子，本质是需要确定原圆的圆心和半径。我们知道：圆上任意弦的垂直平分线都经过圆心，只要拥有一段完整的、长度足够的弧，就可以在弧上任选两条不同的弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，进而得到半径确定圆的大小。接下来逐一判断四块碎片：只有碎片①包含较长的完整弧，其余碎片弧长过短，无法通过上述方法确定圆心，因此选择带碎片①即可。
【解析】
要确定原圆的大小，需先找到原圆的圆心与半径：
1. 观察四块碎片，碎片①包含一段完整的较长圆弧，我们可以在这段弧上任意选取两条不重合的弦；
2. 根据圆的性质，弦的垂直平分线必过圆心，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心；
3. 圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，由此即可确定原圆的大小。
而碎片②、③、④所含的弧长过短，无法通过上述方法确定圆心，也就不能确定原圆的大小。因此应带碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质的实际应用，解题核心是明确确定圆的大小需要先确定圆心和半径，只有包含足够长度完整弧的碎片才能满足要求，侧重考查学生对基础知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
2[2025浙江杭州质检]已知$M(1,2),N(3,-3),P$三点可以确定一个圆,则以下$P$点坐标不满足要求的是 (
A.$(3,5)$
B.$(-3,5)$
C.$(-1,7)$
D.$(1,-3)$
C
)A.$(3,5)$
B.$(-3,5)$
C.$(-1,7)$
D.$(1,-3)$
答案
2.C 【解析】设直线$MN$的函数表达式为$y=kx+b$. 将$M(1,2),N(3,-3)$代入,得$\begin{cases}k+b=2,\\3k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{5}{2},\\b=\dfrac{9}{2},\end{cases}$
$\therefore y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{9}{2}$. A 选项,当$x=3$时,$y=-\dfrac{5}{2}×3+\dfrac{9}{2}=-3≠5$,故$(3,5)$不在直线$MN$上,根据不在同一直线上的三点确定一个圆,得点$(3,5)$与$M(1,2),N(3,-3)$可以确定一个圆,故本选项不符合题意;B 选项,当$x=-3$时,$y=-\dfrac{5}{2}×(-3)+\dfrac{9}{2}=12≠5$,故本选项不符合题意;C 选项,当$x=-1$时,$y=-\dfrac{5}{2}×(-1)+\dfrac{9}{2}=7$,故点$(-1,7)$在直线$MN$上,故$(-1,7),M(1,2),N(3,-3)$三点不能确定一个圆,故本选项符合题意;D 选项,当$x=1$时,$y=-\dfrac{5}{2}×1+\dfrac{9}{2}=2≠-3$,故本选项不符合题意. 故选 C.
$\therefore y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{9}{2}$. A 选项,当$x=3$时,$y=-\dfrac{5}{2}×3+\dfrac{9}{2}=-3≠5$,故$(3,5)$不在直线$MN$上,根据不在同一直线上的三点确定一个圆,得点$(3,5)$与$M(1,2),N(3,-3)$可以确定一个圆,故本选项不符合题意;B 选项,当$x=-3$时,$y=-\dfrac{5}{2}×(-3)+\dfrac{9}{2}=12≠5$,故本选项不符合题意;C 选项,当$x=-1$时,$y=-\dfrac{5}{2}×(-1)+\dfrac{9}{2}=7$,故点$(-1,7)$在直线$MN$上,故$(-1,7),M(1,2),N(3,-3)$三点不能确定一个圆,故本选项符合题意;D 选项,当$x=1$时,$y=-\dfrac{5}{2}×1+\dfrac{9}{2}=2≠-3$,故本选项不符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
要判断哪个P点不满足与M、N三点确定一个圆的要求，首先明确核心依据：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，因此三点共线时无法确定圆，本题实质是找出落在直线MN上的点。解题思路为：①先利用待定系数法求出直线MN的函数解析式；②将各选项中P点的横坐标代入解析式，计算对应纵坐标，若与P点给出的纵坐标相等，则该点在直线MN上，不符合要求。
【解析】
设直线MN的函数表达式为$y=kx+b$，将$M(1,2),N(3,-3)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=-3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$2k=-5$，解得$k=-\dfrac{5}{2}$，
将$k=-\dfrac{5}{2}$代入$k+b=2$，得$-\dfrac{5}{2}+b=2$，解得$b=\dfrac{9}{2}$，
因此直线MN的解析式为$y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{9}{2}$。
逐一验证各选项：
A. 当$x=3$时，$y=-\dfrac{5}{2}×3+\dfrac{9}{2}=-3≠5$，故$(3,5)$不在直线MN上，三点可确定圆，不符合题意；
B. 当$x=-3$时，$y=-\dfrac{5}{2}×(-3)+\dfrac{9}{2}=12≠5$，故$(-3,5)$不在直线MN上，三点可确定圆，不符合题意；
C. 当$x=-1$时，$y=-\dfrac{5}{2}×(-1)+\dfrac{9}{2}=7$，故$(-1,7)$在直线MN上，三点共线，无法确定圆，符合题意；
