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1.「2026广西百色期中」如图,抛物线$y=ax^2+bx-3$与x轴交于点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意得,$y=a(x+3)(x-1)=a(x^2+2x-3)=ax^2+2ax-3a=ax^2+bx-3,\therefore -3a=-3,\therefore a=1$,
∴抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)存在.
$\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4,\therefore$ 点 D 的坐标为$(-1,-4)$.
令$x=0$,则$y=-3,\therefore$ 点 C 的坐标为$(0,-3)$.
设点$N(-1,m)(m＞-4)$,由点 A,C,N 的坐标得$AC^2=18,AN^2=4+m^2,CN^2=1+(m+3)^2$.
当$AN=AC$时,$4+m^2=18$,解得$m=\pm\sqrt{14}$,
则点 N 的坐标为$(-1,\sqrt{14})$或$(-1,-\sqrt{14})$;
当$AN=CN$时,$4+m^2=1+(m+3)^2$,解得$m=-1$,
则点$N(-1,-1)$;
当$AC=CN$时,$18=1+(m+3)^2$,解得$m=\sqrt{17}-3$或$m=-\sqrt{17}-3$(舍去),则点$N(-1,\sqrt{17}-3)$.
综上可知,点 N 的坐标为$(-1,\sqrt{14})$或$(-1,-\sqrt{14})$或$(-1,-1)$或$(-1,\sqrt{17}-3)$.
∴抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)存在.
$\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4,\therefore$ 点 D 的坐标为$(-1,-4)$.
令$x=0$,则$y=-3,\therefore$ 点 C 的坐标为$(0,-3)$.
设点$N(-1,m)(m＞-4)$,由点 A,C,N 的坐标得$AC^2=18,AN^2=4+m^2,CN^2=1+(m+3)^2$.
当$AN=AC$时,$4+m^2=18$,解得$m=\pm\sqrt{14}$,
则点 N 的坐标为$(-1,\sqrt{14})$或$(-1,-\sqrt{14})$;
当$AN=CN$时,$4+m^2=1+(m+3)^2$,解得$m=-1$,
则点$N(-1,-1)$;
当$AC=CN$时,$18=1+(m+3)^2$,解得$m=\sqrt{17}-3$或$m=-\sqrt{17}-3$(舍去),则点$N(-1,\sqrt{17}-3)$.
综上可知,点 N 的坐标为$(-1,\sqrt{14})$或$(-1,-\sqrt{14})$或$(-1,-1)$或$(-1,\sqrt{17}-3)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，再结合原式的常数项求出参数a，即可得到抛物线的表达式。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴、顶点D及点C的坐标，设出对称轴上点N的坐标，利用两点间距离的平方公式分别表示出$AC^2$、$AN^2$、$CN^2$，再分三种情况讨论等腰三角形：①$AN=AC$；②$AN=CN$；③$AC=CN$，分别列方程求解，舍去不符合条件的解，即可得到点N的坐标。
【解析】
(1) 已知抛物线与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x+3)(x-1)$，展开得$y=a(x^2+2x-3)=ax^2+2ax-3a$。
对比原式$y=ax^2+bx-3$，可得$-3a=-3$，解得$a=1$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 存在，理由如下：
将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，可得抛物线对称轴为直线$x=-1$，顶点D坐标为$(-1,-4)$。
令$x=0$，代入解析式得$y=-3$，即点C坐标为$(0,-3)$。
设点N坐标为$(-1,m)$，其中$m＞-4$（N在D上方）。
根据两点间距离的平方公式：
$AC^2=(-3-0)^2+(0+3)^2=18$，
$AN^2=(-3+1)^2+(0-m)^2=4+m^2$，
$CN^2=(0+1)^2+(-3-m)^2=1+(m+3)^2$。
分三种情况讨论：
① 当$AN=AC$时，$AN^2=AC^2$，即$4+m^2=18$，解得$m=\pm\sqrt{14}$，均满足$m＞-4$，此时N坐标为$(-1,\sqrt{14})$或$(-1,-\sqrt{14})$；
② 当$AN=CN$时，$AN^2=CN^2$，即$4+m^2=1+(m+3)^2$，化简得$6m=-6$，解得$m=-1$，满足条件，此时N坐标为$(-1,-1)$；
③ 当$AC=CN$时，$AC^2=CN^2$，即$18=1+(m+3)^2$，解得$m=\sqrt{17}-3$或$m=-\sqrt{17}-3$，其中$m=-\sqrt{17}-3＜-4$，不符合条件舍去，此时N坐标为$(-1,\sqrt{17}-3)$。
