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1 [2025安庆宿松期中]如图所示为一个长为20 m、宽为16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（
A.1
B.1.5
C.2
D.4
C
）A.1
B.1.5
C.2
D.4
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先先表示出修改后花园的长和宽，再根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数表达式，最后利用二次函数的最值性质求出对应x的值即可，注意要验证x的取值符合实际意义（长、宽均为正数）。
【解析】
设修改后的花园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意得，修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中x的取值范围为$0＜x＜20$（保证长、宽均为正）。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2 +4x +320\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图像开口向下，在顶点处取得最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
验证：$x=2$在$0＜x＜20$范围内，符合实际意义，因此当$x=2$时，修改后的花园面积最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决面积最值的典型基础题，解题的核心是准确根据题意列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，解题过程中要注意自变量的取值需符合实际情景。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先先表示出修改后花园的长和宽，再根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数表达式，最后利用二次函数的最值性质求出对应x的值即可，注意要验证x的取值符合实际意义（长、宽均为正数）。
【解析】
设修改后的花园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意得，修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中x的取值范围为$0＜x＜20$（保证长、宽均为正）。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2 +4x +320\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图像开口向下，在顶点处取得最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
验证：$x=2$在$0＜x＜20$范围内，符合实际意义，因此当$x=2$时，修改后的花园面积最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决面积最值的典型基础题，解题的核心是准确根据题意列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，解题过程中要注意自变量的取值需符合实际情景。
【难度系数】
0.75
2 教材变式题 用总长为$a$ m的材料做成如图①所示的矩形窗框，设窗框的宽为$x$ m，窗框的面积为$y$ m²，$y$关于$x$的函数图象如图②所示，则$a$的值是
6
。答案
2. 6
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图象中提取关键信息：图象顶点为(1,1.5)，说明当窗框宽x=1m时，窗框面积取得最大值1.5m²。先根据矩形面积公式求出此时窗框的竖直边长，再结合窗框的结构（3条水平边、2条竖直边），将对应边长代入总长公式即可求出a的值。
【解析】
解：由图②可知，当窗框宽$x=1\ \mathrm{m}$时，窗框的面积最大，为$y=1.5\ \mathrm{m}^2$。
根据矩形面积公式，此时窗框的竖直边长为：$\frac{1.5}{1}=1.5\ \mathrm{m}$。
观察图①的窗框结构，总长$a$包含3条长度为$x$的水平边和2条长度为竖直边长的竖直边，代入数值计算：
$a=3×1 + 2×1.5=3+3=6\ (\mathrm{m})$
【答案】
6
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；矩形面积计算
【点评】
本题将二次函数的图象性质和实际几何面积问题结合，解题的核心是准确从函数图象中获取最值对应的自变量和函数值，再结合窗框的结构计算总材料长度，考查学生的读图能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数图象中提取关键信息：图象顶点为(1,1.5)，说明当窗框宽x=1m时，窗框面积取得最大值1.5m²。先根据矩形面积公式求出此时窗框的竖直边长，再结合窗框的结构（3条水平边、2条竖直边），将对应边长代入总长公式即可求出a的值。
【解析】
解：由图②可知，当窗框宽$x=1\ \mathrm{m}$时，窗框的面积最大，为$y=1.5\ \mathrm{m}^2$。
根据矩形面积公式，此时窗框的竖直边长为：$\frac{1.5}{1}=1.5\ \mathrm{m}$。
观察图①的窗框结构，总长$a$包含3条长度为$x$的水平边和2条长度为竖直边长的竖直边，代入数值计算：
$a=3×1 + 2×1.5=3+3=6\ (\mathrm{m})$
【答案】
6
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；矩形面积计算
【点评】
本题将二次函数的图象性质和实际几何面积问题结合，解题的核心是准确从函数图象中获取最值对应的自变量和函数值，再结合窗框的结构计算总材料长度，考查学生的读图能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3 [2024湖北]如图，某学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42米，篱笆长80米.设垂直于墙的边AB的长为x米，平行于墙的边BC的长为y米，围成的矩形花圃面积为S平方米.
（1）求y与x，S与x之间的函数表达式.
（2）围成的矩形花圃面积能否为750平方米？若能，请求出x的值.
（3）围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，请求出这个最大面积，并求出此时x的值.
（1）求y与x，S与x之间的函数表达式.
（2）围成的矩形花圃面积能否为750平方米？若能，请求出x的值.
（3）围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，请求出这个最大面积，并求出此时x的值.
答案
3. (1) 由题意,得 2x+y=80.
∴ y=-2x+80.
∵ 0＜-2x+80≤42,且x＞0,
∴ 19≤x＜40.
∴ y=-2x+80(19≤x＜40).
∵ S=AB·BC=x(-2x+80),
∴ S=-2x²+80x(19≤x＜40).