D. 当$x=1$时，$y=-\dfrac{5}{2}×1+\dfrac{9}{2}=2≠-3$，故$(1,-3)$不在直线MN上，三点可确定圆，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础应用题，将几何中确定圆的条件与一次函数的知识相结合，解题的关键是将“三点能否确定圆”的问题转化为“三点是否共线”的问题，考查知识点的灵活迁移能力。
【难度系数】
0.7
要判断哪个P点不满足与M、N三点确定一个圆的要求，首先明确核心依据：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，因此三点共线时无法确定圆，本题实质是找出落在直线MN上的点。解题思路为：①先利用待定系数法求出直线MN的函数解析式；②将各选项中P点的横坐标代入解析式，计算对应纵坐标，若与P点给出的纵坐标相等，则该点在直线MN上，不符合要求。
【解析】
设直线MN的函数表达式为$y=kx+b$，将$M(1,2),N(3,-3)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=-3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$2k=-5$，解得$k=-\dfrac{5}{2}$，
将$k=-\dfrac{5}{2}$代入$k+b=2$，得$-\dfrac{5}{2}+b=2$，解得$b=\dfrac{9}{2}$，
因此直线MN的解析式为$y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{9}{2}$。
逐一验证各选项：
A. 当$x=3$时，$y=-\dfrac{5}{2}×3+\dfrac{9}{2}=-3≠5$，故$(3,5)$不在直线MN上，三点可确定圆，不符合题意；
B. 当$x=-3$时，$y=-\dfrac{5}{2}×(-3)+\dfrac{9}{2}=12≠5$，故$(-3,5)$不在直线MN上，三点可确定圆，不符合题意；
C. 当$x=-1$时，$y=-\dfrac{5}{2}×(-1)+\dfrac{9}{2}=7$，故$(-1,7)$在直线MN上，三点共线，无法确定圆，符合题意；
D. 当$x=1$时，$y=-\dfrac{5}{2}×1+\dfrac{9}{2}=2≠-3$，故$(1,-3)$不在直线MN上，三点可确定圆，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础应用题，将几何中确定圆的条件与一次函数的知识相结合，解题的关键是将“三点能否确定圆”的问题转化为“三点是否共线”的问题，考查知识点的灵活迁移能力。
【难度系数】
0.7
3[2026江苏徐州调研]将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C,E两点刚好重合，且B,C,H三点共线，此时经过A,F,G三点作一个圆，则该圆的半径为
$2\sqrt{5}$
.答案
3.$2\sqrt{5}$ 【解析】由题意可知,$AB=BC=2,CF=CH=HG=4$. 如图,取$CH$的中点$O$,则$OC=OH=2,OB=4$,连接$OA,OF,OG$. $\because$ 四边形$ABCD,EFGH$为正方形, $\therefore ∠ B=∠ OEF=∠ H=90°$, $\therefore$ 由勾股定理可得$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=2\sqrt{5}$,$OF=OG=2\sqrt{5}$,$\therefore OA=OF=OG$,即点$O$为过$A,F,G$三点所作圆的圆心,则该圆的半径为$2\sqrt{5}$,故答案为$2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
要确定过A、F、G三点的圆的半径，首先需要找到该圆的圆心：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此圆心是到A、F、G三点距离相等的点。结合已知的正方形边长、B、C、H共线的条件，我们可以先在直线BH上尝试寻找符合条件的点，再通过勾股定理验证该点到A、F、G三点的距离是否相等，若相等则该点为圆心，对应距离就是所求半径。
【解析】
由题意得，小正方形ABCD边长为2，故$AB=BC=2$；大正方形EFGH边长为4，故$CF=CH=HG=4$。
如图，取$CH$的中点$O$，则$OC=OH=\frac{1}{2}CH=2$，因此$OB=BC+OC=2+2=4$。
连接$OA、OF、OG$，
∵四边形ABCD、EFGH都是正方形，
∴$∠ B=∠ OCF=∠ H=90°$，
在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ OCF$中，$OF=\sqrt{OC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ OHG$中，$OG=\sqrt{OH^2+HG^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
∴$OA=OF=OG$，即点$O$就是过A、F、G三点的圆的圆心，因此该圆的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
确定圆的条件；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题结合正方形性质考查圆的相关知识，解题核心是理解“不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心到三点的距离相等”，通过构造直角三角形用勾股定理验证等距点即可求出半径，解题思路较为直观。
【难度系数】
0.7
