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1.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC于点P,交AB于点F.若AF=2,BF=3,则CE的长度为.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角可得∠B=∠C；②结合EP⊥BC的垂直条件，可得△EPC和△FPB均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可推出∠E与∠BFP相等；③再利用对顶角相等的性质，得到∠E=∠AFE，由等角对等边可知AE=AF，求出AE的长度；最后CE=AE+AC，AC与AB相等，AB可由AF+BF求出，代入数值即可得解。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角），
∵EP⊥BC，
∴∠EPC=∠FPB=90°，
∴在Rt△EPC中，∠E + ∠C = 90°，
在Rt△FPB中，∠BFP + ∠B = 90°，
∴∠E=∠BFP（等角的余角相等），
又
∵∠BFP=∠AFE（对顶角相等），
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF=2（等角对等边），
∵AB=AF+BF=2+3=5，
∴AC=AB=5，
∴CE=AE+AC=2+5=7。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型基础题，解题的核心是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，进而得到线段的等量关系，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角可得∠B=∠C；②结合EP⊥BC的垂直条件，可得△EPC和△FPB均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可推出∠E与∠BFP相等；③再利用对顶角相等的性质，得到∠E=∠AFE，由等角对等边可知AE=AF，求出AE的长度；最后CE=AE+AC，AC与AB相等，AB可由AF+BF求出，代入数值即可得解。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角），
∵EP⊥BC，
∴∠EPC=∠FPB=90°，
∴在Rt△EPC中，∠E + ∠C = 90°，
在Rt△FPB中，∠BFP + ∠B = 90°，
∴∠E=∠BFP（等角的余角相等），
又
∵∠BFP=∠AFE（对顶角相等），
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF=2（等角对等边），
∵AB=AF+BF=2+3=5，
∴AC=AB=5，
∴CE=AE+AC=2+5=7。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型基础题，解题的核心是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，进而得到线段的等量关系，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
2.图①是小朋友们爱玩的跷跷板，图②是其平面简化图，其中支点O是跷跷板的中点(即 $ OA=OB $)，支柱OC垂直于地面.两人分别坐在跷跷板A，B的两端，当A端落地时，AB与地面的夹角 $ ∠ BAC=25° $，则AB上下可转动的最大角度 $ ∠ A'OA $ 的度数为.
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：支点O是跷跷板中点，故OA=OB，跷跷板是直杆，转动过程中杆长不变；已知∠BAC=25°，要求AB上下转动的最大角度∠A'OA。解题时先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，由OA=OB得到两个底角相等，再结合三角形内角和定理求出∠AOB的度数，最后利用邻补角的性质即可算出∠A'OA的度数。
【解析】
解：
∵O是AB的中点，
∴$OA=OB$，
∴$∠OBA=∠BAC=25°$（等边对等角）。
在$△ AOB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠AOB=180°-∠BAC-∠OBA=180°-25°-25°=130°$。
∵跷跷板为直杆，转动后$A'$、$O$、$B$三点共线，$∠A'OA$与$∠AOB$是邻补角，
∴$∠A'OA=180°-∠AOB=180°-130°=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活中常见的跷跷板场景，考查等腰三角形与角度计算的相关知识，解题核心是抓住“O为中点、跷跷板为直杆”的隐含条件，将实际场景转化为几何中的等腰三角形角度计算问题，题目设计贴近生活，能有效考查学生知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：支点O是跷跷板中点，故OA=OB，跷跷板是直杆，转动过程中杆长不变；已知∠BAC=25°，要求AB上下转动的最大角度∠A'OA。解题时先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，由OA=OB得到两个底角相等，再结合三角形内角和定理求出∠AOB的度数，最后利用邻补角的性质即可算出∠A'OA的度数。
【解析】
解：
∵O是AB的中点，
∴$OA=OB$，
∴$∠OBA=∠BAC=25°$（等边对等角）。
在$△ AOB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠AOB=180°-∠BAC-∠OBA=180°-25°-25°=130°$。
∵跷跷板为直杆，转动后$A'$、$O$、$B$三点共线，$∠A'OA$与$∠AOB$是邻补角，
∴$∠A'OA=180°-∠AOB=180°-130°=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活中常见的跷跷板场景，考查等腰三角形与角度计算的相关知识，解题核心是抓住“O为中点、跷跷板为直杆”的隐含条件，将实际场景转化为几何中的等腰三角形角度计算问题，题目设计贴近生活，能有效考查学生知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D.若∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD=.
