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9.已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依此类推，第2027个三角形的周长为
$\frac{1}{2^{2026}}$
。答案
9.$\frac{1}{2^{2026}}$
10.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 (
A.$\frac{48}{5}$
B.$\frac{32}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
C
)A.$\frac{48}{5}$
B.$\frac{32}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
10.C
11.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
11.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为
$3\sqrt{17}$
.答案
12.$3\sqrt{17}$
13.如图，在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC的中点，F在DE上，且$∠ AFB=90°$，$AF=6\ \mathrm{cm}$，$BF=8\ \mathrm{cm}$，$BC=14\ \mathrm{cm}$，求EF的长.
答案
13.解:
∵D,E分别是AB,AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm}).$
在Rt△ABF中,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm}),$
∵D是AB的中点,$∠AFB=90°,$
∴$DF=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm},$
∴$EF=DE-DF=7-5=2(\mathrm{cm}).$
∵D,E分别是AB,AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm}).$
在Rt△ABF中,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm}),$
∵D是AB的中点,$∠AFB=90°,$
∴$DF=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm},$
∴$EF=DE-DF=7-5=2(\mathrm{cm}).$
三、能力拓展训练
14.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,AE交CD于点F.
(1)求证:△FAC为等腰三角形;
(2)求△FAC的面积.
14.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,AE交CD于点F.
(1)求证:△FAC为等腰三角形;
(2)求△FAC的面积.
答案
14.(1)证明:
∵在矩形ABCD中,$AB// CD,$
∴$∠BAC=∠DCA,$
由折叠可得$∠BAC=∠EAC,$
∴$∠EAC=∠DCA,∴AF=CF,$
∴△FAC是等腰三角形.
(2)解:在矩形ABCD中,$AB=CD=4,AD=BC=3$,由折叠可得$EC=BC=3,$
设$CF=x$,则$AF=x,DF=4-x,$
∵$∠D=90°$,
∴在Rt△ADF中,
$AD^2+DF^2=AF^2,$
即$3^2+(4-x)^2=x^2,$
解得$x=\frac{25}{8}$,即$AF=\frac{25}{8},$
∴$S_{△FAC}=\frac{1}{2}AF·EC=\frac{1}{2}×\frac{25}{8}×3=\frac{75}{16}.$
∵在矩形ABCD中,$AB// CD,$
∴$∠BAC=∠DCA,$
由折叠可得$∠BAC=∠EAC,$
∴$∠EAC=∠DCA,∴AF=CF,$
∴△FAC是等腰三角形.
(2)解:在矩形ABCD中,$AB=CD=4,AD=BC=3$,由折叠可得$EC=BC=3,$
设$CF=x$,则$AF=x,DF=4-x,$
∵$∠D=90°$,
∴在Rt△ADF中,
$AD^2+DF^2=AF^2,$
即$3^2+(4-x)^2=x^2,$
解得$x=\frac{25}{8}$,即$AF=\frac{25}{8},$
∴$S_{△FAC}=\frac{1}{2}AF·EC=\frac{1}{2}×\frac{25}{8}×3=\frac{75}{16}.$
