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1 已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，则符合要求的作图痕迹是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要满足PA+PB=BC，首先观察线段BC的组成：BC=PB+PC，因此可对等式进行等量代换，推出需要满足PA=PC。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点P在AC的垂直平分线上，因此只需找到AC的垂直平分线与BC的交点即为所求的点P，再对应判断各选项的作图痕迹即可。
【解析】
∵ 点P在BC上，
∴ $BC = PB + PC$，
又
∵ 题目要求$PA + PB = BC$，
∴ $PA + PB = PB + PC$，
化简得 $PA = PC$，
根据线段垂直平分线的性质，点P在线段AC的垂直平分线上，即点P是AC的垂直平分线与BC的交点。
观察各选项：
选项A、B的作图痕迹均不是作AC的垂直平分线，不符合要求；
选项D的作图痕迹是作AB的垂直平分线，得到PA=PB，不满足PA=PC；
选项C的作图痕迹是作AC的垂直平分线，交BC于点P，满足PA=PC，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，尺规作图，等量代换
【点评】
本题的核心是通过等量代换将所求的线段和关系转化为两点距离相等的关系，从而关联到垂直平分线的性质，是对垂直平分线性质及作图的基础考察，解题时要注意先对条件进行转化再对应作图要求。
【难度系数】
0.7
要满足PA+PB=BC，首先观察线段BC的组成：BC=PB+PC，因此可对等式进行等量代换，推出需要满足PA=PC。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点P在AC的垂直平分线上，因此只需找到AC的垂直平分线与BC的交点即为所求的点P，再对应判断各选项的作图痕迹即可。
【解析】
∵ 点P在BC上，
∴ $BC = PB + PC$，
又
∵ 题目要求$PA + PB = BC$，
∴ $PA + PB = PB + PC$，
化简得 $PA = PC$，
根据线段垂直平分线的性质，点P在线段AC的垂直平分线上，即点P是AC的垂直平分线与BC的交点。
观察各选项：
选项A、B的作图痕迹均不是作AC的垂直平分线，不符合要求；
选项D的作图痕迹是作AB的垂直平分线，得到PA=PB，不满足PA=PC；
选项C的作图痕迹是作AC的垂直平分线，交BC于点P，满足PA=PC，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，尺规作图，等量代换
【点评】
本题的核心是通过等量代换将所求的线段和关系转化为两点距离相等的关系，从而关联到垂直平分线的性质，是对垂直平分线性质及作图的基础考察，解题时要注意先对条件进行转化再对应作图要求。
【难度系数】
0.7
2 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$.
（1）用尺规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：$△ ADE ≌ △ BDE$.
（1）用尺规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：$△ ADE ≌ △ BDE$.
答案
2. （1）如图,DE即为所求
（2）证明：
∵ DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴ AD=BD，∠DEB=∠DEA=90°. 在Rt△ADE和Rt△BDE中，$\begin{cases} AD=BD, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△BDE
解析
【分析】
（1）作AB的垂直平分线时，依据尺规作垂直平分线的规范操作：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在AB两侧各有一个交点，过两个交点作直线，就是AB的垂直平分线DE，按要求保留作图痕迹即可。
（2）要证明$△ ADE ≌ △ BDE$，首先根据垂直平分线的性质，可得AD=BD，且DE垂直AB，即$∠ DEA=∠ DEB=90°$，两个三角形均为直角三角形，再结合公共边DE，即可用HL定理证明两个直角三角形全等。
【解析】
（1）尺规作图操作：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交AC于点D，交AB于点E，DE即为所求的AB边上的垂直平分线，保留作图痕迹即可。
（2）证明：
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，$∠ DEB=∠ DEA=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BDE$中，
$\begin{cases}AD=BD \\DE=DE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BDE$。
【答案】
（1）如图,DE即为所求
（2）证明：
∵ DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴ AD=BD，∠DEB=∠DEA=90°. 在Rt△ADE和Rt△BDE中，$\begin{cases} AD=BD, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△BDE
