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1 如图，在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=12$，$BC=16$，$AD$为$BC$边上的中线，则$△ ABD$与$△ ACD$的周长之差为（
A.2
B.3
C.4
D.6
B
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
1. B
解析
【分析】
要计算△ABD与△ACD的周长之差，首先明确三角形周长是三边长度之和。先观察两个三角形的边的关系：AD是两个三角形的公共边，又因为AD是BC边上的中线，根据中线的性质可得BD=CD。因此两个三角形的周长差实际就是AB与AC的边长差，无需计算全部边长即可快速求解。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线
∴BD = CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△ACD的周长 = AC + CD + AD
则两个三角形的周长差为：
$\begin{split}&\;\;\;\;\,(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)\\&= AB - AC + (BD - CD) + (AD - AD)\\&= AB - AC\end{split}$
代入$AB=15$，$AC=12$，得：
周长差$=15 - 12 = 3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用公共边和中线性质抵消相等的线段，将周长差转化为两条已知边的长度差，简化计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
要计算△ABD与△ACD的周长之差，首先明确三角形周长是三边长度之和。先观察两个三角形的边的关系：AD是两个三角形的公共边，又因为AD是BC边上的中线，根据中线的性质可得BD=CD。因此两个三角形的周长差实际就是AB与AC的边长差，无需计算全部边长即可快速求解。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线
∴BD = CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△ACD的周长 = AC + CD + AD
则两个三角形的周长差为：
$\begin{split}&\;\;\;\;\,(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)\\&= AB - AC + (BD - CD) + (AD - AD)\\&= AB - AC\end{split}$
代入$AB=15$，$AC=12$，得：
周长差$=15 - 12 = 3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用公共边和中线性质抵消相等的线段，将周长差转化为两条已知边的长度差，简化计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
2如图，AD是$△ ABC$的中线，AE是$△ ABD$的中线.
（1）若$DE=3\ \mathrm{cm}$，则$EC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
（2）若$△ ADE$的面积是$4\ \mathrm{cm}^2$，则$△ ABC$的面积是$\mathrm{cm}^2$.
（1）若$DE=3\ \mathrm{cm}$，则$EC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
（2）若$△ ADE$的面积是$4\ \mathrm{cm}^2$，则$△ ABC$的面积是$\mathrm{cm}^2$.
答案
2. (1) 9 (2) 16
解析
【分析】
（1）第一问可利用三角形中线平分对边的性质求解：先由AE是△ABD的中线得出E是BD中点，求出BD的长度，再由AD是△ABC的中线得出D是BC中点，得到DC的长度，最后通过EC=DE+DC计算结果。
（2）第二问结合“同高的两个三角形，面积比等于底边长的比”的规律，搭配中线平分对边的性质推导：先根据AE是中线得到△ABD的面积是△ADE的2倍，再根据AD是中线得到△ABC的面积是△ABD的2倍，逐步计算即可。
【解析】
（1）
∵AE是△ABD的中线，
∴E为BD的中点，即$BD=2DE$。
已知$DE=3\ \mathrm{cm}$，代入得$BD=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
又
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，即$DC=BD=6\ \mathrm{cm}$。
因此$EC=DE+DC=3+6=9\ \mathrm{cm}$。
（2）
∵AE是△ABD的中线，△ADE与△ABE同高，且底$BE=DE$，
∴$S_{△ ABD}=2S_{△ ADE}$。
已知$S_{△ ADE}=4\ \mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ ABD}=2×4=8\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD同高，且底$BD=DC$，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2×8=16\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 9；(2) 16
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线性质的基础应用题，解题的关键是明确中线平分对边的特点，掌握同高三角形面积和底边长的对应关系，计算时注意两次运用中线性质时对应的三角形不要混淆。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可利用三角形中线平分对边的性质求解：先由AE是△ABD的中线得出E是BD中点，求出BD的长度，再由AD是△ABC的中线得出D是BC中点，得到DC的长度，最后通过EC=DE+DC计算结果。
（2）第二问结合“同高的两个三角形，面积比等于底边长的比”的规律，搭配中线平分对边的性质推导：先根据AE是中线得到△ABD的面积是△ADE的2倍，再根据AD是中线得到△ABC的面积是△ABD的2倍，逐步计算即可。
【解析】
（1）
∵AE是△ABD的中线，
∴E为BD的中点，即$BD=2DE$。
已知$DE=3\ \mathrm{cm}$，代入得$BD=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
又
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，即$DC=BD=6\ \mathrm{cm}$。