综上可得所有符合条件的点N坐标。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$
(2) 存在，点N的坐标为$\boldsymbol{(-1,\sqrt{14})}$、$\boldsymbol{(-1,-\sqrt{14})}$、$\boldsymbol{(-1,-1)}$、$\boldsymbol{(-1,\sqrt{17}-3)}$
【知识点】
二次函数解析式求法；等腰三角形分类讨论；两点间距离公式
【点评】
本题是二次函数与几何结合的常规考题，第一问侧重基础，考察二次函数交点式的应用；第二问考察分类讨论思想，需要明确等腰三角形三条边分别作为腰的三种情况，同时要注意根据题目的限定条件舍去不符合的解，是二次函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，再结合原式的常数项求出参数a，即可得到抛物线的表达式。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴、顶点D及点C的坐标，设出对称轴上点N的坐标，利用两点间距离的平方公式分别表示出$AC^2$、$AN^2$、$CN^2$，再分三种情况讨论等腰三角形：①$AN=AC$；②$AN=CN$；③$AC=CN$，分别列方程求解，舍去不符合条件的解，即可得到点N的坐标。
【解析】
(1) 已知抛物线与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x+3)(x-1)$，展开得$y=a(x^2+2x-3)=ax^2+2ax-3a$。
对比原式$y=ax^2+bx-3$，可得$-3a=-3$，解得$a=1$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 存在，理由如下：
将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，可得抛物线对称轴为直线$x=-1$，顶点D坐标为$(-1,-4)$。
令$x=0$，代入解析式得$y=-3$，即点C坐标为$(0,-3)$。
设点N坐标为$(-1,m)$，其中$m＞-4$（N在D上方）。
根据两点间距离的平方公式：
$AC^2=(-3-0)^2+(0+3)^2=18$，
$AN^2=(-3+1)^2+(0-m)^2=4+m^2$，
$CN^2=(0+1)^2+(-3-m)^2=1+(m+3)^2$。
分三种情况讨论：
① 当$AN=AC$时，$AN^2=AC^2$，即$4+m^2=18$，解得$m=\pm\sqrt{14}$，均满足$m＞-4$，此时N坐标为$(-1,\sqrt{14})$或$(-1,-\sqrt{14})$；
② 当$AN=CN$时，$AN^2=CN^2$，即$4+m^2=1+(m+3)^2$，化简得$6m=-6$，解得$m=-1$，满足条件，此时N坐标为$(-1,-1)$；
③ 当$AC=CN$时，$AC^2=CN^2$，即$18=1+(m+3)^2$，解得$m=\sqrt{17}-3$或$m=-\sqrt{17}-3$，其中$m=-\sqrt{17}-3＜-4$，不符合条件舍去，此时N坐标为$(-1,\sqrt{17}-3)$。
综上可得所有符合条件的点N坐标。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$
(2) 存在，点N的坐标为$\boldsymbol{(-1,\sqrt{14})}$、$\boldsymbol{(-1,-\sqrt{14})}$、$\boldsymbol{(-1,-1)}$、$\boldsymbol{(-1,\sqrt{17}-3)}$
【知识点】
二次函数解析式求法；等腰三角形分类讨论；两点间距离公式
【点评】
本题是二次函数与几何结合的常规考题，第一问侧重基础，考察二次函数交点式的应用；第二问考察分类讨论思想，需要明确等腰三角形三条边分别作为腰的三种情况，同时要注意根据题目的限定条件舍去不符合的解，是二次函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
2.「2026河南许昌一中期中改编」如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(-3,0)，点C的坐标为(0,3)。
(1)求抛物线的表达式。
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使AQ+CQ的值最小，并求出点Q的坐标。
(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E,A,B,C四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求抛物线的表达式。
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使AQ+CQ的值最小，并求出点Q的坐标。
(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E,A,B,C四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
(1)设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,将A,B,C三点的坐标分别代入,
得$\begin{cases}4a+2b+c=0,\\9a-3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3$.