要确定过A、F、G三点的圆的半径，首先需要找到该圆的圆心：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此圆心是到A、F、G三点距离相等的点。结合已知的正方形边长、B、C、H共线的条件，我们可以先在直线BH上尝试寻找符合条件的点，再通过勾股定理验证该点到A、F、G三点的距离是否相等，若相等则该点为圆心，对应距离就是所求半径。
【解析】
由题意得，小正方形ABCD边长为2，故$AB=BC=2$；大正方形EFGH边长为4，故$CF=CH=HG=4$。
如图
，取$CH$的中点$O$，则$OC=OH=\frac{1}{2}CH=2$，因此$OB=BC+OC=2+2=4$。连接$OA、OF、OG$，
∵四边形ABCD、EFGH都是正方形，
∴$∠ B=∠ OCF=∠ H=90°$，
在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ OCF$中，$OF=\sqrt{OC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ OHG$中，$OG=\sqrt{OH^2+HG^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
∴$OA=OF=OG$，即点$O$就是过A、F、G三点的圆的圆心，因此该圆的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
确定圆的条件；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题结合正方形性质考查圆的相关知识，解题核心是理解“不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心到三点的距离相等”，通过构造直角三角形用勾股定理验证等距点即可求出半径，解题思路较为直观。
【难度系数】
0.7
4[2025江苏南京质检]如图,在平面直角坐标系中,$A(0,-3),B(2,-1),C(2,3)$,则$△ ABC$的外心坐标为 (
A.$(0,0)$
B.$(-1,1)$
C.$(-2,-1)$
D.$(-2,1)$
(第4题图)
(第5题图)
D
)A.$(0,0)$
B.$(-1,1)$
C.$(-2,-1)$
D.$(-2,1)$
(第4题图)
(第5题图)
答案
4.D 【解析】如图,$\because △ ABC$的外心是三角形三边垂直平分线的交点,$\therefore EF$与$MN$的交点$O'$即为所求的$△ ABC$的外心,$\therefore △ ABC$的外心坐标是$(-2,1)$. 故选 D.
解析
【分析】
首先明确三角形外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时先观察已知点的坐标特征，找到特殊线段的垂直平分线，先确定外心的纵坐标，缩小可选选项的范围，再利用外心到顶点距离相等的性质，列方程求解横坐标，也可直接验证剩余选项得到最终结果。
【解析】
解：
∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
观察点$B(2,-1)$和$C(2,3)$，两点横坐标相同，因此线段$BC$为垂直于$x$轴的竖直线段，$BC$中点的纵坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，因此$BC$的垂直平分线为直线$y=1$，即$△ ABC$的外心纵坐标为1，排除纵坐标不为1的A$(0,0)$、C$(-2,-1)$选项。
设外心坐标为$(x,1)$，根据外心到$A(0,-3)$和$B(2,-1)$的距离相等，可得：
$\sqrt{(x-0)^2 + [1-(-3)]^2} = \sqrt{(x-2)^2 + [1-(-1)]^2}$
两边平方得：$x^2 + 16 = (x-2)^2 + 4$
展开化简得：$16 = -4x + 8$，解得$x=-2$。
因此$△ ABC$的外心坐标为$(-2,1)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；线段垂直平分线的性质；两点间距离计算
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题时可先利用特殊线段的垂直平分线排除错误选项，降低解题难度，只要掌握外心的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时先观察已知点的坐标特征，找到特殊线段的垂直平分线，先确定外心的纵坐标，缩小可选选项的范围，再利用外心到顶点距离相等的性质，列方程求解横坐标，也可直接验证剩余选项得到最终结果。
【解析】
解：
∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
观察点$B(2,-1)$和$C(2,3)$，两点横坐标相同，因此线段$BC$为垂直于$x$轴的竖直线段，$BC$中点的纵坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，因此$BC$的垂直平分线为直线$y=1$，即$△ ABC$的外心纵坐标为1，排除纵坐标不为1的A$(0,0)$、C$(-2,-1)$选项。
设外心坐标为$(x,1)$，根据外心到$A(0,-3)$和$B(2,-1)$的距离相等，可得：
$\sqrt{(x-0)^2 + [1-(-3)]^2} = \sqrt{(x-2)^2 + [1-(-1)]^2}$
两边平方得：$x^2 + 16 = (x-2)^2 + 4$
展开化简得：$16 = -4x + 8$，解得$x=-2$。
因此$△ ABC$的外心坐标为$(-2,1)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；线段垂直平分线的性质；两点间距离计算
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题时可先利用特殊线段的垂直平分线排除错误选项，降低解题难度，只要掌握外心的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
