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1. (2025·沈阳月考)我们规定:二次函数$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$与$y_2=-ax^2+bx-c$互为中心对称函数.
(1)二次函数$y_1=2x^2+x-3$的中心对称函数$y_2$的表达式为
(2)若点$M(m,n)$在二次函数$y_1=2x^2+x-3$的图象上,求证:点$M'(-m,-n)$在二次函数$y_1=2x^2+x-3$的中心对称函数的图象上.
(3)如图,已知二次函数$L_1:y=ax^2-2ax+a+1(a＞0)$和二次函数$L_2$图象的顶点分别为$M,N$,与$y$轴分别交于点$E,F$,且二次函数$L_1$与$L_2$互为中心对称函数.
①当二次函数$L_1,L_2$的$y$值同时随着$x$的增大而减小时,求$x$的取值范围;
②当$EF=MN$时,求$a$的值,并判断四边形$ENFM$的形状.
(1)二次函数$y_1=2x^2+x-3$的中心对称函数$y_2$的表达式为
$y_2=-2x^2+x+3$
.(2)若点$M(m,n)$在二次函数$y_1=2x^2+x-3$的图象上,求证:点$M'(-m,-n)$在二次函数$y_1=2x^2+x-3$的中心对称函数的图象上.
(3)如图,已知二次函数$L_1:y=ax^2-2ax+a+1(a＞0)$和二次函数$L_2$图象的顶点分别为$M,N$,与$y$轴分别交于点$E,F$,且二次函数$L_1$与$L_2$互为中心对称函数.
①当二次函数$L_1,L_2$的$y$值同时随着$x$的增大而减小时,求$x$的取值范围;
②当$EF=MN$时,求$a$的值,并判断四边形$ENFM$的形状.
答案
1. (1) $y_2=-2x^2+x+3$
解析:二次函数$y_1=2x^2+x-3$的中心对称函数$y_2=-2x^2+x+3$.故答案为$y_2=-2x^2+x+3$.
(2) 将点$M(m,n)$代入$y_1 = 2x^2+x-3$,得$2m^2+m-3 = n$.当$x=-m$时,$y_2=-2m^2-m+3=-(2m^2+m-3)=-n$,$\therefore$ 点$M'(-m,-n)$在二次函数$y_1 = 2x^2+x-3$的中心对称函数的图象上.
(3) ①$\because L_1:y=ax^2-2ax+a+1=a(x-1)^2+1$,$\therefore$ 二次函数$L_1$的对称轴为直线$x=1$,$a＞0$,顶点为$M(1,1)$,$\therefore$ 当$x＜1$时,$y$随着$x$的增大而减小.$\because$ 二次函数$L_1$与$L_2$互为中心对称函数,$\therefore$ 二次函数$L_2$的表达式为$y=-ax^2-2ax-a-1=-a(x+1)^2-1$,$\therefore$ 二次函数$L_2$的对称轴为直线$x=-1$,顶点为$N(-1,-1)$,$\therefore$ 当$x＞-1$时,$y$随着$x$的增大而减小,$\therefore$ 当二次函数$L_1$,$L_2$的$y$值同时随着$x$的增大而减小时,$x$的取值范围为$-1＜x＜1$.
②当$x=0$时,$y=ax^2-2ax+a+1=a+1$,$\therefore E(0,a+1)$,二次函数$y=-ax^2-2ax-a-1=-a(x+1)^2-1$,当$x=0$时,$y=-ax^2-2ax-a-1=-a-1$,$\therefore F(0,-a-1)$.$\because M(1,1)$,$N(-1,-1)$,$\therefore EF=MN=\sqrt{(1+1)^2+(1+1)^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore a+1-(-a-1)=2\sqrt{2}$,解得$a=\sqrt{2}-1$,$EN=\sqrt{(0+1)^2+(a+2)^2}=\sqrt{1+(a+2)^2}$,$FM=\sqrt{(1-0)^2+(a+2)^2}=\sqrt{1+(a+2)^2}$,$ME=\sqrt{(1-0)^2+a^2}=\sqrt{1+a^2}$,$NF=\sqrt{(0+1)^2+a^2}=\sqrt{1+a^2}$,$\therefore EN=FM$,$EM=NF$,$\therefore$ 四边形$ENFM$是平行四边形.$\because EF=MN$,$\therefore$ 四边形$ENFM$是矩形.
