11.【整体思想】如图,点A,B,C,D,E都在$\odot O$上,AB是$\odot O$的直径,则$∠ A+∠ B+∠ D$的度数为°.

11.90

【分析】
解题时先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。观察图形可知，∠A、∠B、∠D都是⊙O的圆周角，我们先分别确定每个角对应的弧，再把三个角对应的弧的度数相加，会发现它们的和恰好是直径AB所对的半圆弧的度数，半圆弧度数为180°，再结合圆周角定理就能求出三个角的和。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，可得：
∠A的度数 = $\frac{1}{2}$×弧CE的度数，
∠B的度数 = $\frac{1}{2}$×弧DE的度数，
∠D的度数 = $\frac{1}{2}$×弧AC的度数，
∵AB是⊙O的直径，
∴弧AB是半圆弧，度数为180°，且弧AC + 弧CE + 弧DE = 弧AB，
∴∠A + ∠B + ∠D = $\frac{1}{2}$×(弧AC的度数 + 弧CE的度数 + 弧DE的度数) = $\frac{1}{2}$×弧AB的度数 = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是运用整体思想，将三个圆周角对应的弧合并为直径所对的半圆弧，从而快速求出角度和，是圆周角相关的基础典型题。
【难度系数】
0.7

12.(泸州中考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径.若$AB=AC$,$∠ ACB=70°$,则$∠ CBD$的度数为 ()

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

12.B

【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先根据AB=AC得出△ABC是等腰三角形，结合已知∠ACB的度数，利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和求出∠BAC的度数；②根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC与∠BAC相等；③再利用“直径所对的圆周角是直角”，得出△BCD是直角三角形，最后根据直角三角形两锐角互余即可计算出∠CBD的度数。
【解析】
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
由三角形内角和为180°可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
∵∠BAC和∠BDC都为弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△BCD中，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论、等腰三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题核心是熟练运用圆周角的两个常用推论：同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角，再结合三角形的基本性质即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

13. 小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞(如图)，她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4 m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的$∠ ACB=30°$，则这个门洞处AB的边长为 ()

A.1 m
B.$\sqrt{3}$ m
C.$\frac{6}{5}$ m
D.$\frac{6\sqrt{3}}{5}$ m

13.C

【分析】
首先明确圆弧上任意两点的最大距离就是对应圆的直径，由此可得到圆的半径；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出弧AB对应的圆心角度数；最后结合半径相等判断△OAB的形状，即可求出AB的长度。
【解析】
1. 确定圆的半径：圆弧上任意两点间的最大距离为圆的直径，由题意得⊙O的直径为2.4 m，因此半径$OA=OB=2.4÷2=1.2\ \mathrm{m}$。
2. 求圆心角：已知$∠ ACB$是劣弧$AB$所对的圆周角，$∠ AOB$是劣弧$AB$所对的圆心角，根据圆周角定理可得$∠ AOB=2∠ ACB=2×30°=60°$。
3. 求AB的长：因为$OA=OB$，且$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$是等边三角形，因此$AB=OA=1.2\ \mathrm{m}=\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆的相关性质，解题的关键是理解圆弧上两点最大距离为直径，再结合圆周角定理推导角度关系，进而求解边长，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.7

14.如图，AB，AC是$\odot O$的弦，P为半径OB上的动点（不与端点重合），连接CP。若$∠ A=70°$，则$∠ BPC$的度数不可能是（）

A.$155°$
B.$145°$
C.$150°$
D.$170°$

14.D

【分析】
解题思路如下：第一步，利用圆周角定理求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第二步，结合半径相等得到△OBC是等腰三角形，计算出它的底角度数；第三步，根据P点在OB上（不与端点重合）的运动范围，在△PBC中利用三角形内角和推导∠BPC的取值范围；第四步，对比选项找出不在取值范围内的答案。
【解析】
1. 由圆周角定理可知：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，因此$∠ BOC=2∠ A=2×70°=140°$。
2. 因为OC、OB都是$\odot O$的半径，所以$OC=OB$，$△ OBC$为等腰三角形，因此底角$∠ OBC=∠ OCB=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
3. 点P在OB上运动（不与O、B重合），在$△ PBC$中，$∠ PBC=∠ OBC=20°$，$∠ PCB$的取值范围为$0°＜∠ PCB＜20°$（P与O重合时$∠ PCB=20°$，与B重合时$∠ PCB=0°$，两个端点均取不到）。
4. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BPC=180°-∠ PBC-∠ PCB$，代入得$180°-20°-20°＜∠ BPC＜180°-20°-0°$，即$140°＜∠ BPC＜160°$。
5. 对比选项：145°、150°、155°均在$140°∼160°$范围内，170°超出该范围，因此∠BPC不可能是170°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角定理结合动点的角度范围判断题，解题核心是先求出固定角的度数，再结合动点的位置限制推导目标角的取值范围，解题时需注意动点不与端点重合，边界值取不到。
【难度系数】
0.7

15.【生活情境】船在航行过程中，船长通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，$∠ ACB$就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁.
(1)当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
(2)当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？

15.解:(1)当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时,船位于$\odot O$内. 如图1,延长 AP 交$\odot O$于点 F,连接 BF,$\because ∠ C=∠ F,∠ APB＞∠ F, \therefore ∠ APB＞∠ C$,即$α＞∠ C. \therefore$ 当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时,船位于$\odot O$内.
(2)当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时,船位于$\odot O$外. 如图 2,连接 BE. $\because ∠ AEB=∠ C,∠ AEB＞∠ P, \therefore ∠ C＞∠ P$,即$α＜∠ C. \therefore$ 当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时,船位于$\odot O$外.