5 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,将$Rt△ ABC$绕点A按逆时针方向旋转$30°$得到$Rt△ AB'C'$,点$B'$在直线AC上.若$BC=1$,则点C和$△ AB'C'$的外心之间的距离是 (
A.$1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
B
)A.$1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
5.B 【解析】如图,由题意可知,$∠ C'AB'=∠ B'AB=30°$. 在$Rt△ ABC$中,$\because ∠ B'AB=30°$,$BC=1$,$\therefore AB=2$,$\therefore AB'=2$,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}$. 设$△ AB'C'$的外心为点$O$. $\because ∠ C'=90°$,$\therefore$ 外心$O$在斜边$AB'$的中点处,$\therefore AO=\dfrac{1}{2}AB'=1$,$\therefore OC=\sqrt{3}-1$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应角、对应边的相等关系，结合已知的30°旋转角与BC的长度，通过含30°角的直角三角形的性质和勾股定理算出AC、AB'的长度；再根据直角三角形的外心是斜边中点的特征，确定△AB'C'外心的位置，算出外心到点A的距离，最后用AC的长度减去外心到点A的距离即可得到所求的距离。
【解析】
∵ 将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB'C'，
∴ ∠C'AB'=∠CAB=30°，AB'=AB，∠C'=90°。
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠CAB=30°，BC=1，
∴ AB=2BC=2，
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ AB'=AB=2。
设△AB'C'的外心为点O，
∵ △AB'C'为直角三角形，∠C'=90°，
∴ 其外心O是斜边AB'的中点，
∴ $AO=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{2}×2=1$，
又
∵ 点O在线段AC上，
∴ $OC=AC-AO=\sqrt{3}-1$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，直角三角形外心的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，结合了旋转与三角形外心的相关知识，解题的关键是明确直角三角形的外心为斜边中点，再结合特殊直角三角形的边长计算即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质得到对应角、对应边的相等关系，结合已知的30°旋转角与BC的长度，通过含30°角的直角三角形的性质和勾股定理算出AC、AB'的长度；再根据直角三角形的外心是斜边中点的特征，确定△AB'C'外心的位置，算出外心到点A的距离，最后用AC的长度减去外心到点A的距离即可得到所求的距离。
【解析】
∵ 将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB'C'，
∴ ∠C'AB'=∠CAB=30°，AB'=AB，∠C'=90°。
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠CAB=30°，BC=1，
∴ AB=2BC=2，
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ AB'=AB=2。
设△AB'C'的外心为点O，
∵ △AB'C'为直角三角形，∠C'=90°，
∴ 其外心O是斜边AB'的中点，
∴ $AO=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{2}×2=1$，
又
∵ 点O在线段AC上，
∴ $OC=AC-AO=\sqrt{3}-1$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，直角三角形外心的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，结合了旋转与三角形外心的相关知识，解题的关键是明确直角三角形的外心为斜边中点，再结合特殊直角三角形的边长计算即可得出结果。
【难度系数】
0.7
6[2026河北沧州期末]如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，用一个圆去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径是
$\dfrac{169}{24}$
。答案