(2) 能 令S=-2x²+80x=750.
∴ x=15(不合题意,舍去)或x=25.
∴ 当x=25时,围成的矩形花圃面积为750平方米
(3) 存在 由(1)可知,S=-2x²+80x=-2(x-20)²+800.
∵ -2＜0,且19≤x＜40,
∴ 当x=20时,S取得最大值800.
∴ 围成的矩形花圃存在最大面积,最大面积为800平方米,此时x的值为20
∴ y=-2x+80.
∵ 0＜-2x+80≤42,且x＞0,
∴ 19≤x＜40.
∴ y=-2x+80(19≤x＜40).
∵ S=AB·BC=x(-2x+80),
∴ S=-2x²+80x(19≤x＜40).
(2) 能 令S=-2x²+80x=750.
∴ x=15(不合题意,舍去)或x=25.
∴ 当x=25时,围成的矩形花圃面积为750平方米
(3) 存在 由(1)可知,S=-2x²+80x=-2(x-20)²+800.
∵ -2＜0,且19≤x＜40,
∴ 当x=20时,S取得最大值800.
∴ 围成的矩形花圃存在最大面积,最大面积为800平方米,此时x的值为20
解析
【分析】
（1）首先根据篱笆总长度的构成：2段垂直于墙的边长加1段平行于墙的边长等于篱笆总长80米，列出等式整理得到y与x的函数关系；再结合墙长限制（平行于墙的边长不超过42米）和边长为正的要求，求出x的取值范围；最后根据矩形面积公式代入y的表达式，即可得到S与x的函数表达式。
（2）要判断面积能否为750平方米，只需令S=750得到关于x的一元二次方程，求解后验证解是否在x的取值范围内，若存在符合要求的解则可以达到该面积。
（3）求最大面积时，先将二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，即可确定取最大值时x的取值，进而求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意可知篱笆总长为80米，因此$2x+y=80$，整理得：
$y=-2x+80$
结合实际限制：平行于墙的边长不能超过墙长，且边长为正，因此有$\begin{cases}0＜y≤42 \\ x＞0\end{cases}$，代入$y=-2x+80$解得$19≤ x＜40$
故y与x的函数表达式为：$y=-2x+80(19≤ x＜40)$
根据矩形面积公式$S=AB· BC=xy$，代入y的表达式得：
$S=x(-2x+80)=-2x^2+80x$
故S与x的函数表达式为：$S=-2x^2+80x(19≤ x＜40)$
(2) 能，求解过程如下：
令$S=750$，可得方程$-2x^2+80x=750$
整理得$x^2-40x+375=0$，因式分解得$(x-15)(x-25)=0$，解得$x_1=15$，$x_2=25$
结合x的取值范围$19≤ x＜40$，$x=15$不符合要求舍去，因此$x=25$符合条件。
(3) 存在，求解过程如下：
将S的解析式配方得：
$S=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$
由于二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=20$在取值范围$19≤ x＜40$内
因此当$x=20$时，S取得最大值，最大值为800平方米。
【答案】
(1) $y=-2x+80(19≤ x＜40)$；$S=-2x^2+80x(19≤ x＜40)$
(2) 能，x的值为25
(3) 存在最大面积，最大面积为800平方米，此时x的值为20
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值
【点评】
本题以实际生活中的花圃修建为场景，考查二次函数在面积问题中的应用，解题的关键是结合实际条件确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，属于二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据篱笆总长度的构成：2段垂直于墙的边长加1段平行于墙的边长等于篱笆总长80米，列出等式整理得到y与x的函数关系；再结合墙长限制（平行于墙的边长不超过42米）和边长为正的要求，求出x的取值范围；最后根据矩形面积公式代入y的表达式，即可得到S与x的函数表达式。
（2）要判断面积能否为750平方米，只需令S=750得到关于x的一元二次方程，求解后验证解是否在x的取值范围内，若存在符合要求的解则可以达到该面积。
（3）求最大面积时，先将二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，即可确定取最大值时x的取值，进而求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意可知篱笆总长为80米，因此$2x+y=80$，整理得：
$y=-2x+80$
结合实际限制：平行于墙的边长不能超过墙长，且边长为正，因此有$\begin{cases}0＜y≤42 \\ x＞0\end{cases}$，代入$y=-2x+80$解得$19≤ x＜40$
故y与x的函数表达式为：$y=-2x+80(19≤ x＜40)$
根据矩形面积公式$S=AB· BC=xy$，代入y的表达式得：
$S=x(-2x+80)=-2x^2+80x$
故S与x的函数表达式为：$S=-2x^2+80x(19≤ x＜40)$
(2) 能，求解过程如下：
令$S=750$，可得方程$-2x^2+80x=750$
整理得$x^2-40x+375=0$，因式分解得$(x-15)(x-25)=0$，解得$x_1=15$，$x_2=25$
结合x的取值范围$19≤ x＜40$，$x=15$不符合要求舍去，因此$x=25$符合条件。
(3) 存在，求解过程如下：
将S的解析式配方得：
$S=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$
由于二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=20$在取值范围$19≤ x＜40$内
因此当$x=20$时，S取得最大值，最大值为800平方米。
【答案】
(1) $y=-2x+80(19≤ x＜40)$；$S=-2x^2+80x(19≤ x＜40)$
(2) 能，x的值为25
(3) 存在最大面积，最大面积为800平方米，此时x的值为20
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值
【点评】
