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1. 通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是().
A.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
B.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C.$2a(a+b)=2a^2+2ab$
D.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
A.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
B.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C.$2a(a+b)=2a^2+2ab$
D.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
答案
D
解析
【分析】
这类通过几何图形面积推导代数恒等式的题目，核心是用两种不同方法计算同一部分的面积，利用剪拼前后面积相等的规律建立等量关系。解题步骤如下：第一步先计算左侧图形阴影部分的面积，左侧为边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积等于大正方形面积减去空白小正方形面积；第二步计算右侧拼接后长方形的面积，先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；第三步联立两个面积表达式即可得到对应恒等式，匹配选项得出答案。
【解析】
解：①计算左侧阴影部分面积：
左侧大正方形边长为$a$，面积为$a^2$，空白部分是边长为$b$的小正方形，面积为$b^2$，
因此阴影面积$S_1=a^2-b^2$。
②计算右侧拼接长方形的面积：
观察可得长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，
因此长方形面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
③阴影部分仅进行剪拼，面积不变，即$S_1=S_2$，
可得恒等式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，等面积法，数形结合
【点评】
本题是代数恒等式几何验证的典型题型，通过图形剪拼建立面积等量关系，体现了数形结合的思想，熟练掌握平方差公式的几何意义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这类通过几何图形面积推导代数恒等式的题目，核心是用两种不同方法计算同一部分的面积，利用剪拼前后面积相等的规律建立等量关系。解题步骤如下：第一步先计算左侧图形阴影部分的面积，左侧为边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积等于大正方形面积减去空白小正方形面积；第二步计算右侧拼接后长方形的面积，先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；第三步联立两个面积表达式即可得到对应恒等式，匹配选项得出答案。
【解析】
解：①计算左侧阴影部分面积：
左侧大正方形边长为$a$，面积为$a^2$，空白部分是边长为$b$的小正方形，面积为$b^2$，
因此阴影面积$S_1=a^2-b^2$。
②计算右侧拼接长方形的面积：
观察可得长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，
因此长方形面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
③阴影部分仅进行剪拼，面积不变，即$S_1=S_2$，
可得恒等式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，等面积法，数形结合
【点评】
本题是代数恒等式几何验证的典型题型，通过图形剪拼建立面积等量关系，体现了数形结合的思想，熟练掌握平方差公式的几何意义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图(1),从边长为$a$的正方形纸片中剪去一个边长为$b$的小正方形,再沿着线段$AB$剪开,把剪成的两张纸片拼成如图(2)的等腰梯形.
(1)设图(1)中阴影部分的面积为$S_1$,图(2)中阴影部分的面积为$S_2$,请直接用含$a,b$的代数式表示$S_1,S_2$;
(2)请写出上述过程所表示的乘法公式.
(1)设图(1)中阴影部分的面积为$S_1$,图(2)中阴影部分的面积为$S_2$,请直接用含$a,b$的代数式表示$S_1,S_2$;
(2)请写出上述过程所表示的乘法公式.
答案
解：
(1) $S_1 = a^2 - b^2$
等腰梯形的上底为$2b$，下底为$2a$，高为$a-b$，因此
$S_2 = \frac{1}{2} × (2a + 2b) × (a - b) = (a + b)(a - b)$
(2) 上述过程表示的乘法公式为：
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$（平方差公式）
(1) $S_1 = a^2 - b^2$
等腰梯形的上底为$2b$，下底为$2a$，高为$a-b$，因此
$S_2 = \frac{1}{2} × (2a + 2b) × (a - b) = (a + b)(a - b)$
(2) 上述过程表示的乘法公式为：
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$（平方差公式）
解析
【分析】
(1) 求图1阴影面积$S_1$时，阴影为大正方形减去小正方形，直接用两个正方形的面积差计算即可。求图2阴影面积$S_2$时，先确定等腰梯形的各参数：观察可得上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a-b$，再代入梯形面积公式计算即可。
(2) 图形是剪拼得到的，剪拼前后阴影部分总面积不变，即$S_1=S_2$，联立两个代数式就能得到对应的乘法公式。
【解析】
(1) 图(1)中，大正方形面积为$a^2$，剪去的小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分面积：
$S_1 = a^2 - b^2$
图(2)中等腰梯形的上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a-b$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_2 = \frac{1}{2} × (2a + 2b) × (a - b) = (a + b)(a - b)$
(2) 由于剪拼前后阴影部分面积相等，即$S_1=S_2$，因此可得对应的乘法公式。
【答案】
(1) $S_1 = a^2 - b^2$，$S_2 = (a + b)(a - b)$
(2) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$（平方差公式）
【知识点】
正方形面积计算；梯形面积计算；平方差公式
【点评】
本题借助几何图形的剪拼验证代数公式，体现了数形结合的思想，解题核心是抓住剪拼前后图形总面积不变，能帮助我们更直观地理解平方差公式的几何含义。
【难度系数】
0.8
(1) 求图1阴影面积$S_1$时，阴影为大正方形减去小正方形，直接用两个正方形的面积差计算即可。求图2阴影面积$S_2$时，先确定等腰梯形的各参数：观察可得上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a-b$，再代入梯形面积公式计算即可。
(2) 图形是剪拼得到的，剪拼前后阴影部分总面积不变，即$S_1=S_2$，联立两个代数式就能得到对应的乘法公式。
【解析】
(1) 图(1)中，大正方形面积为$a^2$，剪去的小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分面积：
$S_1 = a^2 - b^2$
图(2)中等腰梯形的上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a-b$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_2 = \frac{1}{2} × (2a + 2b) × (a - b) = (a + b)(a - b)$
(2) 由于剪拼前后阴影部分面积相等，即$S_1=S_2$，因此可得对应的乘法公式。
【答案】
(1) $S_1 = a^2 - b^2$，$S_2 = (a + b)(a - b)$
(2) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$（平方差公式）
【知识点】
正方形面积计算；梯形面积计算；平方差公式
【点评】
本题借助几何图形的剪拼验证代数公式，体现了数形结合的思想，解题核心是抓住剪拼前后图形总面积不变，能帮助我们更直观地理解平方差公式的几何含义。
【难度系数】
0.8
3. (2024 玉溪期末)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是().