6.$\dfrac{169}{24}$ 【解析】作$AD⊥ BC$于$D$,如图. $\because AB=AC$,$\therefore BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=5$,$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$. 作边$AC$的垂直平分线,与$AD$交于点$O$,又$\because AD$垂直平分$BC$,$\therefore$ 点$O$是$△ ABC$的外心. 连接$OB$,设$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径为$r$,则$OB=OA=r$,$OD=12-r$. 在$Rt△ OBD$中,$5^2+(12-r)^2=r^2$,解得$r=\dfrac{169}{24}$. $\because$ 能够完全覆盖这个三角形的最小圆为$△ ABC$的外接圆,$\therefore$ 能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为$\dfrac{169}{24}$. 故答案为$\dfrac{169}{24}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：能够完全覆盖锐角三角形的最小圆是它的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心）。已知△ABC是等腰三角形，可先利用等腰三角形“三线合一”的性质作底边BC的高AD，求出AD的长度；由于AD是BC的垂直平分线，只需再作AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O；最后设外接圆半径为r，在Rt△OBD中利用勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=5$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
作边$AC$的垂直平分线，与$AD$交于点$O$，
$\because AD$垂直平分$BC$，$\therefore$点$O$是$△ ABC$的外心，即$△ ABC$外接圆的圆心。
连接$OB$，设$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OA=r$，$OD=AD-OA=12-r$。
在$Rt△ OBD$中，根据勾股定理可得：
$BD^2+OD^2=OB^2$，即$5^2+(12-r)^2=r^2$，
展开计算：$25+144-24r+r^2=r^2$，
整理得$24r=169$，解得$r=\dfrac{169}{24}$。
$\because$能够完全覆盖这个三角形的最小圆为$△ ABC$的外接圆，
$\therefore$能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为$\dfrac{169}{24}$。
【答案】
$\dfrac{169}{24}$
【知识点】
三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的核心是明确锐角三角形的最小覆盖圆为其外接圆，结合等腰三角形的性质确定外心的位置，再利用勾股定理结合方程思想求解半径，是几何与方程结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确：能够完全覆盖锐角三角形的最小圆是它的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心）。已知△ABC是等腰三角形，可先利用等腰三角形“三线合一”的性质作底边BC的高AD，求出AD的长度；由于AD是BC的垂直平分线，只需再作AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O；最后设外接圆半径为r，在Rt△OBD中利用勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=5$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
作边$AC$的垂直平分线，与$AD$交于点$O$，
$\because AD$垂直平分$BC$，$\therefore$点$O$是$△ ABC$的外心，即$△ ABC$外接圆的圆心。
连接$OB$，设$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OA=r$，$OD=AD-OA=12-r$。
在$Rt△ OBD$中，根据勾股定理可得：
$BD^2+OD^2=OB^2$，即$5^2+(12-r)^2=r^2$，
展开计算：$25+144-24r+r^2=r^2$，
整理得$24r=169$，解得$r=\dfrac{169}{24}$。
$\because$能够完全覆盖这个三角形的最小圆为$△ ABC$的外接圆，
$\therefore$能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为$\dfrac{169}{24}$。
【答案】
$\dfrac{169}{24}$
【知识点】
三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的核心是明确锐角三角形的最小覆盖圆为其外接圆，结合等腰三角形的性质确定外心的位置，再利用勾股定理结合方程思想求解半径，是几何与方程结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
7[2025浙江宁波期中]设$x,y$是一个直角三角形两条直角边的长，且$(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=56$，则这个直角三角形的外接圆面积为
$2π$
。答案
7.$2π$ 【解析】设这个直角三角形的斜边长为$z$. 由题意得$x^2+y^2=z^2$. $\because (x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=56$,$\therefore z^2·(z^2-1)=56$. 令$z^2=t$,则有$t(t-1)=56$,整理得$t^2-t-56=0$,$(t-8)(t+7)=0$,$\therefore t_1=8$,$t_2=-7$(不合题意,舍去),$\therefore z^2=8$. $\because z$为直角三角形的斜边长,$\therefore z＞0$,$\therefore z=2\sqrt{2}$,$\therefore$ 这个直角三角形的外接圆直径为$2\sqrt{2}$,半径为$\sqrt{2}$,$\therefore$ 这个直角三角形的外接圆面积为$2π$,故答案为$2π$.