答案
$\boldsymbol{58°}$
解析
【分析】
遇到角平分线与角平分线上的垂线组合的图形，可通过延长垂线构造全等三角形建立已知角和所求角的联系。首先延长AD交BC于点E，先利用三角形外角性质求出∠BED的度数，再证明△ABD和△EBD全等，由全等对应角相等即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
1. 计算∠BED的度数：
∠BED是△AEC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ BED = ∠ C + ∠ DAC$。
代入已知$∠ DAC=20°$，$∠ C=38°$，得$∠ BED=38°+20°=58°$。
2. 证明$△ ABD ≌ △ EBD$：
∵BD是$∠ ABC$的平分线，
∴$∠ ABD=∠ EBD$。
∵$AD⊥ BD$，
∴$∠ ADB=∠ EDB=90°$。
又
∵BD是公共边，即$BD=BD$，
∴$△ ABD ≌ △ EBD$（ASA）。
3. 根据全等三角形对应角相等，得$∠ BAD=∠ BED=58°$。
【答案】
$\boldsymbol{58°}$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形的综合基础题，核心是掌握“角平分线+垂线”构造全等三角形的常用辅助线方法，能快速将未知角和已知条件关联起来。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线与角平分线上的垂线组合的图形，可通过延长垂线构造全等三角形建立已知角和所求角的联系。首先延长AD交BC于点E，先利用三角形外角性质求出∠BED的度数，再证明△ABD和△EBD全等，由全等对应角相等即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
1. 计算∠BED的度数：
∠BED是△AEC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ BED = ∠ C + ∠ DAC$。
代入已知$∠ DAC=20°$，$∠ C=38°$，得$∠ BED=38°+20°=58°$。
2. 证明$△ ABD ≌ △ EBD$：
∵BD是$∠ ABC$的平分线，
∴$∠ ABD=∠ EBD$。
∵$AD⊥ BD$，
∴$∠ ADB=∠ EDB=90°$。
又
∵BD是公共边，即$BD=BD$，
∴$△ ABD ≌ △ EBD$（ASA）。
3. 根据全等三角形对应角相等，得$∠ BAD=∠ BED=58°$。
【答案】
$\boldsymbol{58°}$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形的综合基础题，核心是掌握“角平分线+垂线”构造全等三角形的常用辅助线方法，能快速将未知角和已知条件关联起来。
【难度系数】
0.7
4. 提升题▶如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=50°$，$D$为$BC$的中点，点$E$在$AB$上，$∠ AED=70°$。若$P$是$△ ABC$的腰$AC$上的一点，则当$△ EDP$为等腰三角形时，$∠ EDP$的度数为。
答案
解：
∵ $AB=AC$，$∠ B=50°$，
∴ $∠ C=∠ B=50°$，$∠ BAC=180°-50°×2=80°$，
∵ $D$为$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD=40°$，$∠ ADB=90°$。
在$△ ADE$中，$∠ AED=70°$，$∠ EAD=40°$，
∴ $∠ ADE=180°-40°-70°=70°$，
∴ $∠ EDB=90°-70°=20°$，$∠ EDC=180°-20°=160°$。
分情况讨论$△ EDP$为等腰三角形：
1. 当$PD=PE$时，符合条件的点$P$与点$A$重合，此时$∠ EDP=∠ ADE=70°$；
2. 当$DE=DP$时，以$D$为圆心、$DE$长为半径作弧，交$AC$于两个符合条件的点，对应$∠ EDP$分别为$100°$和$140°$；
3. 当$DE=EP$时，点$E$到$AC$的距离大于$DE$，不存在符合条件的点$P$。
综上，$∠ EDP$的度数为$\boldsymbol{70°}$或$\boldsymbol{100°}$或$\boldsymbol{140°}$。
∵ $AB=AC$，$∠ B=50°$，
∴ $∠ C=∠ B=50°$，$∠ BAC=180°-50°×2=80°$，
∵ $D$为$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD=40°$，$∠ ADB=90°$。
在$△ ADE$中，$∠ AED=70°$，$∠ EAD=40°$，
∴ $∠ ADE=180°-40°-70°=70°$，
∴ $∠ EDB=90°-70°=20°$，$∠ EDC=180°-20°=160°$。
分情况讨论$△ EDP$为等腰三角形：
1. 当$PD=PE$时，符合条件的点$P$与点$A$重合，此时$∠ EDP=∠ ADE=70°$；