因此$EC=DE+DC=3+6=9\ \mathrm{cm}$。
（2）
∵AE是△ABD的中线，△ADE与△ABE同高，且底$BE=DE$，
∴$S_{△ ABD}=2S_{△ ADE}$。
已知$S_{△ ADE}=4\ \mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ ABD}=2×4=8\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD同高，且底$BD=DC$，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2×8=16\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 9；(2) 16
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线性质的基础应用题，解题的关键是明确中线平分对边的特点，掌握同高三角形面积和底边长的对应关系，计算时注意两次运用中线性质时对应的三角形不要混淆。
【难度系数】
0.7
3 如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，下列结论中错误的是（
A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
（第3题）
D
）A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
（第3题）答案
3. D
解析
【分析】
解题的核心是牢记三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点间的线段是三角形的角平分线。解题时先结合已知的角相等条件，判断每条线段是否满足对应三角形角平分线的要求，再结合角的和差关系判断角的数量关系即可。
【解析】
我们结合三角形角平分线的定义逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD交△ABC的AC边于点D，符合△ABC角平分线的定义，该结论正确。
2. 分析选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE交△BCD的BD边于点E，符合△BCD角平分线的定义，该结论正确。
3. 分析选项C：由图可知∠ACB=∠3+∠4，又因为∠3=∠4，因此$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，该结论正确。
4. 分析选项D：若CE是△ABC的角平分线，除了平分∠ACB外，CE的另一个端点需要落在△ABC的AB边上，但图中CE的端点E在BD上，不满足三角形角平分线的定义，该结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆角的平分线（射线）和三角形的角平分线（线段），要注意三角形的角平分线的端点必须分别在三角形的顶点和该顶点的对边上。
【难度系数】
0.8
解题的核心是牢记三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点间的线段是三角形的角平分线。解题时先结合已知的角相等条件，判断每条线段是否满足对应三角形角平分线的要求，再结合角的和差关系判断角的数量关系即可。
【解析】
我们结合三角形角平分线的定义逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD交△ABC的AC边于点D，符合△ABC角平分线的定义，该结论正确。
2. 分析选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE交△BCD的BD边于点E，符合△BCD角平分线的定义，该结论正确。
3. 分析选项C：由图可知∠ACB=∠3+∠4，又因为∠3=∠4，因此$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，该结论正确。
4. 分析选项D：若CE是△ABC的角平分线，除了平分∠ACB外，CE的另一个端点需要落在△ABC的AB边上，但图中CE的端点E在BD上，不满足三角形角平分线的定义，该结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆角的平分线（射线）和三角形的角平分线（线段），要注意三角形的角平分线的端点必须分别在三角形的顶点和该顶点的对边上。
【难度系数】
0.8
4如图，AD是$△ ABC$的角平分线，AE是$△ ABD$的角平分线. 若$∠ BAC = 80°$，则$∠ EAD=$
20
°.答案
4. 20
解析
【分析】
解题思路：首先明确角平分线的定义：角平分线会把一个角平均分成两个度数相等的小角。我们可以分两步计算：第一步根据AD是△ABC的角平分线，结合已知的∠BAC的度数，算出∠BAD的度数；第二步再根据AE是△ABD的角平分线，把∠BAD平均分成两份，就能得到∠EAD的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$
又
∵AE是△ABD的角平分线
∴$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
20
【知识点】
角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是基础题，主要考查角平分线定义的直接应用，解题时只需按照角平分线的性质逐步推导角度即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确角平分线的定义：角平分线会把一个角平均分成两个度数相等的小角。我们可以分两步计算：第一步根据AD是△ABC的角平分线，结合已知的∠BAC的度数，算出∠BAD的度数；第二步再根据AE是△ABD的角平分线，把∠BAD平均分成两份，就能得到∠EAD的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$
又
∵AE是△ABD的角平分线
∴$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
20
【知识点】
角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是基础题，主要考查角平分线定义的直接应用，解题时只需按照角平分线的性质逐步推导角度即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
5 教材P10习题T8变式 如图，D是△ABC中边BC上的一点，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且∠ADE=∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？请说明理由。
（第5题）
（第5题）答案
5. AD是△ABC的角平分线 理由:
∵ DE//AC,DF//AB，
∴ ∠ADE=∠DAF,∠ADF=∠EAD.