解析
【分析】
本题可按以下思路求解：第一步，结合直角三角形的勾股定理，明确两条直角边的平方和等于斜边的平方，可将原式中的$x^2+y^2$替换为斜边平方，简化式子；第二步，采用换元法将关于斜边平方的方程转化为一元二次方程求解，注意结合边长为正数的实际意义舍去负根；第三步，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，求出半径后即可计算外接圆面积。
【解析】
设这个直角三角形的斜边长为$z$，根据勾股定理可得$x^2+y^2=z^2$。
将$x^2+y^2=z^2$代入$(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=56$，可得：
$z^2·(z^2-1)=56$
令$z^2=t$（$t＞0$，因为边长的平方为正数），则方程转化为：
$t(t-1)=56$
整理得$t^2-t-56=0$，因式分解得$(t-8)(t+7)=0$，
解得$t_1=8$，$t_2=-7$（边长平方不能为负，不符合题意，舍去），
因此$z^2=8$，又因为$z＞0$，所以$z=2\sqrt{2}$。
根据直角三角形外接圆的性质，外接圆的直径等于斜边长，因此外接圆半径$r=\frac{z}{2}=\sqrt{2}$，
外接圆面积$S=π r^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础综合题，将几何性质与代数解方程相结合，解题的核心是通过换元法简化方程，同时要注意结合实际几何意义排除无效解，能有效考察学生对知识点的融合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题可按以下思路求解：第一步，结合直角三角形的勾股定理，明确两条直角边的平方和等于斜边的平方，可将原式中的$x^2+y^2$替换为斜边平方，简化式子；第二步，采用换元法将关于斜边平方的方程转化为一元二次方程求解，注意结合边长为正数的实际意义舍去负根；第三步，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，求出半径后即可计算外接圆面积。
【解析】
设这个直角三角形的斜边长为$z$，根据勾股定理可得$x^2+y^2=z^2$。
将$x^2+y^2=z^2$代入$(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=56$，可得：
$z^2·(z^2-1)=56$
令$z^2=t$（$t＞0$，因为边长的平方为正数），则方程转化为：
$t(t-1)=56$
整理得$t^2-t-56=0$，因式分解得$(t-8)(t+7)=0$，
解得$t_1=8$，$t_2=-7$（边长平方不能为负，不符合题意，舍去），
因此$z^2=8$，又因为$z＞0$，所以$z=2\sqrt{2}$。
根据直角三角形外接圆的性质，外接圆的直径等于斜边长，因此外接圆半径$r=\frac{z}{2}=\sqrt{2}$，
外接圆面积$S=π r^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础综合题，将几何性质与代数解方程相结合，解题的核心是通过换元法简化方程，同时要注意结合实际几何意义排除无效解，能有效考察学生对知识点的融合运用能力。
【难度系数】
0.7
8[2026江苏徐州期末]如图,在由边长相同的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均在格点(小正方形的顶点称为格点)上.仅用无刻度的直尺,在给定的网格中,分别按下列要求画图,不用写画法,保留适当的作图痕迹.
(1)在图(1)中找点D,使得线段AD是△ABC的中线;
(2)在图(2)中找点O,使得点O为△ABC的外心.
刷易错 小心有坑~
(1)在图(1)中找点D,使得线段AD是△ABC的中线;
(2)在图(2)中找点O,使得点O为△ABC的外心.
刷易错 小心有坑~
答案
8.【解】(1)如图(1),点D即为所求.
(2)如图(2),点O即为所求.
解析
【分析】
(1) 要得到△ABC的中线AD，根据三角形中线的定义，中线是顶点到对边中点的连线，因此首先需要找到BC边的中点。由于B、C均为格点，通过数网格格数可快速确定BC的中点D，连接AD即可得到所求中线。
(2) 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。因此只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是外心O，利用网格的格点对称性可轻松画出线段的垂直平分线，找到对应交点。
【解析】
(1) 观察BC的位置，根据格点坐标特征找到BC的中点D，连接AD，线段AD就是△ABC的中线，点D即为所求。
(2) 分别作出AB和BC两条边的垂直平分线，利用网格格点构造出与线段两端点距离相等的连线，两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心O，点O即为所求。
【答案】
(1)如图(1),点D即为所求.
(2)如图(2),点O即为所求.
【知识点】
三角形中线，外心的定义，垂直平分线性质
【点评】
本题是网格类基础作图题，重点考查对几何基础概念的理解和应用，需要结合网格的结构特点快速定位特殊点，作图时注意保留相应的作图痕迹即可。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到△ABC的中线AD，根据三角形中线的定义，中线是顶点到对边中点的连线，因此首先需要找到BC边的中点。由于B、C均为格点，通过数网格格数可快速确定BC的中点D，连接AD即可得到所求中线。
(2) 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。因此只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是外心O，利用网格的格点对称性可轻松画出线段的垂直平分线，找到对应交点。
【解析】
(1) 观察BC的位置，根据格点坐标特征找到BC的中点D，连接AD，线段AD就是△ABC的中线，点D即为所求。
(2) 分别作出AB和BC两条边的垂直平分线，利用网格格点构造出与线段两端点距离相等的连线，两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心O，点O即为所求。
【答案】
(1)如图(1),点D即为所求.