2. 当$DE=DP$时，以$D$为圆心、$DE$长为半径作弧，交$AC$于两个符合条件的点，对应$∠ EDP$分别为$100°$和$140°$；
3. 当$DE=EP$时，点$E$到$AC$的距离大于$DE$，不存在符合条件的点$P$。
综上，$∠ EDP$的度数为$\boldsymbol{70°}$或$\boldsymbol{100°}$或$\boldsymbol{140°}$。
解析
【分析】
首先利用等腰△ABC的已知条件计算出△ABC各内角度数，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC且AD平分∠BAC，进而算出∠ADE、∠EDB等基础角的度数。针对△EDP为等腰三角形的要求，分三种情况讨论等腰三角形的腰和底的组合：①PD=PE；②DE=DP；③DE=EP，每种情况结合点P在AC上的条件判断是否存在，再计算对应∠EDP的度数即可。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ B=50°$，
∴ $∠ C=∠ B=50°$，$∠ BAC=180°-50°×2=80°$，
∵ $D$为$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD=40°$，$∠ ADB=90°$。
在$△ ADE$中，$∠ AED=70°$，$∠ EAD=40°$，
∴ $∠ ADE=180°-40°-70°=70°$，
∴ $∠ EDB=90°-70°=20°$，$∠ EDC=180°-20°=160°$。
分情况讨论$△ EDP$为等腰三角形：
1. 当$PD=PE$时，符合条件的点$P$与点$A$重合，此时$∠ EDP=∠ ADE=70°$；
2. 当$DE=DP$时，以$D$为圆心、$DE$长为半径作弧，交$AC$于两个符合条件的点，对应$∠ EDP$分别为$100°$和$140°$；
3. 当$DE=EP$时，点$E$到$AC$的距离大于$DE$，不存在符合条件的点$P$，该情况舍去。
综上，$∠ EDP$的度数为$70°$或$100°$或$140°$。
【答案】
$70°$或$100°$或$140°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的综合应用题型，解题核心是先求出所有已知的基础角度，再对等腰三角形的边的情况分类讨论，同时要注意验证对应点是否存在，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
首先利用等腰△ABC的已知条件计算出△ABC各内角度数，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC且AD平分∠BAC，进而算出∠ADE、∠EDB等基础角的度数。针对△EDP为等腰三角形的要求，分三种情况讨论等腰三角形的腰和底的组合：①PD=PE；②DE=DP；③DE=EP，每种情况结合点P在AC上的条件判断是否存在，再计算对应∠EDP的度数即可。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ B=50°$，
∴ $∠ C=∠ B=50°$，$∠ BAC=180°-50°×2=80°$，
∵ $D$为$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD=40°$，$∠ ADB=90°$。
在$△ ADE$中，$∠ AED=70°$，$∠ EAD=40°$，
∴ $∠ ADE=180°-40°-70°=70°$，
∴ $∠ EDB=90°-70°=20°$，$∠ EDC=180°-20°=160°$。
分情况讨论$△ EDP$为等腰三角形：
1. 当$PD=PE$时，符合条件的点$P$与点$A$重合，此时$∠ EDP=∠ ADE=70°$；
2. 当$DE=DP$时，以$D$为圆心、$DE$长为半径作弧，交$AC$于两个符合条件的点，对应$∠ EDP$分别为$100°$和$140°$；
3. 当$DE=EP$时，点$E$到$AC$的距离大于$DE$，不存在符合条件的点$P$，该情况舍去。
综上，$∠ EDP$的度数为$70°$或$100°$或$140°$。
【答案】
$70°$或$100°$或$140°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的综合应用题型，解题核心是先求出所有已知的基础角度，再对等腰三角形的边的情况分类讨论，同时要注意验证对应点是否存在，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
5. 提升题 如图，已知点A，C分别在∠GBE的边BG，BE上，且AB=AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD相交于点D，连接CD.
(1)求证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC与∠BAC之间的数量关系，并对你的猜想加以证明.
(1)求证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC与∠BAC之间的数量关系，并对你的猜想加以证明.
