8. 如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补.
求证：AD=CD.

8. 如图,过点 D 作$DE⊥AB$,交 BA 的延长线于点 E,作$DF⊥BC$,垂足为 F.$\because$ BD 平分$∠ ABC,\therefore DE=DF$.
$\because ∠ BAD$ 与$∠ BCD$ 互补,$∠ EAD + ∠ BAD = 180°,\therefore ∠ DAE = ∠ C$. 在$△ ADE$ 和$△ CDF$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAE=∠ C, \\ ∠ E=∠ DFC, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore △ ADE≌△ CDF(AAS).\therefore AD=CD.$

9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$AD$，$CE$分别是$∠ BAC$，$∠ BCA$的平分线，$AD$，$CE$相交于点$F$.求证：$FE=FD$.

9. 如图,过点 F 作$FM⊥ AB$,垂足为 M. 作$FN⊥ BC$,垂足为 N,连接 BF.$\because F$ 是角平分线的交点,$\therefore BF$ 也是角平分线,$\therefore MF=FN$.$\because ∠ ABC=60°,\therefore ∠ MFN=180°-∠ ABC=120°$.$\because ∠ CFA=180°-(∠ FAC+∠ FCA)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=180°-\frac{1}{2}(180°-60°)=120°,\therefore ∠ DFE=∠ CFA=∠ MFN=120°$.
$\because ∠ MFD + ∠ DFN = ∠ DFN + ∠ NFE,\therefore ∠ DFM = ∠ NFE$. 在$△ DMF$ 和$△ ENF$ 中,
$\begin{cases} ∠ DMF=∠ ENF, \\ MF=NF, \\ ∠ DFN=∠ NFE, \end{cases}$$\therefore △ DMF≌△ ENF(ASA).\therefore FE=FD$

10. 某数学兴趣小组进行如下探究：如图①，在$△ ABC$中，$AD$是角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现$△ ABD$和$△ ACD$的面积比等于图中两组不同的线段比.
（1）如图①，$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=$，$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=$.（填两个不同的答案）
（2）【得出结论】$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\_\_\_\_\_\_=$.
（3）【应用结论】如图②，在$△ ABC$中，$AD$是角平分线，$BD=2CD$，$E$是边$AB$的中点，连接$CE$.
① 求证：$AD$垂直平分$CE$；
② 若$△ ABD$的边$AD$上的高为$BF$，求$\frac{S_{△ BDF}}{S_{△ ACD}}$.

10. (1) $\frac{AB}{AC},\frac{BD}{CD}$ (2) $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
(3) ① $\because BD=2CD,\therefore \frac{BD}{CD}=2$. 由(1)知,$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=2,\therefore AB=2AC$. $\because E$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AB=2AE,\therefore AC=AE,\therefore AD$ 垂直平分 $CE$ ② 如图,过点 $B$ 作 $AD$ 的垂线,与 $AD$ 的延长线交于点$F$,延长 $AC$,$BF$ 交于点 $G$,设$△ ACD$ 的面积=$x$,$△ BDF$ 的面积=$y$. $\because BD=2CD,\therefore S_{△ ABD}=2S_{△ ACD}=2x$,$\therefore S_{△ ABF}=2x+y$. $\because AD$ 平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAF=∠ CAF$. $\because BF⊥ AF$,$\therefore ∠ AFB=∠ AFG=90°$.
$\because AF=AF$,$\therefore △ AFB≌△ AFG(ASA)$,$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ AFG}=2x+y$,$AB=AG$,$\therefore S_{四边形CDFG}=S_{△ AFG}-S_{△ ACD}=2x+y-x=x+y$. 由①得 $AB=2AE=2AC$,$\therefore AG=2AC$,$\therefore AC=CG$,$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BCG}$,$\therefore x+2x=y+x+y$,$\therefore x=y$,$\therefore \frac{S_{△ BDF}}{S_{△ ACD}}=\frac{y}{x}=1$