【知识点】
垂直平分线尺规作图；垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题分为作图和证明两部分，属于基础题型，既考查了尺规作图的动手操作能力，又考查了垂直平分线性质和全等判定的应用，能够帮助学生巩固基础几何操作与证明逻辑。
【难度系数】
0.85
（1）作AB的垂直平分线时，依据尺规作垂直平分线的规范操作：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在AB两侧各有一个交点，过两个交点作直线，就是AB的垂直平分线DE，按要求保留作图痕迹即可。
（2）要证明$△ ADE ≌ △ BDE$，首先根据垂直平分线的性质，可得AD=BD，且DE垂直AB，即$∠ DEA=∠ DEB=90°$，两个三角形均为直角三角形，再结合公共边DE，即可用HL定理证明两个直角三角形全等。
【解析】
（1）尺规作图操作：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交AC于点D，交AB于点E，DE即为所求的AB边上的垂直平分线，保留作图痕迹即可。
（2）证明：
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，$∠ DEB=∠ DEA=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BDE$中，
$\begin{cases}AD=BD \\DE=DE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BDE$。
【答案】
（1）如图,DE即为所求
（2）证明：
∵ DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴ AD=BD，∠DEB=∠DEA=90°. 在Rt△ADE和Rt△BDE中，$\begin{cases} AD=BD, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△BDE
【知识点】
垂直平分线尺规作图；垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题分为作图和证明两部分，属于基础题型，既考查了尺规作图的动手操作能力，又考查了垂直平分线性质和全等判定的应用，能够帮助学生巩固基础几何操作与证明逻辑。
【难度系数】
0.85
3 如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴。
（第3题）
（第3题）答案
3. 如图
解析
【分析】
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，据此我们可以按如下思路解题：首先在每组的两个图形中找到两对对应点，分别连接这两对对应点，再用尺规作出对应点连线段的垂直平分线，这条直线就是两个图形的对称轴。
【解析】
1. 左侧三角形组：
① 选取两组对应点：A与D、C与F，分别连接线段AD、CF；
② 用尺规作线段AD（或CF）的垂直平分线，这条垂直平分线就是该组图形的对称轴。
2. 右侧四边形组：
① 选取两组对应点：B与B'、D与D'，分别连接线段BB'、DD'；
② 用尺规作线段BB'（或DD'）的垂直平分线，这条垂直平分线就是该组图形的对称轴。
作图时需保留尺规作图的痕迹。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质；尺规作垂直平分线；对称轴的画法
【点评】
本题是基础作图题，解题的核心是理解成轴对称的两个图形的对称轴与对应点连线的关系，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法即可顺利解题，作图时要注意保留作图痕迹，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，据此我们可以按如下思路解题：首先在每组的两个图形中找到两对对应点，分别连接这两对对应点，再用尺规作出对应点连线段的垂直平分线，这条直线就是两个图形的对称轴。
【解析】
1. 左侧三角形组：
① 选取两组对应点：A与D、C与F，分别连接线段AD、CF；
② 用尺规作线段AD（或CF）的垂直平分线，这条垂直平分线就是该组图形的对称轴。
2. 右侧四边形组：
① 选取两组对应点：B与B'、D与D'，分别连接线段BB'、DD'；
② 用尺规作线段BB'（或DD'）的垂直平分线，这条垂直平分线就是该组图形的对称轴。
作图时需保留尺规作图的痕迹。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质；尺规作垂直平分线；对称轴的画法
【点评】
本题是基础作图题，解题的核心是理解成轴对称的两个图形的对称轴与对应点连线的关系，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法即可顺利解题，作图时要注意保留作图痕迹，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
4 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$M$是$AB$边上一定点,请用尺规作图法,在$BC$上求作一点$N$,使得$∠ BMN=∠ C$(不写作法,保留作图痕迹).