答案
证明：(1)①
∵ BD平分∠GBE，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD。
②
∵ AB = AC，且已证AB = AD，
∴ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠ACD。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADC = ∠DCE，
∴ ∠ACD = ∠DCE，
∴ CD平分∠ACE。
(2) 猜想：$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$，证明如下：
∵ BD平分∠GBE，CD平分∠ACE，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$。
∵ ∠DCE是△BCD的外角，
∴ ∠BDC + ∠DBC = ∠DCE，
∴ $∠ BDC = ∠ DCE - ∠ DBC$
$= \frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$= \frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$。
又∵ ∠ACE是△ABC的外角，
∴ ∠ACE = ∠ABC + ∠BAC，
即 $∠ ACE - ∠ ABC = ∠ BAC$，
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$。
∵ BD平分∠GBE，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD。
②
∵ AB = AC，且已证AB = AD，
∴ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠ACD。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADC = ∠DCE，
∴ ∠ACD = ∠DCE，
∴ CD平分∠ACE。
(2) 猜想：$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$，证明如下：
∵ BD平分∠GBE，CD平分∠ACE，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$。
∵ ∠DCE是△BCD的外角，
∴ ∠BDC + ∠DBC = ∠DCE，
∴ $∠ BDC = ∠ DCE - ∠ DBC$
$= \frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$= \frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$。
又∵ ∠ACE是△ABC的外角，
∴ ∠ACE = ∠ABC + ∠BAC，
即 $∠ ACE - ∠ ABC = ∠ BAC$，
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$。
解析
【分析】
(1)①要证AB=AD，可借助“等角对等边”推导：已知BD平分∠GBE可得∠ABD=∠DBC，再结合AD//BE的内错角相等关系，可推出∠ABD=∠ADB，即可得证；
②要证CD平分∠ACE，需证∠ACD=∠DCE：先由AB=AC和①的结论推出AC=AD，利用等腰三角形两底角相等得∠ACD=∠ADC，再结合AD//BE的内错角相等关系，可推出∠ACD=∠DCE，即可得证；
(2)猜想∠BDC与∠BAC的数量关系时，可利用三角形外角的性质推导：先根据角平分线定义得到∠DBC、∠DCE分别为∠ABC、∠ACE的一半，再结合∠DCE是△BCD的外角、∠ACE是△ABC的外角，通过作差消去公共角相关项，即可得到两角的数量关系。
【解析】
(1)①
∵ BD平分∠GBE，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD。
②
∵ AB = AC，且已证AB = AD，
∴ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠ACD。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADC = ∠DCE，
∴ ∠ACD = ∠DCE，
∴ CD平分∠ACE。
(2) 猜想：$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$，证明如下：
∵ BD平分∠GBE，CD平分∠ACE，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$。
∵ ∠DCE是△BCD的外角，
∴ ∠BDC + ∠DBC = ∠DCE，
∴ $∠ BDC = ∠ DCE - ∠ DBC$
$= \frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$= \frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$。
又
∵ ∠ACE是△ABC的外角，
∴ ∠ACE = ∠ABC + ∠BAC，
即 $∠ ACE - ∠ ABC = ∠ BAC$，
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$。
【答案】
(1)①AB=AD成立；②CD平分∠ACE成立；(2)$\boldsymbol{∠BDC=\frac{1}{2}∠BAC}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形、三角形外角的相关性质，解题的关键是熟练掌握等角对等边、平行线内错角相等、外角等于不相邻两内角和等性质，通过等量代换实现边角关系的转化。
【难度系数】
0.6
(1)①要证AB=AD，可借助“等角对等边”推导：已知BD平分∠GBE可得∠ABD=∠DBC，再结合AD//BE的内错角相等关系，可推出∠ABD=∠ADB，即可得证；
②要证CD平分∠ACE，需证∠ACD=∠DCE：先由AB=AC和①的结论推出AC=AD，利用等腰三角形两底角相等得∠ACD=∠ADC，再结合AD//BE的内错角相等关系，可推出∠ACD=∠DCE，即可得证；
(2)猜想∠BDC与∠BAC的数量关系时，可利用三角形外角的性质推导：先根据角平分线定义得到∠DBC、∠DCE分别为∠ABC、∠ACE的一半，再结合∠DCE是△BCD的外角、∠ACE是△ABC的外角，通过作差消去公共角相关项，即可得到两角的数量关系。
【解析】
(1)①
∵ BD平分∠GBE，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD。
②
∵ AB = AC，且已证AB = AD，
∴ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠ACD。
∵ AD//BE，
∴ ∠ADC = ∠DCE，
∴ ∠ACD = ∠DCE，
∴ CD平分∠ACE。
(2) 猜想：$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$，证明如下：
∵ BD平分∠GBE，CD平分∠ACE，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$。
∵ ∠DCE是△BCD的外角，
∴ ∠BDC + ∠DBC = ∠DCE，
∴ $∠ BDC = ∠ DCE - ∠ DBC$
$= \frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$= \frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$。
又
∵ ∠ACE是△ABC的外角，
∴ ∠ACE = ∠ABC + ∠BAC，
即 $∠ ACE - ∠ ABC = ∠ BAC$，
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$。
【答案】
(1)①AB=AD成立；②CD平分∠ACE成立；(2)$\boldsymbol{∠BDC=\frac{1}{2}∠BAC}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形、三角形外角的相关性质，解题的关键是熟练掌握等角对等边、平行线内错角相等、外角等于不相邻两内角和等性质，通过等量代换实现边角关系的转化。
【难度系数】
0.6