(2)由题意得,抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{-3+2}{2}=-\dfrac{1}{2}$,点 A 与点 B 关于抛物线对称轴对称,
如图,BC 与抛物线对称轴的交点即为点 Q,连接 AQ,
此时$AQ+CQ$取得最小值,
设直线 BC 的表达式为$y=sx+t(s≠0)$,将 B,C 的坐标分别代入,得$\begin{cases}-3s+t=0,\\t=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}s=1,\\t=3,\end{cases}$
∴直线 BC 的表达式为$y=x+3$,
当$x=-\dfrac{1}{2}$时,$y=-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{5}{2},\therefore Q(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2})$.
(3)存在.
设$E(p,q)$,当以 AC 为对角线,四边形 AECB 是平行四边形时,
$\begin{cases}\dfrac{2+0}{2}=\dfrac{-3+p}{2},\\\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{0+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=5,\\q=3,\end{cases}$$\therefore E(5,3)$;
当以 AB 为对角线,四边形 ACBE 是平行四边形时,
$\begin{cases}\dfrac{2+(-3)}{2}=\dfrac{0+p}{2},\\\dfrac{0+0}{2}=\dfrac{3+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-1,\\q=-3,\end{cases}$$\therefore E(-1,-3)$;
当以 AE 为对角线,四边形 ACEB 是平行四边形时,
$\begin{cases}\dfrac{2+p}{2}=\dfrac{0+(-3)}{2},\\\dfrac{0+q}{2}=\dfrac{3+0}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-5,\\q=3,\end{cases}$$\therefore E(-5,3)$.
综上所述,存在点 E 使得以 E,A,B,C 四个点为顶点的四边形是平行四边形,点 E 的坐标为$(5,3)$或$(-1,-3)$或$(-5,3)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线上三个点的坐标，可设二次函数的一般式，将三点坐标代入得到三元一次方程组，求解得到系数即可得到抛物线表达式，是二次函数的基础应用；
(2) 求对称轴上点Q使AQ+CQ最小，利用抛物线对称性：点A关于对称轴的对称点是点B，因此AQ=BQ，可将AQ+CQ转化为BQ+CQ，根据两点之间线段最短，BC与对称轴的交点就是所求Q点，先求直线BC解析式，再代入对称轴横坐标即可得到Q点坐标；
(3) 平行四边形顶点顺序未明确，需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分（即两条对角线中点坐标相同）列方程求解，即可得到所有符合条件的E点坐标。
【解析】
(1) 设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将A(2,0)、B(-3,0)、C(0,3)三点的坐标分别代入，
得$\begin{cases}4a+2b+c=0,\\9a-3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3$.
(2) 由抛物线与x轴交点为A(2,0)、B(-3,0)，得抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{-3+2}{2}=-\dfrac{1}{2}$，点A与点B关于抛物线对称轴对称，
如图，BC与抛物线对称轴的交点即为点Q，连接AQ，
此时$AQ+CQ=BQ+CQ=BC$，取得最小值，
设直线BC的表达式为$y=sx+t(s≠0)$，将B(-3,0)、C(0,3)的坐标分别代入，得$\begin{cases}-3s+t=0,\\t=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}s=1,\\t=3,\end{cases}$
∴直线BC的表达式为$y=x+3$，
当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$y=-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{5}{2}$，$\therefore Q(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2})$.
(3) 存在.