答案
4. 如图,点N即为所求
解析
【分析】
要在BC上找到点N满足∠BMN=∠C，可结合已学的尺规作图方法推导思路：我们学过“作一个角等于已知角”的基本尺规操作，可将∠C作为已知角，以点M为顶点、MB为角的一边，作一个大小等于∠C的角，该角的另一边与BC的交点就是所求的点N；也可结合直角三角形性质推导：因为△ABC中∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°，若∠BMN=∠C，则∠B+∠BMN=90°，即MN⊥BC，因此也可以通过过点M作BC的垂线得到点N。
【解析】
以“作一个角等于已知角”的方法为例，作图原理如下：
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交CA、CB于两个点；
2. 以点M为圆心，和步骤1相同的长度为半径画弧，交MB于一个点；
3. 以步骤2得到的交点为圆心，步骤1中CA、CB上两个交点的距离为半径画弧，和步骤2所画的弧交于一点，过点M和这个交点作射线，射线与BC的交点即为所求的点N。
【答案】
4. 如图,点N即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角，尺规基本作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，解题关键是将角相等的要求转化为已经掌握的基本作图操作，需要熟练掌握各类基本尺规作图的步骤、原理，能结合几何性质灵活转化作图需求。
【难度系数】
0.7
要在BC上找到点N满足∠BMN=∠C，可结合已学的尺规作图方法推导思路：我们学过“作一个角等于已知角”的基本尺规操作，可将∠C作为已知角，以点M为顶点、MB为角的一边，作一个大小等于∠C的角，该角的另一边与BC的交点就是所求的点N；也可结合直角三角形性质推导：因为△ABC中∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°，若∠BMN=∠C，则∠B+∠BMN=90°，即MN⊥BC，因此也可以通过过点M作BC的垂线得到点N。
【解析】
以“作一个角等于已知角”的方法为例，作图原理如下：
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交CA、CB于两个点；
2. 以点M为圆心，和步骤1相同的长度为半径画弧，交MB于一个点；
3. 以步骤2得到的交点为圆心，步骤1中CA、CB上两个交点的距离为半径画弧，和步骤2所画的弧交于一点，过点M和这个交点作射线，射线与BC的交点即为所求的点N。
【答案】
4. 如图,点N即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角，尺规基本作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，解题关键是将角相等的要求转化为已经掌握的基本作图操作，需要熟练掌握各类基本尺规作图的步骤、原理，能结合几何性质灵活转化作图需求。
【难度系数】
0.7
5 如图,在$△ ABC$中,以点A为圆心,AC的长为半径作弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若$AB=16$,$AC=10$,则$△ ADE$的周长为
26
.答案
5. 26
解析
【分析】
首先根据作图步骤推导关键结论：①以A为圆心、AC长为半径作弧交BC于D，可得AD=AC；②分别以B、D为圆心、大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧得到的直线MN是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EB=ED。再将△ADE的周长拆解为$AE+ED+AD$，通过等量代换把ED替换为EB、AD替换为AC，即可将周长转化为AB与AC的和，代入已知数值就能算出结果。
【解析】
解：由作图可知：
1. 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，因此$AD=AC=10$；
2. 分别以点B和点D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，两交点连线MN是线段BD的垂直平分线。
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，点E在MN上，因此$EB=ED$。
△ADE的周长为：
$C_{△ ADE}=AE+ED+AD$
将$ED=EB$、$AD=AC$代入上式，可得：
$C_{△ ADE}=AE+EB+AC=AB+AC$
代入$AB=16$、$AC=10$，得$C_{△ ADE}=16+10=26$。
【答案】
26
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图，等量代换
【点评】
本题解题核心是准确识别尺规作图的类型，灵活运用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知的三角形周长转化为已知线段的和即可求解，解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