解析:二次函数$y_1=2x^2+x-3$的中心对称函数$y_2=-2x^2+x+3$.故答案为$y_2=-2x^2+x+3$.
(2) 将点$M(m,n)$代入$y_1 = 2x^2+x-3$,得$2m^2+m-3 = n$.当$x=-m$时,$y_2=-2m^2-m+3=-(2m^2+m-3)=-n$,$\therefore$ 点$M'(-m,-n)$在二次函数$y_1 = 2x^2+x-3$的中心对称函数的图象上.
(3) ①$\because L_1:y=ax^2-2ax+a+1=a(x-1)^2+1$,$\therefore$ 二次函数$L_1$的对称轴为直线$x=1$,$a＞0$,顶点为$M(1,1)$,$\therefore$ 当$x＜1$时,$y$随着$x$的增大而减小.$\because$ 二次函数$L_1$与$L_2$互为中心对称函数,$\therefore$ 二次函数$L_2$的表达式为$y=-ax^2-2ax-a-1=-a(x+1)^2-1$,$\therefore$ 二次函数$L_2$的对称轴为直线$x=-1$,顶点为$N(-1,-1)$,$\therefore$ 当$x＞-1$时,$y$随着$x$的增大而减小,$\therefore$ 当二次函数$L_1$,$L_2$的$y$值同时随着$x$的增大而减小时,$x$的取值范围为$-1＜x＜1$.
②当$x=0$时,$y=ax^2-2ax+a+1=a+1$,$\therefore E(0,a+1)$,二次函数$y=-ax^2-2ax-a-1=-a(x+1)^2-1$,当$x=0$时,$y=-ax^2-2ax-a-1=-a-1$,$\therefore F(0,-a-1)$.$\because M(1,1)$,$N(-1,-1)$,$\therefore EF=MN=\sqrt{(1+1)^2+(1+1)^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore a+1-(-a-1)=2\sqrt{2}$,解得$a=\sqrt{2}-1$,$EN=\sqrt{(0+1)^2+(a+2)^2}=\sqrt{1+(a+2)^2}$,$FM=\sqrt{(1-0)^2+(a+2)^2}=\sqrt{1+(a+2)^2}$,$ME=\sqrt{(1-0)^2+a^2}=\sqrt{1+a^2}$,$NF=\sqrt{(0+1)^2+a^2}=\sqrt{1+a^2}$,$\therefore EN=FM$,$EM=NF$,$\therefore$ 四边形$ENFM$是平行四边形.$\because EF=MN$,$\therefore$ 四边形$ENFM$是矩形.
2. (2025·青岛模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=ax^2+\frac{3}{2}x+2$ 过点 $(1,3)$,且交x轴于$A(m,0),B$两点,交$y$轴于点$C$.
(1)求直线$BC$的表达式和$a,m$的值;
(2)$P$是直线$BC$上方抛物线上的一个动点,求$△ BPC$面积的最大值及$△ BPC$面积最大时点$P$的坐标;
(3)在(2)中$△ BPC$面积最大的条件下,将该抛物线沿射线$CB$方向平移$\sqrt{5}$个单位长度,$M$为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点$N$,使得以点$A,P,M,N$为顶点的四边形是菱形,写出所有符合条件的点$N$的坐标,并写出求解点$N$的坐标的其中一种情况的过程.
(1)求直线$BC$的表达式和$a,m$的值;
(2)$P$是直线$BC$上方抛物线上的一个动点,求$△ BPC$面积的最大值及$△ BPC$面积最大时点$P$的坐标;
(3)在(2)中$△ BPC$面积最大的条件下,将该抛物线沿射线$CB$方向平移$\sqrt{5}$个单位长度,$M$为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点$N$,使得以点$A,P,M,N$为顶点的四边形是菱形,写出所有符合条件的点$N$的坐标,并写出求解点$N$的坐标的其中一种情况的过程.
答案
2. (1)$\because$ 抛物线$y=ax^2+\frac{3}{2}x+2$过点$(1,3)$,$\therefore a+\frac{3}{2}+2=3$,解得$a=-\frac{1}{2}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+2$.$\because$ 抛物线交$y$轴于点$C$,$\therefore C(0,2)$.$\because$ 抛物线交$x$轴于$A(m,0)$,$B$两点,$\therefore A(-1,0)$,$B(4,0)$,$\therefore m=-1$,设直线$BC$的表达式为$y=kx+b$,将$C(0,2)$,$B(4,0)$代入得$\begin{cases}b=2,\\4k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\k=-\frac{1}{2},\end{cases}$ $\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2$.