本题以实际生活中的花圃修建为场景，考查二次函数在面积问题中的应用，解题的关键是结合实际条件确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，属于二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4 如图，$△ ABC$ 是一块锐角三角形材料，边 $BC=6\ \mathrm{cm}$，高 $AD=4\ \mathrm{cm}$，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边 $GH$ 在边 $BC$ 上，其余两个顶点 $E,F$ 分别在边 $AB,AC$ 上。若要使矩形 $EGHF$ 的面积最大，则 $EG$ 的长应为
2
$\mathrm{cm}$。答案
4. 2
解析
【分析】
要解决矩形面积最大时EG的长度问题，首先观察图形特征：矩形的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似；我们可以设EG的长为未知数，结合相似三角形的性质表示出矩形另一边EF的长度，再根据矩形面积公式得到面积关于未知数的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
设$EG=x\ \mathrm{cm}$，矩形$EGHF$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 四边形$EGHF$是矩形，$AD⊥ BC$，
∴ $EF// BC$，$MD=EG=x$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$，且$AM$是$△ AEF$的高，$AM=AD-MD=4-x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AM}{AD}$
代入$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AD=4\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{EF}{6}=\frac{4-x}{4}$
解得：$EF=\frac{3(4-x)}{2}=\frac{12-3x}{2}$
矩形面积$S=EG· EF=x· \frac{12-3x}{2}=-\frac{3}{2}x^2+6x$
这是开口向下的二次函数，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2$时，$S$取得最大值。
即当矩形面积最大时，$EG$的长为$2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何最值类常规题，解题核心是先通过相似三角形建立矩形邻边的数量关系，再构造面积的二次函数模型，利用二次函数性质求最值，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要解决矩形面积最大时EG的长度问题，首先观察图形特征：矩形的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似；我们可以设EG的长为未知数，结合相似三角形的性质表示出矩形另一边EF的长度，再根据矩形面积公式得到面积关于未知数的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
设$EG=x\ \mathrm{cm}$，矩形$EGHF$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 四边形$EGHF$是矩形，$AD⊥ BC$，
∴ $EF// BC$，$MD=EG=x$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$，且$AM$是$△ AEF$的高，$AM=AD-MD=4-x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AM}{AD}$
代入$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AD=4\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{EF}{6}=\frac{4-x}{4}$
解得：$EF=\frac{3(4-x)}{2}=\frac{12-3x}{2}$
矩形面积$S=EG· EF=x· \frac{12-3x}{2}=-\frac{3}{2}x^2+6x$
这是开口向下的二次函数，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2$时，$S$取得最大值。
即当矩形面积最大时，$EG$的长为$2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何最值类常规题，解题核心是先通过相似三角形建立矩形邻边的数量关系，再构造面积的二次函数模型，利用二次函数性质求最值，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
5 新考向 探究题 如图,在平面直角坐标系中,
$OA=12\ \mathrm{cm},OB=6\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$O$开始沿$OA$向点$A$移动,点$Q$从点$B$开始沿$BO$向点$O$移动,点$P,Q$的移动速度都是$1\ \mathrm{cm/s}$,点$P,Q$同时出发,移动的时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤6)$.
(1)设$△ POQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,求$y$与$t$之间的函数表达式;
(2)当$t$为何值时,$△ POQ$的面积最大,最大是多少?
$OA=12\ \mathrm{cm},OB=6\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$O$开始沿$OA$向点$A$移动,点$Q$从点$B$开始沿$BO$向点$O$移动,点$P,Q$的移动速度都是$1\ \mathrm{cm/s}$,点$P,Q$同时出发,移动的时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤6)$.
(1)设$△ POQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,求$y$与$t$之间的函数表达式;
(2)当$t$为何值时,$△ POQ$的面积最大,最大是多少?
答案
5. (1) 由题意,得 BQ=1×t = t (cm),OP=1×t = t (cm).
∴ OQ=(6-t)cm.
∴ y=1/2 t(6-t)=-1/2 t²+3t (0≤t≤6)
(2)
∵ y=-1/2 t²+3t = -1/2 (t-3)² + 9/2 (0≤t≤6),
∴ 当t=3时,y有最大值为9/2.