首先根据作图步骤推导关键结论：①以A为圆心、AC长为半径作弧交BC于D，可得AD=AC；②分别以B、D为圆心、大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧得到的直线MN是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EB=ED。再将△ADE的周长拆解为$AE+ED+AD$，通过等量代换把ED替换为EB、AD替换为AC，即可将周长转化为AB与AC的和，代入已知数值就能算出结果。
【解析】
解：由作图可知：
1. 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，因此$AD=AC=10$；
2. 分别以点B和点D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，两交点连线MN是线段BD的垂直平分线。
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，点E在MN上，因此$EB=ED$。
△ADE的周长为：
$C_{△ ADE}=AE+ED+AD$
将$ED=EB$、$AD=AC$代入上式，可得：
$C_{△ ADE}=AE+EB+AC=AB+AC$
代入$AB=16$、$AC=10$，得$C_{△ ADE}=16+10=26$。
【答案】
26
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图，等量代换
【点评】
本题解题核心是准确识别尺规作图的类型，灵活运用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知的三角形周长转化为已知线段的和即可求解，解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
6 如图，依据尺规作图的痕迹，若$∠ ADE=64°$，$∠ BAC=50°$，则$∠ ACB$的度数为
66°
。答案
6. 66° 【解析】由作图痕迹可得 D 为 AB 的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点，
∴ DA = DB，∠ABD = ∠CBD。
∴ ∠DAB = ∠DBA。
∵ ∠ADE = ∠DAB + ∠DBA = 64°，
∴ ∠DAB = ∠DBA = 32°。
∴ ∠ABC = 2∠ABD = 64°。
∴ ∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−50°−64°=66°。
∴ DA = DB，∠ABD = ∠CBD。
∴ ∠DAB = ∠DBA。
∵ ∠ADE = ∠DAB + ∠DBA = 64°，
∴ ∠DAB = ∠DBA = 32°。
∴ ∠ABC = 2∠ABD = 64°。
∴ ∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−50°−64°=66°。
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的痕迹：一是线段AB的垂直平分线，二是∠ABC的角平分线，由此可得两个核心结论：①垂直平分线上的点D到A、B的距离相等，即DA=DB，等边对等角可得∠DAB=∠DBA；②BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD。接着∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合已知∠ADE=64°可算出∠ABD的度数，进而得到∠ABC的度数，最后利用三角形内角和为180°，减去已知的∠BAC和求出的∠ABC，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，点D是线段AB的垂直平分线与∠ABC的角平分线的交点，
∴ DA = DB，∠ABD = ∠CBD，
∴ ∠DAB = ∠DBA，
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠DAB + ∠DBA = 64°，
∴ ∠DAB = ∠DBA = 64°÷2 = 32°，
∴ ∠ABC = 2∠ABD = 2×32° = 64°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ACB = 180°−∠BAC−∠ABC = 180°−50°−64° = 66°。
【答案】
66°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图识别考查三角形角度计算，解题关键是准确判断作图类型对应得到几何性质，再结合外角、内角和相关定理逐步推导，侧重基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的痕迹：一是线段AB的垂直平分线，二是∠ABC的角平分线，由此可得两个核心结论：①垂直平分线上的点D到A、B的距离相等，即DA=DB，等边对等角可得∠DAB=∠DBA；②BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD。接着∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合已知∠ADE=64°可算出∠ABD的度数，进而得到∠ABC的度数，最后利用三角形内角和为180°，减去已知的∠BAC和求出的∠ABC，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，点D是线段AB的垂直平分线与∠ABC的角平分线的交点，
