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7. 如图1，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，图2是其示意图，调节杆$BC = \sqrt{2}a$，$AB = b$，$AB$的最大仰角为$α$. 当$∠ C = 45°$时，点$A$到桌面的最大高度是（
A.$a + \dfrac{b}{\cosα}$
B.$a + \dfrac{b}{\sinα}$
C.$a + b\cosα$
D.$a + b\sinα$
D
）A.$a + \dfrac{b}{\cosα}$
B.$a + \dfrac{b}{\sinα}$
C.$a + b\cosα$
D.$a + b\sinα$
答案
7 D 如图,过点 A 作 $AF⊥BE$ 于点 F,过点 B 作 $BG⊥CD$ 于点 G. 在Rt△ABF 中, $AF = AB × \sinα = b\sinα$. 在Rt△BCG 中, $BG = BC × \sin 45° = \sqrt{2}a × \dfrac{\sqrt{2}}{2} = a$,
∴ 点 A 到桌面的最大高度为 $BG + AF = a + b\sinα$.
解析
【分析】
要求点A到桌面的最大高度，可将该高度拆分为两部分：点B到桌面CD的高度，以及点A到过点B的水平线BE的高度。首先通过作垂线构造直角三角形，再分别在两个直角三角形中利用锐角三角函数求出这两个高度，相加即可得到最终结果。
【解析】
解：过点A作$AF⊥BE$于点F，过点B作$BG⊥CD$于点G。
1. 在$Rt△ ABF$中，$∠ ABF=α$，斜边$AB=b$，根据正弦函数的定义：
$\sinα=\frac{AF}{AB}$，因此$AF=AB·\sinα = b\sinα$。
2. 在$Rt△ BCG$中，$∠ C=45°$，斜边$BC=\sqrt{2}a$，根据正弦函数的定义：
$\sin45°=\frac{BG}{BC}$，因此$BG=BC·\sin45°=\sqrt{2}a×\frac{\sqrt{2}}{2}=a$。
由于BE和CD均为水平线，点A到桌面CD的最大高度为$BG+AF=a + b\sinα$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用，正弦函数的定义，构造直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是合理添加辅助线，将未知的总高度转化为两个直角三角形中可求的边长之和，再利用锐角三角函数计算即可，解题时要注意找准直角三角形中角和边的对应关系。
【难度系数】
0.7
要求点A到桌面的最大高度，可将该高度拆分为两部分：点B到桌面CD的高度，以及点A到过点B的水平线BE的高度。首先通过作垂线构造直角三角形，再分别在两个直角三角形中利用锐角三角函数求出这两个高度，相加即可得到最终结果。
【解析】
解：过点A作$AF⊥BE$于点F，过点B作$BG⊥CD$于点G。
1. 在$Rt△ ABF$中，$∠ ABF=α$，斜边$AB=b$，根据正弦函数的定义：
$\sinα=\frac{AF}{AB}$，因此$AF=AB·\sinα = b\sinα$。
2. 在$Rt△ BCG$中，$∠ C=45°$，斜边$BC=\sqrt{2}a$，根据正弦函数的定义：
$\sin45°=\frac{BG}{BC}$，因此$BG=BC·\sin45°=\sqrt{2}a×\frac{\sqrt{2}}{2}=a$。
由于BE和CD均为水平线，点A到桌面CD的最大高度为$BG+AF=a + b\sinα$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用，正弦函数的定义，构造直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是合理添加辅助线，将未知的总高度转化为两个直角三角形中可求的边长之和，再利用锐角三角函数计算即可，解题时要注意找准直角三角形中角和边的对应关系。
【难度系数】
0.7
8. [2025泸州中考]如图,在水平地面上有两座建筑物AD,BC,其中$BC=18$ m.从A,B之间的E点(A,E,B在同一水平线上)测得D点,C点的仰角分别为$75°$和$30°$,从C点测得D点的仰角为$30°$.
(1)求$∠ CDE$的度数;
(2)求建筑物AD的高度.(计算过程和结果中的数据不取近似值)
(1)求$∠ CDE$的度数;
(2)求建筑物AD的高度.(计算过程和结果中的数据不取近似值)
答案
8 解:(1)如图,过点 C 作 $CF⊥AD$ 于点 F.
根据题意可得 $CF// AB$,
∴ $∠FCE = ∠CEB = 30°$.
∵ $∠DCF = 30°$,
∴ $∠DCE = ∠DCF + ∠FCE = 60°$.
∵ $∠AED = 75°$,
∴ $∠DEC = 180° - ∠AED - ∠CEB = 75°$,
∴ $∠CDE = 180° - ∠DEC - ∠DCE = 45°$.