∴ 当t=3时,△POQ的面积最大,最大是9/2 cm²
∴ OQ=(6-t)cm.
∴ y=1/2 t(6-t)=-1/2 t²+3t (0≤t≤6)
(2)
∵ y=-1/2 t²+3t = -1/2 (t-3)² + 9/2 (0≤t≤6),
∴ 当t=3时,y有最大值为9/2.
∴ 当t=3时,△POQ的面积最大,最大是9/2 cm²
解析
【分析】
（1）解决第一问首先根据点的移动速度和时间，表示出$△ POQ$两条直角边的长度：点P、Q速度均为$1\ \mathrm{cm/s}$，移动时间为$t\ \mathrm{s}$，因此$OP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，再结合$OB=6\ \mathrm{cm}$可得$OQ=OB-BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$；因为$△ POQ$是直角三角形，直角在原点O，利用直角三角形面积公式（面积=$\frac{1}{2}$×两条直角边的乘积），代入两条直角边的表达式即可得到$y$与$t$的函数关系式，同时需注意$t$的取值范围为$0≤ t≤6$。
（2）解决第二问需要将第一问得到的二次函数解析式配方为顶点式，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点位置函数值最大，且顶点横坐标在$t$的取值范围内，代入即可求得最大面积。
【解析】
(1) 由题意，点P、Q的移动速度均为$1\ \mathrm{cm/s}$，移动时间为$t\ \mathrm{s}$，
$\therefore BQ=1× t=t\ \mathrm{cm}$，$OP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，
$\because OB=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OQ=OB-BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$，
又$\because ∠ POQ=90°$，
$\therefore △ POQ$的面积$y=\frac{1}{2}· OP· OQ=\frac{1}{2}t(6-t)$，
整理得$y=-\frac{1}{2}t^2+3t\quad(0≤ t≤6)$。
(2) 将二次函数配方：
$y=-\frac{1}{2}t^2+3t=-\frac{1}{2}(t^2-6t)=-\frac{1}{2}(t^2-6t+9-9)=-\frac{1}{2}(t-3)^2+\frac{9}{2}$，
$\because$二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且$t=3$在$0≤ t≤6$的范围内，
$\therefore$当$t=3$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}t^2+3t\quad(0≤ t≤6)}$
(2) 当$\boldsymbol{t=3}$时，$△ POQ$的面积最大，最大是$\boldsymbol{\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
二次函数的应用；动点面积计算；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，结合动点情境考查了线段长度表示、三角形面积公式、二次函数配方求最值的方法，解题时需注意自变量的取值范围，避免所求最值不符合实际情境。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先根据点的移动速度和时间，表示出$△ POQ$两条直角边的长度：点P、Q速度均为$1\ \mathrm{cm/s}$，移动时间为$t\ \mathrm{s}$，因此$OP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，再结合$OB=6\ \mathrm{cm}$可得$OQ=OB-BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$；因为$△ POQ$是直角三角形，直角在原点O，利用直角三角形面积公式（面积=$\frac{1}{2}$×两条直角边的乘积），代入两条直角边的表达式即可得到$y$与$t$的函数关系式，同时需注意$t$的取值范围为$0≤ t≤6$。
（2）解决第二问需要将第一问得到的二次函数解析式配方为顶点式，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点位置函数值最大，且顶点横坐标在$t$的取值范围内，代入即可求得最大面积。
【解析】
(1) 由题意，点P、Q的移动速度均为$1\ \mathrm{cm/s}$，移动时间为$t\ \mathrm{s}$，
$\therefore BQ=1× t=t\ \mathrm{cm}$，$OP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，
$\because OB=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OQ=OB-BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$，
又$\because ∠ POQ=90°$，
$\therefore △ POQ$的面积$y=\frac{1}{2}· OP· OQ=\frac{1}{2}t(6-t)$，
整理得$y=-\frac{1}{2}t^2+3t\quad(0≤ t≤6)$。
(2) 将二次函数配方：
$y=-\frac{1}{2}t^2+3t=-\frac{1}{2}(t^2-6t)=-\frac{1}{2}(t^2-6t+9-9)=-\frac{1}{2}(t-3)^2+\frac{9}{2}$，
$\because$二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且$t=3$在$0≤ t≤6$的范围内，
$\therefore$当$t=3$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}t^2+3t\quad(0≤ t≤6)}$
(2) 当$\boldsymbol{t=3}$时，$△ POQ$的面积最大，最大是$\boldsymbol{\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
二次函数的应用；动点面积计算；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，结合动点情境考查了线段长度表示、三角形面积公式、二次函数配方求最值的方法，解题时需注意自变量的取值范围，避免所求最值不符合实际情境。
【难度系数】
0.7
