1. 对分式$\frac{y}{2x}$，$\frac{x}{3y^2}$，$\frac{1}{4xy}$通分时，最简公分母是 （）

A.$24x^2y^2$
B.$12x^2y^2$
C.$24xy^2$
D.$12xy^2$

D

2. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“不和谐分式”，下列分式中是“不和谐分式”的是（）

A.$\frac{x^2 - y^2}{(x + y)^2}$
B.$\frac{x + y}{x^2 - y^2}$
C.$\frac{x - 2y}{x^2 - y^2}$
D.$\frac{x - 2}{x^2 + 2}$

C

3. 化简$\frac{m^2 - 3m}{9 - m^2}$的结果是 （）

A.$\frac{m}{m+3}$
B.$-\frac{m}{m+3}$
C.$\frac{m}{m-3}$
D.$\frac{m}{3 - m}$

B

4. 约分：
(1) $\dfrac{3a^3b}{-45a^2b^3}$；
(2) $\dfrac{a^4 - 16}{2a^2b + 8b}$；
(3) $\dfrac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 9}$；
(4) $\dfrac{3x^2y - 3x^3y}{9xy^2 - 9y^2}$。

(1) $-\frac{a}{15b^2}$
(2) $\frac{a^2-4}{2b}$
(3) $\frac{a-3}{a+3}$
(4) $-\frac{x^2}{3y}$

5. 通分：
(1) $\frac{2a}{3b^2c}, \frac{3c}{5a^2b}, -\frac{3b}{2ac^3}$；
(2) $\frac{1}{x^2 - 4}, \frac{x}{4 - 2x}$。

(1) 通分结果为$\frac{20a^3c^2}{30a^2b^2c^3}$，$\frac{18bc^4}{30a^2b^2c^3}$，$-\frac{45ab^3}{30a^2b^2c^3}$
(2) 通分结果为$\frac{2}{2(x^2-4)}$，$-\frac{x(x+2)}{2(x^2-4)}$

6. 阅读下面的解题过程(不完整)：
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{5}$，求代数式$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值.
解：$\because \frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{5}$，$\therefore \frac{x^2 +1}{x}=5$. 即$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=5$. $\therefore x+\frac{1}{x}=5$.
(1) 该题的解法叫作“倒数法”，请你继续完成上面问题的求值过程；
(2) 请仿照上述方法解决问题：已知$\frac{x}{x^2 -x -1}=4$，求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.

(1) 由题意，得$(x+\frac{1}{x})^2=25$，即$x^2+\frac{1}{x^2}+2=25$，$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=23$.
(2) $\because \frac{x}{x^2 -x -1}=4$，$\therefore \frac{x^2 -x -1}{x}=\frac{1}{4}$，即$x-1-\frac{1}{x}=\frac{1}{4}$. 整理，得$x-\frac{1}{x}=\frac{5}{4}$，即$(x-\frac{1}{x})^2=\frac{25}{16}$，$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}-2=\frac{25}{16}$. $\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{57}{16}$. $\therefore$原式$=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}+1}=\frac{1}{\frac{57}{16}+1}=\frac{16}{73}$.