(2)如图,过点 E 作 $EG⊥CD$ 于点 G.
根据题意可得 $AF = BC = 18$ m.
在Rt△EBC 中, $BC = 18$ m, $∠CEB = 30°$,
∴ $CE = 2BC = 2 × 18 = 36(\mathrm{m})$.
在Rt△CEG 中, $∠ECD = 60°$,
∴ $CG = CE × \cos 60° = 36 × \dfrac{1}{2} = 18(\mathrm{m})$, $EG = CE × \sin 60° = 36 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$.
在Rt△DEG 中, $∠EDG = 45°$,
∴ $DG = EG = 18\sqrt{3}$ m,
∴ $CD = CG + DG = (18 + 18\sqrt{3})\mathrm{m}$.
在Rt△DFC 中, $∠DCF = 30°$,
∴ $DF = \dfrac{1}{2}CD = (9 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$,
∴ $AD = AF + DF = 18 + (9 + 9\sqrt{3}) = (27 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$.
答:建筑物 AD 的高度为 $(27 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 求∠CDE的度数时，先作辅助线$CF⊥AD$，利用平行线的内错角相等求出∠FCE，结合已知的∠DCF得到∠DCE的度数，再根据平角的定义求出∠DEC的度数，最后用三角形内角和定理即可算出∠CDE。
(2) 求AD的高度时，AD可拆分为AF和DF两段，AF等于已知的BC长度，因此只需计算DF。先在$Rt△EBC$中利用30°角的性质求出CE的长度，再作$EG⊥CD$，分别在$Rt△CEG$和$Rt△DEG$中利用特殊角的三角函数值求出CG、DG的长度，得到CD的总长，最后在$Rt△DFC$中利用30°角对的直角边等于斜边的一半求出DF，将AF与DF相加即可得到AD的高度。
【解析】
(1) 过点C作$CF⊥AD$于点F。
根据题意可得$CF// AB$，
∴ $∠FCE = ∠CEB = 30°$。
∵ $∠DCF = 30°$，
∴ $∠DCE = ∠DCF + ∠FCE = 30°+30°=60°$。
∵ $∠AED = 75°$，
∴ $∠DEC = 180° - ∠AED - ∠CEB = 180°-75°-30°=75°$，
∴ $∠CDE = 180° - ∠DEC - ∠DCE = 180°-75°-60°=45°$。
(2) 过点E作$EG⊥CD$于点G。
根据题意可得$AF = BC = 18$ m。
在$Rt△EBC$中，$BC = 18$ m，$∠CEB = 30°$，
∴ $CE = 2BC = 2 × 18 = 36(\mathrm{m})$。
在$Rt△CEG$中，$∠ECD = 60°$，
∴ $CG = CE × \cos 60° = 36 × \dfrac{1}{2} = 18(\mathrm{m})$，$EG = CE × \sin 60° = 36 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
在$Rt△DEG$中，$∠EDG = 45°$，
∴ $DG = EG = 18\sqrt{3}$ m，
∴ $CD = CG + DG = (18 + 18\sqrt{3})\mathrm{m}$。
在$Rt△DFC$中，$∠DCF = 30°$，
∴ $DF = \dfrac{1}{2}CD = (9 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$，
∴ $AD = AF + DF = 18 + (9 + 9\sqrt{3}) = (27 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠CDE=45°$；
(2) 建筑物AD的高度为$(27 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是仰角类解直角三角形的典型题，需要合理构造辅助线将不规则图形转化为直角三角形求解，既考查了辅助线的构造能力，也考查了特殊角三角函数值的应用和计算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠CDE的度数时，先作辅助线$CF⊥AD$，利用平行线的内错角相等求出∠FCE，结合已知的∠DCF得到∠DCE的度数，再根据平角的定义求出∠DEC的度数，最后用三角形内角和定理即可算出∠CDE。
(2) 求AD的高度时，AD可拆分为AF和DF两段，AF等于已知的BC长度，因此只需计算DF。先在$Rt△EBC$中利用30°角的性质求出CE的长度，再作$EG⊥CD$，分别在$Rt△CEG$和$Rt△DEG$中利用特殊角的三角函数值求出CG、DG的长度，得到CD的总长，最后在$Rt△DFC$中利用30°角对的直角边等于斜边的一半求出DF，将AF与DF相加即可得到AD的高度。