(2) $\because B(4,0)$,$C(0,2)$,$\therefore OB=4$,$OC=2$,$\therefore BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=2\sqrt{5}$,如图,过点$P$作$PD ⊥ BC$于点$D$,过点$P$作$y$轴的平行线交直线$BC$于点$E$,交$x$轴于点$F$,则$∠ BEF = ∠ BCO$.$\because ∠ DEP = ∠ BEF$,$\therefore ∠ DEP = ∠ BCO$.$\because ∠ PDE = ∠ COB = 90°$,$\therefore △ DPE ∽ △ OBC$,$\therefore \frac{PE}{BC}=\frac{PD}{OB}$,$\therefore PD=\frac{2\sqrt{5}}{5}PE$,$\therefore$ 当$PE$取得最大值时,$PD$也取得最大值.
设$P(m,-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m+2)$,则$E(m,-\frac{1}{2}m+2)$,$\therefore PE=-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m+2-(-\frac{1}{2}m+2)=-\frac{1}{2}m^2+2m=-\frac{1}{2}(m-2)^2+2$,$\therefore$ 当$m=2$时,$PE=2$最大,此时$P(2,3)$,$PD=\frac{2\sqrt{5}}{5}×2=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,$\therefore$ 当$PD=\frac{4\sqrt{5}}{5}$时,$△ BPC$面积最大,最大值为$\frac{1}{2}BC· PD=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{4\sqrt{5}}{5}=4$,此时点$P$的坐标为$(2,3)$.
(3)$\because$ 将该抛物线沿射线$CB$方向平移$\sqrt{5}$个单位长度,可以看成是先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,$\therefore$ 平移后的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{3}{2}(x-2)+2-1=-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-4$,此抛物线的对称轴为直线$x=\frac{7}{2}$.设$M(\frac{7}{2},n)$,$N(s,t)$.$\because P(2,3)$,$A(-1,0)$,$\therefore PA^2=18$,$PM^2=(\frac{7}{2}-2)^2+(n-3)^2=\frac{9}{4}+(n-3)^2$,$AM^2=(\frac{7}{2}+1)^2+(n-0)^2=\frac{81}{4}+n^2$.当$PA$为对角线时,以点$A,P,M,N$为顶点的四边形是菱形,$\therefore PA$与$MN$互相平分,且$PM=AM$,$\therefore \frac{9}{4}+(n-3)^2=\frac{81}{4}+n^2$,解得$n=-\frac{3}{2}$.$\because PA$的中点坐标为$(\frac{2-1}{2},\frac{3+0}{2})$,$MN$的中点坐标为$(\frac{\frac{7}{2}+s}{2},\frac{n+t}{2})$,$\therefore \begin{cases}\frac{7}{2}+s=1,\\n+t=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}s=-\frac{5}{2},\\t=\frac{9}{2},\end{cases}$此时$N(-\frac{5}{2},\frac{9}{2})$.当$PA$为边长且$AM$和$PN$是对角线时,以点$A,P,M,N$为顶点的四边形是菱形,$\therefore AM$与$PN$互相平分,且$PM=PA$,$\therefore \frac{9}{4}+(n-3)^2=18$,解得$n=3\pm\frac{3\sqrt{7}}{2}$.$\because PN$的中点坐标为$(\frac{2+s}{2},\frac{3+t}{2})$,$AM$的中点坐标为$(\frac{\frac{7}{2}-1}{2},\frac{n+0}{2})$,$\therefore \begin{cases}2+s=\frac{7}{2}-1,\\3+t=n+0,\end{cases}$解得$\begin{cases}s=\frac{1}{2},\\t=\pm\frac{3\sqrt{7}}{2},\end{cases}$此时$N(\frac{1}{2},\frac{3\sqrt{7}}{2})$或$N(\frac{1}{2},-\frac{3\sqrt{7}}{2})$.同理,当$PA$为边长且$AN$和$PM$是对角线时,以点$A,P,M,N$为顶点的四边形是菱形,$\therefore AN$和$PM$互相平分,且$AM=PA$,即$\frac{81}{4}+n^2=18$,此方程无解.综上所述,以点$A,P,M,N$为顶点的四边形是菱形时,点$N$的坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{9}{2})$或$(\frac{1}{2},\frac{3\sqrt{7}}{2})$或$(\frac{1}{2},-\frac{3\sqrt{7}}{2})$.