∵ ∠ADE=∠ADF，
∴ ∠DAF=∠EAD.
∴ AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线.
∵ DE//AC,DF//AB，
∴ ∠ADE=∠DAF,∠ADF=∠EAD.
∵ ∠ADE=∠ADF，
∴ ∠DAF=∠EAD.
∴ AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线.
解析
【分析】
要判断AD是否为△ABC的角平分线，本质是证明AD将∠BAC分成两个相等的角，即证∠EAD=∠DAF。首先根据已知的两组平行关系，利用平行线内错角相等的性质，可得到∠ADE与∠DAF相等、∠ADF与∠EAD相等，再结合题目给出的∠ADE=∠ADF的条件，通过等量代换即可推出∠EAD=∠DAF，从而得出结论。
【解析】
解：AD是△ABC的角平分线，理由如下：
∵ DE//AC，DF//AB，
∴ ∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠ADE=∠ADF，
∴ ∠DAF=∠EAD（等量代换），
即AD平分∠BAC，因此AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线 理由:
∵ DE//AC,DF//AB，
∴ ∠ADE=∠DAF,∠ADF=∠EAD.
∵ ∠ADE=∠ADF，
∴ ∠DAF=∠EAD.
∴ AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用平行线的性质完成角的等量转换，再结合角平分线的定义完成判定，熟练掌握相关性质和定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断AD是否为△ABC的角平分线，本质是证明AD将∠BAC分成两个相等的角，即证∠EAD=∠DAF。首先根据已知的两组平行关系，利用平行线内错角相等的性质，可得到∠ADE与∠DAF相等、∠ADF与∠EAD相等，再结合题目给出的∠ADE=∠ADF的条件，通过等量代换即可推出∠EAD=∠DAF，从而得出结论。
【解析】
解：AD是△ABC的角平分线，理由如下：
∵ DE//AC，DF//AB，
∴ ∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠ADE=∠ADF，
∴ ∠DAF=∠EAD（等量代换），
即AD平分∠BAC，因此AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线 理由:
∵ DE//AC,DF//AB，
∴ ∠ADE=∠DAF,∠ADF=∠EAD.
∵ ∠ADE=∠ADF，
∴ ∠DAF=∠EAD.