(2)如图(2),点O即为所求.
【知识点】
三角形中线，外心的定义，垂直平分线性质
【点评】
本题是网格类基础作图题，重点考查对几何基础概念的理解和应用，需要结合网格的结构特点快速定位特殊点，作图时注意保留相应的作图痕迹即可。
【难度系数】
0.7
9 在$△ ABC$中，$AB = AC$，$BC = 6$，已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$\odot O$的半径为5，则$AB$的长为（
A.$\sqrt{10}$
B.$3\sqrt{10}$
C.$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$
D.$\sqrt{10}$或$2\sqrt{10}$
C
）A.$\sqrt{10}$
B.$3\sqrt{10}$
C.$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$
D.$\sqrt{10}$或$2\sqrt{10}$
答案
9.C 【解析】如图(1)所示,过点A作$AE⊥ BC$于点D,交$\odot O$于点E,连接OB,则易证AE必过点O. $\because AB=AC$,$BC=6$,$\odot O$的半径为5,$\therefore BO=5$,$BD=DC=3$,$\therefore DO=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\therefore AD=5+4=9$,$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$. 如图(2)所示,过点A作$AE⊥ BC$于点D,交$\odot O$于点E,连接OB,则易证AE必过点O. $\because AB=AC$,$BC=6$,$\odot O$的半径为5,$\therefore BO=5$,$BD=DC=3$,$\therefore DO=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\therefore AD=5-4=1$,$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. 综上,AB的长为$3\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$.
解析
【分析】
已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，其外接圆的圆心O必然在BC的垂直平分线上，也就是等腰三角形底边BC的高所在直线上。解题时先作AE⊥BC于D，可证AE过圆心O，利用垂径定理得到BD的长度，再结合圆的半径为5，用勾股定理算出OD的长。接下来需分类讨论圆心的位置：第一种是圆心在△ABC内部，此时AD长度为AO+OD；第二种是圆心在△ABC外部，此时AD长度为AO-OD，最后分别在Rt△ABD中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图(1)，过点A作AE⊥BC于点D，交⊙O于点E，连接OB。
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴D是BC中点，AE是BC的垂直平分线，因此AE必过圆心O。
已知BC=6，
∴BD=DC=3，⊙O半径OB=OA=5。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
此时圆心在△ABC内部，
∴AD=AO+OD=5+4=9。
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。
② 如图(2)，同样过点A作AE⊥BC于点D，交⊙O于点E，连接OB。
同理可得BD=3，OB=5，OD=4。
此时圆心在△ABC外部，
∴AD=AO-OD=5-4=1。
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
综上，AB的长为$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅考虑圆心在三角形内部的情况导致漏解，解题时要结合等腰三角形和外接圆的性质全面分析圆心位置，考查了分类讨论和数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，其外接圆的圆心O必然在BC的垂直平分线上，也就是等腰三角形底边BC的高所在直线上。解题时先作AE⊥BC于D，可证AE过圆心O，利用垂径定理得到BD的长度，再结合圆的半径为5，用勾股定理算出OD的长。接下来需分类讨论圆心的位置：第一种是圆心在△ABC内部，此时AD长度为AO+OD；第二种是圆心在△ABC外部，此时AD长度为AO-OD，最后分别在Rt△ABD中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图(1)，过点A作AE⊥BC于点D，交⊙O于点E，连接OB。
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴D是BC中点，AE是BC的垂直平分线，因此AE必过圆心O。
已知BC=6，
∴BD=DC=3，⊙O半径OB=OA=5。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
此时圆心在△ABC内部，
∴AD=AO+OD=5+4=9。
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。
② 如图(2)，同样过点A作AE⊥BC于点D，交⊙O于点E，连接OB。
同理可得BD=3，OB=5，OD=4。
此时圆心在△ABC外部，
∴AD=AO-OD=5-4=1。
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
综上，AB的长为$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅考虑圆心在三角形内部的情况导致漏解，解题时要结合等腰三角形和外接圆的性质全面分析圆心位置，考查了分类讨论和数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