∴ DA = DB，∠ABD = ∠CBD，
∴ ∠DAB = ∠DBA，
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠DAB + ∠DBA = 64°，
∴ ∠DAB = ∠DBA = 64°÷2 = 32°，
∴ ∠ABC = 2∠ABD = 2×32° = 64°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ACB = 180°−∠BAC−∠ABC = 180°−50°−64° = 66°。
【答案】
66°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图识别考查三角形角度计算，解题关键是准确判断作图类型对应得到几何性质，再结合外角、内角和相关定理逐步推导，侧重基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7 如图，有两条国道相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C，D，现要在∠AOB内部修建一加油站P，使点P到OA，OB的距离相等，且PC=PD，请用尺规作出加油站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
7. 如图,点P即为所求
解析
【分析】
解题时先梳理题目的两个要求：①点P到OA、OB的距离相等；②PC=PD。针对要求①，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知满足条件的点在∠AOB的角平分线上；针对要求②，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知满足条件的点在线段CD的垂直平分线上。综上，同时满足两个条件的点是两条线的交点，因此只需分别作出∠AOB的角平分线、线段CD的垂直平分线，二者交点即为所求的点P。
【解析】
要得到满足条件的点P，需结合两个性质确定点的轨迹：
1. 到OA、OB距离相等的点的轨迹是∠AOB的角平分线，因此先作∠AOB的角平分线；
2. 到C、D两点距离相等的点的轨迹是线段CD的垂直平分线，因此再作线段CD的垂直平分线；
两条轨迹的交点同时满足两个要求，即为加油站P的位置，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点P即为所求
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，核心是将题目中的距离条件转化为对应的几何轨迹，找到两个轨迹的公共交点即可解题，掌握基本作图的方法和对应的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题目的两个要求：①点P到OA、OB的距离相等；②PC=PD。针对要求①，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知满足条件的点在∠AOB的角平分线上；针对要求②，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知满足条件的点在线段CD的垂直平分线上。综上，同时满足两个条件的点是两条线的交点，因此只需分别作出∠AOB的角平分线、线段CD的垂直平分线，二者交点即为所求的点P。
【解析】
要得到满足条件的点P，需结合两个性质确定点的轨迹：
1. 到OA、OB距离相等的点的轨迹是∠AOB的角平分线，因此先作∠AOB的角平分线；
2. 到C、D两点距离相等的点的轨迹是线段CD的垂直平分线，因此再作线段CD的垂直平分线；
两条轨迹的交点同时满足两个要求，即为加油站P的位置，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点P即为所求
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，核心是将题目中的距离条件转化为对应的几何轨迹，找到两个轨迹的公共交点即可解题，掌握基本作图的方法和对应的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
8 如图,在$△ ABC$中,AD 平分$∠ BAC$.
(1) 尺规作图:作线段 AD 的垂直平分线 EF,垂足为 O,分别交 AB,AC 于点 E,F.连接 DF(不写作法,保留作图痕迹).
(2) 在(1)的条件下,猜想线段 DF 与 AE 的关系,并说明理由.
(1) 尺规作图:作线段 AD 的垂直平分线 EF,垂足为 O,分别交 AB,AC 于点 E,F.连接 DF(不写作法,保留作图痕迹).
(2) 在(1)的条件下,猜想线段 DF 与 AE 的关系,并说明理由.