∴ AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用平行线的性质完成角的等量转换，再结合角平分线的定义完成判定，熟练掌握相关性质和定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6 教材P8练习T1变式 画$△ ABC$的边AB上的高，下列画法中，正确的是（
C
）答案
6. C
解析
【分析】要判断哪个是△ABC边AB上的高，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段就是该边上的高。所以AB边上的高需要满足两个核心条件：一是线段的一个端点必须是AB边所对的顶点C，二是这条线段要与AB所在的直线垂直，垂足在AB所在直线上。接下来我们就用这两个条件逐一排查四个选项即可。
【解析】根据三角形高的定义，△ABC中AB边上的高，是过顶点C向AB所在直线作垂线，点C到垂足之间的线段。
选项A：所作线段不与AB垂直，不符合高的定义，错误；
选项B：所作线段的端点是点B，不是顶点C，不符合要求，错误；
选项C：过点C向AB的延长线作垂线，垂足在AB所在直线上，符合AB边上高的定义，正确；
选项D：所作线段与BC垂直，不是与AB垂直，不符合要求，错误。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】三角形高的定义、三角形高的画法
【点评】本题是三角形高的基础考查题，解题关键是紧扣高的定义判断，注意钝角三角形的高可能落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，不要误以为高只能在三角形内部。
【难度系数】0.8
【解析】根据三角形高的定义，△ABC中AB边上的高，是过顶点C向AB所在直线作垂线，点C到垂足之间的线段。
选项A：所作线段不与AB垂直，不符合高的定义，错误；
选项B：所作线段的端点是点B，不是顶点C，不符合要求，错误；
选项C：过点C向AB的延长线作垂线，垂足在AB所在直线上，符合AB边上高的定义，正确；
选项D：所作线段与BC垂直，不是与AB垂直，不符合要求，错误。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】三角形高的定义、三角形高的画法
【点评】本题是三角形高的基础考查题，解题关键是紧扣高的定义判断，注意钝角三角形的高可能落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，不要误以为高只能在三角形内部。
【难度系数】0.8
7 如图，$△ ABC$的三条高$AD$，$BE$，$CF$相交于点$H$，则$△ ACH$的三条高是________，这三条高所在的直线相交于点________。
答案
7. CD,HE,AF B
解析
【分析】
首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高，且任意三角形的三条高所在直线交于一点。解题时先确定△ACH的三个顶点和三条边，再结合已知△ABC的高的垂直关系，逐一找到△ACH每条边上对应的高，最后确定三条高所在直线的交点即可。
【解析】
根据三角形高的定义分析△ACH的三条高：
1. 边AH在直线AD上，已知AD⊥BC，因此点C到直线AH的垂线段为CD，即CD是AH边上的高；
2. 边CH在直线CF上，已知CF⊥AB，因此点A到直线CH的垂线段为AF，即AF是CH边上的高；
3. 边AC所在直线与BE垂直，因此点H到直线AC的垂线段为HE，即HE是AC边上的高。
观察CD、HE、AF这三条高所在的直线，可发现三条高所在直线均经过点B，即三条高所在直线的交点为B。
【答案】
CD，HE，AF；B
【知识点】
三角形高的定义，三角形高的共点特征
【点评】
本题重点考查对三角形高的定义的理解，解题时需注意高是针对特定三角形的，要结合图形中的垂直关系，找准对应顶点和对边的垂线段，避免和其他三角形的高混淆。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高，且任意三角形的三条高所在直线交于一点。解题时先确定△ACH的三个顶点和三条边，再结合已知△ABC的高的垂直关系，逐一找到△ACH每条边上对应的高，最后确定三条高所在直线的交点即可。
【解析】
根据三角形高的定义分析△ACH的三条高：
1. 边AH在直线AD上，已知AD⊥BC，因此点C到直线AH的垂线段为CD，即CD是AH边上的高；
2. 边CH在直线CF上，已知CF⊥AB，因此点A到直线CH的垂线段为AF，即AF是CH边上的高；
3. 边AC所在直线与BE垂直，因此点H到直线AC的垂线段为HE，即HE是AC边上的高。
观察CD、HE、AF这三条高所在的直线，可发现三条高所在直线均经过点B，即三条高所在直线的交点为B。
【答案】
CD，HE，AF；B
【知识点】
三角形高的定义，三角形高的共点特征
【点评】
本题重点考查对三角形高的定义的理解，解题时需注意高是针对特定三角形的，要结合图形中的垂直关系，找准对应顶点和对边的垂线段，避免和其他三角形的高混淆。
【难度系数】
0.7
8 教材P10习题T7变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$是钝角,按要求画图.
（1）画出$△ ABC$的高$BM,AN,CH$；
（2）若$BM=3,AN=2,CH=4$,求$AB:AC:BC$.
（1）画出$△ ABC$的高$BM,AN,CH$；
（2）若$BM=3,AN=2,CH=4$,求$AB:AC:BC$.