【解析】
(1) 过点C作$CF⊥AD$于点F。
根据题意可得$CF// AB$，
∴ $∠FCE = ∠CEB = 30°$。
∵ $∠DCF = 30°$，
∴ $∠DCE = ∠DCF + ∠FCE = 30°+30°=60°$。
∵ $∠AED = 75°$，
∴ $∠DEC = 180° - ∠AED - ∠CEB = 180°-75°-30°=75°$，
∴ $∠CDE = 180° - ∠DEC - ∠DCE = 180°-75°-60°=45°$。
(2) 过点E作$EG⊥CD$于点G。
根据题意可得$AF = BC = 18$ m。
在$Rt△EBC$中，$BC = 18$ m，$∠CEB = 30°$，
∴ $CE = 2BC = 2 × 18 = 36(\mathrm{m})$。
在$Rt△CEG$中，$∠ECD = 60°$，
∴ $CG = CE × \cos 60° = 36 × \dfrac{1}{2} = 18(\mathrm{m})$，$EG = CE × \sin 60° = 36 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
在$Rt△DEG$中，$∠EDG = 45°$，
∴ $DG = EG = 18\sqrt{3}$ m，
∴ $CD = CG + DG = (18 + 18\sqrt{3})\mathrm{m}$。
在$Rt△DFC$中，$∠DCF = 30°$，
∴ $DF = \dfrac{1}{2}CD = (9 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$，
∴ $AD = AF + DF = 18 + (9 + 9\sqrt{3}) = (27 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠CDE=45°$；
(2) 建筑物AD的高度为$(27 + 9\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是仰角类解直角三角形的典型题，需要合理构造辅助线将不规则图形转化为直角三角形求解，既考查了辅助线的构造能力，也考查了特殊角三角函数值的应用和计算能力。
【难度系数】
0.6
9. 应用意识 [2025 淄博中考] 如图,某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山.为了测得大厦的高度,小伟首先登至小山的最高处E,测得B,D处的俯角分别为$68.5°$,$27.7°$;然后操控无人机铅直起飞至比E处高20 m的F处,再次测得这两处的俯角分别为$70.8°$,$33.3°$.已知点A,B,C,D,E,F均在同一平面内,AC为水平地面,$AB=12$ m.请求出大厦CD的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据见下表)
答案
9 解:如图,延长 AB 分别交过点 E,F 的水平线于点 G,H,延长 CD 分别交过点 E,F 的水平线于点 M,N.
在Rt△EGB 中, $\tan∠GEB = \dfrac{GB}{GE}$,
∴ $GE = \dfrac{GB}{\tan 68.5°}$.
在Rt△FHB 中, $\tan∠HFB = \dfrac{HB}{HF}$,
∴ $HF = \dfrac{HB}{\tan 70.8°}$.
∵ $GE = HF$,
∴ $\dfrac{GB}{\tan 68.5°} = \dfrac{HB}{\tan 70.8°}$,
∴ $\dfrac{GB}{2.54} = \dfrac{GB + 20}{2.87}$,
∴ $GB\approx153.94$ m,
∴ $AH = AB + GB + GH \approx 12 + 153.94 + 20 = 185.94(\mathrm{m})$.
在Rt△EMD 中, $\tan∠MED = \dfrac{MD}{ME}$,
∴ $ME = \dfrac{MD}{\tan 27.7°}$.
在Rt△NFD 中, $\tan∠NFD = \dfrac{DN}{FN}$,
∴ $FN = \dfrac{DN}{\tan 33.3°}$.
∵ $ME = FN$,
∴ $\dfrac{MD}{\tan 27.7°} = \dfrac{DN}{\tan 33.3°}$,
∴ $\dfrac{MD}{0.53} = \dfrac{MD + 20}{0.66}$,
∴ $MD\approx81.54$ m,
∴ $CN = CD + MD + MN \approx CD + 81.54 + 20 = CD + 101.54$.
∵ $AH = CN$,
∴ $CD + 101.54 = 185.94$,
∴ $CD\approx84.4$ m.