【分析】
本题可结合圆周角定理的推论和三角形外角的性质，通过作辅助线构造同弧所对的圆周角，将角的大小关系与点和圆的位置关系对应起来解题：
1. 分析第一问时，通过延长AP与圆相交，构造同弧AB所对的圆周角，借助三角形外角大于不相邻内角的性质，比较α和危险角的大小，即可判断船的位置；
2. 分析第二问时，连接PB与圆的交点和点B，同样利用同弧所对圆周角相等、三角形外角性质比较角的大小，推导得出船的位置。
【解析】
(1) 要判断α大于危险角时船的位置：
延长AP交$\odot O$于点F，连接BF，根据圆周角定理的推论，同弧AB所对的圆周角相等，可得$∠ C=∠ F$；又$∠ APB$是$△ PBF$的外角，根据三角形外角性质，外角大于任意一个不相邻的内角，因此$∠ APB＞∠ F$，等量代换得$∠ APB＞∠ C$，即$α＞∠ C$，此时船在$\odot O$内。
(2) 要判断α小于危险角时船的位置：
设PB与$\odot O$交于点E，连接BE，根据圆周角定理的推论，同弧AB所对的圆周角相等，可得$∠ AEB=∠ C$；又$∠ AEB$是$△ PEB$的外角，根据三角形外角性质，得$∠ AEB＞∠ P$，等量代换得$∠ C＞∠ P$，即$α＜∠ C$，此时船在$\odot O$外。
【答案】
15.解:(1)当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时,船位于$\odot O$内. 如图1,延长 AP 交$\odot O$于点 F,连接 BF,$\because ∠ C=∠ F,∠ APB＞∠ F, \therefore ∠ APB＞∠ C$,即$α＞∠ C. \therefore$ 当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时,船位于$\odot O$内.
(2)当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时,船位于$\odot O$外. 如图 2,连接 BE. $\because ∠ AEB=∠ C,∠ AEB＞∠ P, \therefore ∠ C＞∠ P$,即$α＜∠ C. \therefore$ 当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时,船位于$\odot O$外.
【知识点】
圆周角定理推论、三角形外角性质、点与圆的位置判定
【点评】
本题结合航行避险的实际情境出题，将生活问题转化为几何角的大小比较问题，既考查了基础几何性质的应用，也能让学生体会数学知识在实际生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7

16.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CBA的平分线BD交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.求证：
(1)∠DAC=∠DBA；
(2)点P是线段AF的中点.

16.证明:(1)$\because BD$ 平分$∠ CBA, \therefore ∠ CBD=∠ DBA. \because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠ DAC=∠ CBD. \therefore ∠ DAC=∠ DBA.$
(2)$\because AB$ 为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=90°. \because DE⊥ AB, \therefore ∠ DEB=90°. \therefore ∠ ADE+∠ BDE=∠ DBA+∠ BDE=90°. \therefore ∠ ADE=∠ DBA.$ 由(1)知,$∠ DAC=∠ DBA, \therefore ∠ ADE=∠ DAC. \therefore PD=PA. \because ∠ DFA+∠ DAC=∠ ADE+∠ BDE=90°, ∠ ADE=∠ DAC, \therefore ∠ DFA=∠ BDE. \therefore PD=PF. \therefore PA=PF. \therefore$ 点 P 是线段 AF 的中点.

【分析】
(1) 要证明∠DAC=∠DBA，可找中间量过渡：首先根据角平分线的定义得到∠CBD=∠DBA，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC=∠CBD，通过等量代换即可得证。
(2) 要证明P是AF的中点，即证PA=PF。首先根据直径所对的圆周角为直角，结合DE⊥AB，利用同角的余角相等推出∠ADE=∠DBA，结合(1)的结论得到∠ADE=∠DAC，由等角对等边得PA=PD；再通过角的互余关系推导∠DFA=∠BDE，得PD=PF，等量代换后即可证得PA=PF，即P为AF中点。
【解析】
(1) 证明：$\because BD$ 平分$∠ CBA, \therefore ∠ CBD=∠ DBA$。
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ DAC=∠ CBD$。
$\therefore ∠ DAC=∠ DBA$。
(2) 证明：$\because AB$ 为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$，即$∠ ADE+∠ BDE=90°$。
$\because DE⊥ AB, \therefore ∠ DEB=90°$，即$∠ DBA+∠ BDE=90°$。
$\therefore ∠ ADE=∠ DBA$（同角的余角相等）。
由(1)知,$∠ DAC=∠ DBA, \therefore ∠ ADE=∠ DAC$，$\therefore PD=PA$（等角对等边）。
$\because ∠ DFA+∠ DAC=90°, ∠ ADE+∠ BDE=90°, ∠ ADE=∠ DAC$，
$\therefore ∠ DFA=∠ BDE$，$\therefore PD=PF$（等角对等边）。
$\therefore PA=PF$，即点P是线段AF的中点。
【答案】
(1) 已证$\boldsymbol{∠DAC=∠DBA}$；
(2) 已证点$\boldsymbol{P}$是线段$\boldsymbol{AF}$的中点，证明过程如上。
【知识点】
圆周角定理及推论；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规证明题，侧重考察角的等量转换能力，解题的核心是熟练运用圆周角的性质、直角三角形的余角性质，结合等角对等边的判定完成线段相等的证明，是巩固圆基础性质的典型题型。
【难度系数】
0.7