设$E(p,q)$，分三种情况讨论：
①当以AC为对角线，四边形AECB是平行四边形时，根据平行四边形对角线中点重合，
得$\begin{cases}\dfrac{2+0}{2}=\dfrac{-3+p}{2},\\\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{0+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=5,\\q=3,\end{cases}$$\therefore E(5,3)$；
②当以AB为对角线，四边形ACBE是平行四边形时，根据平行四边形对角线中点重合，
得$\begin{cases}\dfrac{2+(-3)}{2}=\dfrac{0+p}{2},\\\dfrac{0+0}{2}=\dfrac{3+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-1,\\q=-3,\end{cases}$$\therefore E(-1,-3)$；
③当以BC为对角线，四边形ACEB是平行四边形时，根据平行四边形对角线中点重合，
得$\begin{cases}\dfrac{-3+0}{2}=\dfrac{2+p}{2},\\\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{0+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-5,\\q=3,\end{cases}$$\therefore E(-5,3)$.
综上所述，存在点E使得以E,A,B,C四个点为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为$(5,3)$或$(-1,-3)$或$(-5,3)$.
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3$
(2) $Q(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2})$
(3) 存在，点E的坐标为$(5,3)$或$(-1,-3)$或$(-5,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，平行四边形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合常考题，涵盖了二次函数基础、最短路径求解、平行四边形存在性分类讨论三大考点，解题时要注意平行四边形顶点顺序不明确时需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线上三个点的坐标，可设二次函数的一般式，将三点坐标代入得到三元一次方程组，求解得到系数即可得到抛物线表达式，是二次函数的基础应用；
(2) 求对称轴上点Q使AQ+CQ最小，利用抛物线对称性：点A关于对称轴的对称点是点B，因此AQ=BQ，可将AQ+CQ转化为BQ+CQ，根据两点之间线段最短，BC与对称轴的交点就是所求Q点，先求直线BC解析式，再代入对称轴横坐标即可得到Q点坐标；
(3) 平行四边形顶点顺序未明确，需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分（即两条对角线中点坐标相同）列方程求解，即可得到所有符合条件的E点坐标。
【解析】
(1) 设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将A(2,0)、B(-3,0)、C(0,3)三点的坐标分别代入，
得$\begin{cases}4a+2b+c=0,\\9a-3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3$.
(2) 由抛物线与x轴交点为A(2,0)、B(-3,0)，得抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{-3+2}{2}=-\dfrac{1}{2}$，点A与点B关于抛物线对称轴对称，
如图，BC与抛物线对称轴的交点即为点Q，连接AQ，
此时$AQ+CQ=BQ+CQ=BC$，取得最小值，
设直线BC的表达式为$y=sx+t(s≠0)$，将B(-3,0)、C(0,3)的坐标分别代入，得$\begin{cases}-3s+t=0,\\t=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}s=1,\\t=3,\end{cases}$
∴直线BC的表达式为$y=x+3$，
当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$y=-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{5}{2}$，$\therefore Q(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2})$.
(3) 存在.
设$E(p,q)$，分三种情况讨论：
①当以AC为对角线，四边形AECB是平行四边形时，根据平行四边形对角线中点重合，
得$\begin{cases}\dfrac{2+0}{2}=\dfrac{-3+p}{2},\\\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{0+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=5,\\q=3,\end{cases}$$\therefore E(5,3)$；
②当以AB为对角线，四边形ACBE是平行四边形时，根据平行四边形对角线中点重合，
得$\begin{cases}\dfrac{2+(-3)}{2}=\dfrac{0+p}{2},\\\dfrac{0+0}{2}=\dfrac{3+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-1,\\q=-3,\end{cases}$$\therefore E(-1,-3)$；
③当以BC为对角线，四边形ACEB是平行四边形时，根据平行四边形对角线中点重合，
得$\begin{cases}\dfrac{-3+0}{2}=\dfrac{2+p}{2},\\\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{0+q}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-5,\\q=3,\end{cases}$$\therefore E(-5,3)$.
综上所述，存在点E使得以E,A,B,C四个点为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为$(5,3)$或$(-1,-3)$或$(-5,3)$.
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3$
(2) $Q(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2})$
(3) 存在，点E的坐标为$(5,3)$或$(-1,-3)$或$(-5,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，平行四边形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合常考题，涵盖了二次函数基础、最短路径求解、平行四边形存在性分类讨论三大考点，解题时要注意平行四边形顶点顺序不明确时需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