答:大厦 CD 的高度约为 84.4 m.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先作辅助线，延长AB、CD分别与过E、F的水平线相交，构造出4个直角三角形；先分析教学楼侧的两个直角三角形△EGB和△FHB，二者水平直角边相等，竖直直角边相差20m，利用正切函数分别表示出水平边，列方程求出GB的长度，进而得到水平地面到FN的竖直总高度；再分析大厦侧的两个直角三角形△EMD和△FND，同理求出MD的长度；最后利用两侧竖直总高度相等的关系，列方程即可求出CD的高度。
【解析】
延长AB分别交过点E,F的水平线于点G,H,延长CD分别交过点E,F的水平线于点M,N。
在Rt△EGB中, $\tan∠GEB = \dfrac{GB}{GE}$,
∴ $GE = \dfrac{GB}{\tan 68.5°}$。
在Rt△FHB中, $\tan∠HFB = \dfrac{HB}{HF}$,
∴ $HF = \dfrac{HB}{\tan 70.8°}$。
∵ $GE = HF$，且$HB=GB+20$，
∴ $\dfrac{GB}{\tan 68.5°} = \dfrac{GB+20}{\tan 70.8°}$,
代入参考数据$\tan68.5°\approx2.54$，$\tan70.8°\approx2.87$，得$\dfrac{GB}{2.54} = \dfrac{GB + 20}{2.87}$,
解得$GB\approx153.94$ m,
∴ 水平地面到水平线FN的竖直高度$AH = AB + GB + GH \approx 12 + 153.94 + 20 = 185.94(\mathrm{m})$。
在Rt△EMD中, $\tan∠MED = \dfrac{MD}{ME}$,
∴ $ME = \dfrac{MD}{\tan 27.7°}$。
在Rt△NFD中, $\tan∠NFD = \dfrac{DN}{FN}$,
∴ $FN = \dfrac{DN}{\tan 33.3°}$。
∵ $ME = FN$，且$DN=MD+20$,
∴ $\dfrac{MD}{\tan 27.7°} = \dfrac{MD+20}{\tan 33.3°}$,
代入参考数据$\tan27.7°\approx0.53$，$\tan33.3°\approx0.66$，得$\dfrac{MD}{0.53} = \dfrac{MD + 20}{0.66}$,
解得$MD\approx81.54$ m,
∴ 右侧竖直总高度$CN = CD + MD + MN = CD + 81.54 + 20 = CD + 101.54$。
∵ 两侧竖直总高度相等，即$AH = CN$,
∴ $CD + 101.54 = 185.94$,
解得$CD\approx84.4$ m。
【答案】
大厦CD的高度约为84.4 m。
【知识点】
俯角问题，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了解直角三角形的应用，需要学生正确构造直角三角形，挖掘题中隐含的等量关系列方程求解，对几何建模能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先作辅助线，延长AB、CD分别与过E、F的水平线相交，构造出4个直角三角形；先分析教学楼侧的两个直角三角形△EGB和△FHB，二者水平直角边相等，竖直直角边相差20m，利用正切函数分别表示出水平边，列方程求出GB的长度，进而得到水平地面到FN的竖直总高度；再分析大厦侧的两个直角三角形△EMD和△FND，同理求出MD的长度；最后利用两侧竖直总高度相等的关系，列方程即可求出CD的高度。
【解析】
延长AB分别交过点E,F的水平线于点G,H,延长CD分别交过点E,F的水平线于点M,N。
在Rt△EGB中, $\tan∠GEB = \dfrac{GB}{GE}$,
∴ $GE = \dfrac{GB}{\tan 68.5°}$。
在Rt△FHB中, $\tan∠HFB = \dfrac{HB}{HF}$,
∴ $HF = \dfrac{HB}{\tan 70.8°}$。
∵ $GE = HF$，且$HB=GB+20$，
∴ $\dfrac{GB}{\tan 68.5°} = \dfrac{GB+20}{\tan 70.8°}$,
代入参考数据$\tan68.5°\approx2.54$，$\tan70.8°\approx2.87$，得$\dfrac{GB}{2.54} = \dfrac{GB + 20}{2.87}$,
解得$GB\approx153.94$ m,
∴ 水平地面到水平线FN的竖直高度$AH = AB + GB + GH \approx 12 + 153.94 + 20 = 185.94(\mathrm{m})$。
在Rt△EMD中, $\tan∠MED = \dfrac{MD}{ME}$,
∴ $ME = \dfrac{MD}{\tan 27.7°}$。
在Rt△NFD中, $\tan∠NFD = \dfrac{DN}{FN}$,
∴ $FN = \dfrac{DN}{\tan 33.3°}$。
∵ $ME = FN$，且$DN=MD+20$,
∴ $\dfrac{MD}{\tan 27.7°} = \dfrac{MD+20}{\tan 33.3°}$,
代入参考数据$\tan27.7°\approx0.53$，$\tan33.3°\approx0.66$，得$\dfrac{MD}{0.53} = \dfrac{MD + 20}{0.66}$,
解得$MD\approx81.54$ m,
∴ 右侧竖直总高度$CN = CD + MD + MN = CD + 81.54 + 20 = CD + 101.54$。
∵ 两侧竖直总高度相等，即$AH = CN$,
∴ $CD + 101.54 = 185.94$,
解得$CD\approx84.4$ m。
【答案】
大厦CD的高度约为84.4 m。
【知识点】
俯角问题，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了解直角三角形的应用，需要学生正确构造直角三角形，挖掘题中隐含的等量关系列方程求解，对几何建模能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