答案
8. (1) 如图,线段 BM, AN, CH 即为所求作的高
(2) $\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AC · BM=\frac{1}{2} BC · AN=\frac{1}{2} AB · CH$,
$\therefore 3AC=2BC=4AB$. 可设 $4AB=3AC=2BC=k$, 则 $AB=\frac{1}{4}k,AC=\frac{1}{3}k,BC=\frac{1}{2}k.\therefore AB:AC:BC=\frac{1}{4}:\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=3:4:6$
解析
【分析】
（1）作三角形的高需依据高的定义：过三角形的顶点作对边所在直线的垂线，顶点与垂足间的线段即为该边上的高。本题中∠BAC是钝角，因此AC边上的高BM、AB边上的高CH的垂足会落在对应边的延长线上，作图时需先延长BA、CA再作垂线，BC边上的高AN的垂足在BC边上。
（2）要求三边的比值，可利用同一个三角形的面积不变，分别用三组底和对应的高表示三角形面积，得到三边与对应高的乘积相等，再设参数即可求出三边的比值。
【解析】
（1）①过点A作AN⊥BC于N，AN即为BC边上的高；②延长CA，过点B作BM⊥CA的延长线于M，BM即为AC边上的高；③延长BA，过点C作CH⊥BA的延长线于H，CH即为AB边上的高，所得线段BM、AN、CH即为所求。
（2）根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}$可以用不同的底和对应高表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BM=\frac{1}{2}BC·AN=\frac{1}{2}AB·CH$
将$BM=3,AN=2,CH=4$代入，等式两边同时乘2得：
$3AC=2BC=4AB$
设$4AB=3AC=2BC=k$（$k＞0$），则$AB=\frac{k}{4}$，$AC=\frac{k}{3}$，$BC=\frac{k}{2}$，
因此$AB:AC:BC=\frac{k}{4}:\frac{k}{3}:\frac{k}{2}=\frac{1}{4}:\frac{1}{3}:\frac{1}{2}$，各项同乘12化简得$3:4:6$。
【答案】
(1) 如图,线段 BM, AN, CH 即为所求作的高
(2) $AB:AC:BC=3:4:6$
【知识点】
三角形高的画法，三角形面积公式，比例化简
【点评】
本题综合考查了三角形高的作图和面积法的应用，作图时需注意钝角三角形有两条高落在三角形外部，利用面积相等建立三边的等量关系是求比值的关键，整体注重基础，对概念的理解和应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）作三角形的高需依据高的定义：过三角形的顶点作对边所在直线的垂线，顶点与垂足间的线段即为该边上的高。本题中∠BAC是钝角，因此AC边上的高BM、AB边上的高CH的垂足会落在对应边的延长线上，作图时需先延长BA、CA再作垂线，BC边上的高AN的垂足在BC边上。
（2）要求三边的比值，可利用同一个三角形的面积不变，分别用三组底和对应的高表示三角形面积，得到三边与对应高的乘积相等，再设参数即可求出三边的比值。
【解析】
（1）①过点A作AN⊥BC于N，AN即为BC边上的高；②延长CA，过点B作BM⊥CA的延长线于M，BM即为AC边上的高；③延长BA，过点C作CH⊥BA的延长线于H，CH即为AB边上的高，所得线段BM、AN、CH即为所求。
（2）根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}$可以用不同的底和对应高表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BM=\frac{1}{2}BC·AN=\frac{1}{2}AB·CH$
将$BM=3,AN=2,CH=4$代入，等式两边同时乘2得：
$3AC=2BC=4AB$
设$4AB=3AC=2BC=k$（$k＞0$），则$AB=\frac{k}{4}$，$AC=\frac{k}{3}$，$BC=\frac{k}{2}$，
因此$AB:AC:BC=\frac{k}{4}:\frac{k}{3}:\frac{k}{2}=\frac{1}{4}:\frac{1}{3}:\frac{1}{2}$，各项同乘12化简得$3:4:6$。
【答案】
(1) 如图,线段 BM, AN, CH 即为所求作的高
(2) $AB:AC:BC=3:4:6$
【知识点】
三角形高的画法，三角形面积公式，比例化简
【点评】
本题综合考查了三角形高的作图和面积法的应用，作图时需注意钝角三角形有两条高落在三角形外部，利用面积相等建立三边的等量关系是求比值的关键，整体注重基础，对概念的理解和应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