【分析】
（1）求△ABD和△ACD的面积比可从两种同高思路入手：一是利用角平分线的性质，点D到AB、AC的距离相等，此时两个三角形分别以AB、AC为底，高相等，面积比等于底边长的比；二是两个三角形以A为顶点时，高为A到BC的公共高，分别以BD、CD为底，面积比等于底BD、CD的比。
（2）结合（1）的两个推导结果，即可得到三者的等量关系。
（3）①先利用（2）的结论，由BD=2CD推出AB=2AC，结合E是AB中点得到AE=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可证明AD垂直平分CE；②通过构造全等三角形△AFB和△AFG，得到面积和线段的等量关系，再结合AC=CG的线段关系列出面积等式，推导得出两个三角形的面积比。
【解析】
(1) 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}$；
又△ABD和△ACD以A为顶点时，高为A到BC的公共高，底分别为BD、CD，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 由(1)的结论可得$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(3) ①证明：
∵BD=2CD，
∴$\frac{BD}{CD}=2$，
由(2)的结论得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=2$，即$AB=2AC$，
∵E是AB的中点，
∴$AB=2AE$，
∴$AE=AC$，
又
∵AD是∠BAC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分CE。
②解：过点B作AD的垂线，与AD的延长线交于点F，延长AC、BF交于点G，设$S_{△ACD}=x$，$S_{△BDF}=y$。
∵BD=2CD，△ABD和△ACD同高，
∴$S_{△ABD}=2S_{△ACD}=2x$，
∴$S_{△ABF}=S_{△ABD}+S_{△BDF}=2x+y$。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
又
∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠AFG=90°，
在△AFB和△AFG中：
$\{\begin{array}{l}∠BAF=∠GAF \\AF=AF \\∠AFB=∠AFG\end{array} $
∴△AFB≌△AFG（ASA），
∴$S_{△ABF}=S_{△AFG}=2x+y$，$AB=AG$，
∴$S_{四边形CDFG}=S_{△AFG}-S_{△ACD}=2x+y-x=x+y$。
由①可知$AB=2AC$，
∴$AG=2AC$，即$AC=CG$，
∴$S_{△BCG}=S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=3x$，
又
∵$S_{△BCG}=S_{△BDF}+S_{四边形CDFG}=y+(x+y)=x+2y$，
∴$3x=x+2y$，解得$x=y$，
∴$\frac{S_{△BDF}}{S_{△ACD}}=\frac{y}{x}=1$。
【答案】
(1) $\frac{AB}{AC},\frac{BD}{CD}$
(2) $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
(3) ① $\because BD=2CD,\therefore \frac{BD}{CD}=2$. 由(1)知,$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=2,\therefore AB=2AC$. $\because E$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AB=2AE,\therefore AC=AE,\therefore AD$ 垂直平分 $CE$
② 如图,过点 $B$ 作 $AD$ 的垂线,与 $AD$ 的延长线交于点$F$,延长 $AC$,$BF$ 交于点 $G$,设$△ ACD$ 的面积=$x$,$△ BDF$ 的面积=$y$. $\because BD=2CD,\therefore S_{△ ABD}=2S_{△ ACD}=2x$,$\therefore S_{△ ABF}=2x+y$. $\because AD$ 平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAF=∠ CAF$. $\because BF⊥ AF$,$\therefore ∠ AFB=∠ AFG=90°$.
$\because AF=AF$,$\therefore △ AFB≌△ AFG(ASA)$,$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ AFG}=2x+y$,$AB=AG$,$\therefore S_{四边形CDFG}=S_{△ AFG}-S_{△ ACD}=2x+y-x=x+y$. 由①得 $AB=2AE=2AC$,$\therefore AG=2AC$,$\therefore AC=CG$,$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BCG}$,$\therefore x+2x=y+x+y$,$\therefore x=y$,$\therefore \frac{S_{△ BDF}}{S_{△ ACD}}=\frac{y}{x}=1$

【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，全等三角形判定与性质
【点评】
本题从探究角平分线分三角形的面积规律出发，逐步引导学生运用得出的结论解决后续的证明和计算问题，既考查了基础几何性质的掌握情况，也锻炼了逻辑推导和知识综合运用的能力，解题时注意活用前面探究得到的结论可以简化推导过程。
【难度系数】
0.5