答案
8. （1）如图
（2）线段 DF 与 AE 平行且相等 理由：
∵ 直线EF为线段AD的垂直平分线，
∴ OA = OD，AF = DF。
∴ ∠DAF = ∠ADF。
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠FAD。
∴ ∠BAD = ∠ADF。
∴ AE // DF。在△AOE 和△DOF 中，
$\begin{cases} ∠EAO=∠FDO, \\ OA=OD, \\ ∠AOE=∠DOF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△DOF。
∴ AE = DF。
∴ 线段DF与AE平行且相等。
解析
【分析】
（1）第一问是尺规作线段的垂直平分线，按照固定操作步骤即可完成：分别以A、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}AD$的长度为半径画弧，两弧在AD两侧各交于一点，过这两个交点作直线，就是AD的垂直平分线EF，按要求保留作图痕迹、连接DF即可。
（2）第二问探究DF和AE的关系，需同时考虑位置关系和数量关系：首先结合已知的垂直平分线性质，得到边相等、对应角相等，再结合角平分线的定义，通过等量代换得到内错角相等，先推出两线平行；再观察待证线段所在的三角形，利用角边角证明三角形全等，即可得到两条线段数量相等，最终得出二者的关系。
【解析】
（1）按照尺规作垂直平分线的方法作图，保留作图痕迹，结果如图所示。
（2）猜想：DF与AE平行且相等，证明如下：
∵ 直线EF为线段AD的垂直平分线，
∴ $OA = OD$，$AF = DF$，
∴ $∠DAF = ∠ADF$，
∵ AD平分$∠BAC$，
∴ $∠BAD = ∠FAD$，
∴ $∠BAD = ∠ADF$，
∴ $AE // DF$。
在$△ AOE$和$△ DOF$中：
$\begin{cases} ∠EAO=∠FDO, \\ OA=OD, \\ ∠AOE=∠DOF, \end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ DOF$（ASA），
∴ $AE = DF$。
综上，DF与AE平行且相等。
【答案】
（1）如图
（2）线段 DF 与 AE 平行且相等 理由：
∵ 直线EF为线段AD的垂直平分线，
∴ OA = OD，AF = DF。
∴ ∠DAF = ∠ADF。
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠FAD。
∴ ∠BAD = ∠ADF。
∴ AE // DF。在△AOE 和△DOF 中，
$\begin{cases} ∠EAO=∠FDO, \\ OA=OD, \\ ∠AOE=∠DOF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△DOF。
∴ AE = DF。
∴ 线段DF与AE平行且相等。
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 垂直平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和几何证明结合考查，既检验了基本作图的操作能力，又考查了对垂直平分线、角平分线、全等三角形等核心几何知识的综合运用能力，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是尺规作线段的垂直平分线，按照固定操作步骤即可完成：分别以A、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}AD$的长度为半径画弧，两弧在AD两侧各交于一点，过这两个交点作直线，就是AD的垂直平分线EF，按要求保留作图痕迹、连接DF即可。
（2）第二问探究DF和AE的关系，需同时考虑位置关系和数量关系：首先结合已知的垂直平分线性质，得到边相等、对应角相等，再结合角平分线的定义，通过等量代换得到内错角相等，先推出两线平行；再观察待证线段所在的三角形，利用角边角证明三角形全等，即可得到两条线段数量相等，最终得出二者的关系。
【解析】
（1）按照尺规作垂直平分线的方法作图，保留作图痕迹，结果如图所示。
（2）猜想：DF与AE平行且相等，证明如下：
∵ 直线EF为线段AD的垂直平分线，
∴ $OA = OD$，$AF = DF$，
∴ $∠DAF = ∠ADF$，
∵ AD平分$∠BAC$，
∴ $∠BAD = ∠FAD$，
∴ $∠BAD = ∠ADF$，
∴ $AE // DF$。
在$△ AOE$和$△ DOF$中：
$\begin{cases} ∠EAO=∠FDO, \\ OA=OD, \\ ∠AOE=∠DOF, \end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ DOF$（ASA），
∴ $AE = DF$。
综上，DF与AE平行且相等。
【答案】
（1）如图
（2）线段 DF 与 AE 平行且相等 理由：
∵ 直线EF为线段AD的垂直平分线，
∴ OA = OD，AF = DF。
∴ ∠DAF = ∠ADF。
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠FAD。
∴ ∠BAD = ∠ADF。
∴ AE // DF。在△AOE 和△DOF 中，
$\begin{cases} ∠EAO=∠FDO, \\ OA=OD, \\ ∠AOE=∠DOF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△DOF。
∴ AE = DF。
∴ 线段DF与AE平行且相等。
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 垂直平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和几何证明结合考查，既检验了基本作图的操作能力，又考查了对垂直平分线、角平分线、全等三角形等核心几何知识的综合运用能力，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
