7. 北京市海淀区举办中小学生书法比赛，实验小学有45人获奖，其中获一等奖的人数占$\frac{1}{5}$，获二等奖的人数比获一等奖的多$\frac{1}{3}$。获二等奖的有多少人？

$45×\frac{1}{5}=9(\mathrm{人})\quad 9×(1+\frac{1}{3})=12(\mathrm{人})$

8. (1)如果$a,b$互为倒数,那么:
$\frac{b}{7}×\frac{4}{5}÷\frac{8}{a}=(\quad)$；
$(\frac{5}{a}÷\frac{b}{7}-28)÷1.4=(\quad)$。
(2)规定$a☆b=a÷3+b÷\frac{3}{4}$,如果$a☆\frac{1}{4}=3$,那么$a$的值为$(\quad)$。
(3)算式$\frac{2}{7}÷\frac{2}{3}×\frac{5}{3}÷\frac{6}{7}×\frac{1}{2}=\frac{3}{20}$中有一个运算符号写错了,把它改成正确的算式:________。
(4)乐乐在解答“$\frac{5}{8}$加上一个数除以$\frac{2}{3}$的商,和是多少”这道题时,因为先算了加法,再算除法,所以得数是$\frac{33}{16}$,这道题的正确得数是$(\quad)$。
(5)明明在计算$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)$时,因为漏看了括号,这样算出的结果与正确的结果相差$\frac{3}{20}$,则$☆$所表示的数是$(\quad)$。

(1) $\frac{1}{70}$，5
提示:原式$=\frac{b}{7}×\frac{4}{5}×\frac{a}{8}=\frac{ab}{70}=\frac{1}{70}$; 原式$=(\frac{5}{a}×\frac{7}{b}-28)÷1.4=(\frac{35}{ab}-28)÷1.4=(35-28)÷1.4=5$。
(2) 8
提示:依题意可知$a÷3+\frac{1}{4}÷\frac{3}{4}=3,a=8$。
(3) $\frac{2}{7}÷\frac{2}{3}÷\frac{5}{3}÷\frac{6}{7}×\frac{1}{2}=\frac{3}{20}$
提示:因为算式得数的分母20含有因数5,且只有一个运算符号写错了,可以猜测$\frac{5}{3}$前面的×错了,把×改成÷,再验证即可。
(4) $\frac{7}{4}$
提示:乐乐错误计算的顺序是$(\frac{5}{8}+一个数)÷\frac{2}{3}=\frac{33}{16}$,应用倒推法,可求得这个数为$\frac{33}{16}×\frac{2}{3}-\frac{5}{8}=\frac{3}{4}$,再按正确运算顺序计算即可,为$\frac{5}{8}+\frac{3}{4}÷\frac{2}{3}=\frac{7}{4}$。
(5) $\frac{1}{4}$
提示:根据乘法分配律可知,$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)=\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+\frac{2}{5}×☆$,而明明计算时漏看了括号,他计算的算式是$\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+☆$,通过比较可以发现,$☆-\frac{2}{5}×☆=\frac{3}{20}$,可得$☆=\frac{1}{4}$。

9. 一段公路进行路面改造,第一天改造了全长的$\frac{3}{10}$,第二天比第一天多改造$\frac{1}{3}$,还剩1800 m没有改造。这条公路全长多少米？

$\frac{3}{10}×(1+\frac{1}{3})=\frac{2}{5}$
$1800÷(1-\frac{3}{10}-\frac{2}{5})=6000(\mathrm{m})$
提示:先算出第二天改造了全长的几分之几,从而就知道剩下的1800 m是全长的几分之几,再用除法计算就可以得到全长。

10. 如图表示甲、乙、丙三人单独完成某项工作所需的时间，根据图中的信息计算：甲单独做3天后，由乙、丙两人接替，乙、丙两人合作还需多少天才能完成任务？

$(1-\frac{1}{15}×3)÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})=8\frac{8}{9}(天)$
提示:甲单独做3天的工作量是$(\frac{1}{15}×3)$,还剩$(1-\frac{1}{15}×3)$的工作量,用剩下的工作量÷乙、丙两人的工作效率的和$(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})$,即得乙、丙两人合作还需要的天数,列式为$(1-\frac{1}{15}×3)÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})=8\frac{8}{9}(天)$。

11. 逆向思维 两袋糖共重 20 kg,如果从第一袋中取出$\frac{1}{11}$放入第二袋,然后再从第二袋中取出$\frac{1}{11}$放入第一袋,这时两袋糖同样重。原来两袋糖各重多少千克？

两次变化后两袋均为$20÷2=10(\mathrm{kg})$
第1次变化后第二袋:$10÷(1-\frac{1}{11})=11(\mathrm{kg})$
第1次变化后第一袋:$20-11=9(\mathrm{kg})$
原来第一袋:$9÷(1-\frac{1}{11})=9.9(\mathrm{kg})$
原来第二袋:$20-9.9=10.1(\mathrm{kg})$
提示:本题可以采用倒推的策略解决。根据最后两袋糖同样重可知,每袋糖重$20÷2=10(\mathrm{kg})$。根据“从第二袋中取出$\frac{1}{11}$放入第一袋,这时两袋糖同样重”可知,第1次变化后第二袋糖的质量$×(1-\frac{1}{11})=10(\mathrm{kg})$,则这时第二袋糖的质量为$10÷(1-\frac{1}{11})=11(\mathrm{kg})$,第一袋糖的质量为$20-11=9(\mathrm{kg})$。根据“从第一袋中取出$\frac{1}{11}$放入第二袋”和“第一袋糖重9 kg”可知,原来第一袋糖的质量$×(1-\frac{1}{11})=9(\mathrm{kg})$,则原来第一袋糖的质量为$9÷(1-\frac{1}{11})=9.9(\mathrm{kg})$,原来第二袋糖的质量为$20-9.9=10.1(\mathrm{kg})$。