A.$(m-n)(-m+n)$
B.$(m+n)(-m+n)$
C.$(m-n)(m-n)$
D.$(-m-n)(-m-n)$
A.$(m-n)(-m+n)$
B.$(m+n)(-m+n)$
C.$(m-n)(m-n)$
D.$(-m-n)(-m-n)$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足这个特征就能用平方差公式计算。解题时只需逐个分析每个选项的两个二项式，判断是否符合上述特征即可。
【解析】
平方差公式的形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是：相乘的两个二项式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数，我们逐一分析选项：
选项A：$(m-n)(-m+n)=(m-n)[-(m-n)]=-(m-n)^2$，两个二项式的两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，排除；
选项B：$(m+n)(-m+n)=(n+m)(n-m)$，其中相同项为$n$，互为相反数的项为$m$和$-m$，符合平方差公式特征，可以用平方差公式计算；
选项C：$(m-n)(m-n)=(m-n)^2$，两个二项式的两项均完全相同，无互为相反数的项，属于完全平方公式的适用场景，排除；
选项D：$(-m-n)(-m-n)=(-m-n)^2$，两个二项式的两项均完全相同，无互为相反数的项，属于完全平方公式的适用场景，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构识别，解题关键是准确区分两个二项式中的相同项和相反项，注意和完全平方公式的适用条件做区分，是整式乘法部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足这个特征就能用平方差公式计算。解题时只需逐个分析每个选项的两个二项式，判断是否符合上述特征即可。
【解析】
平方差公式的形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是：相乘的两个二项式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数，我们逐一分析选项：
选项A：$(m-n)(-m+n)=(m-n)[-(m-n)]=-(m-n)^2$，两个二项式的两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，排除；
选项B：$(m+n)(-m+n)=(n+m)(n-m)$，其中相同项为$n$，互为相反数的项为$m$和$-m$，符合平方差公式特征，可以用平方差公式计算；
选项C：$(m-n)(m-n)=(m-n)^2$，两个二项式的两项均完全相同，无互为相反数的项，属于完全平方公式的适用场景，排除；
选项D：$(-m-n)(-m-n)=(-m-n)^2$，两个二项式的两项均完全相同，无互为相反数的项，属于完全平方公式的适用场景，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构识别，解题关键是准确区分两个二项式中的相同项和相反项，注意和完全平方公式的适用条件做区分，是整式乘法部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.(易错题)计算$(a+2b)(a-2b)$，结果是().
A.$a^2 - 2b^2$
B.$a^2 + 4b^2$
C.$a^2 - 4b^2$
D.$4b^2 - a^2$
A.$a^2 - 2b^2$
B.$a^2 + 4b^2$
C.$a^2 - 4b^2$
D.$4b^2 - a^2$
答案
C
解析
【分析】
首先观察算式的结构：是两个二项式相乘，其中项$a$完全相同，项$2b$和$-2b$互为相反数，符合平方差公式的适用条件。解题时先确定公式中的“相同项”和“相反项”，再代入平方差公式计算即可，注意相反项的系数也要参与平方运算，避免漏算出错。
【解析】
平方差公式为：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，
在$(a+2b)(a-2b)$中，相同项$m=a$，相反项的绝对值$n=2b$，代入公式可得：
$\begin{split}(a+2b)(a-2b)&=a^2 - (2b)^2\\&=a^2 - 4b^2\end{split}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，积的乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题，易错点为计算$(2b)^2$时漏算系数2的平方，误得到$a^2-2b^2$从而错选A。解题时需先准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，运算时注意系数也要参与平方运算即可规避错误。
【难度系数】
0.7
首先观察算式的结构：是两个二项式相乘，其中项$a$完全相同，项$2b$和$-2b$互为相反数，符合平方差公式的适用条件。解题时先确定公式中的“相同项”和“相反项”，再代入平方差公式计算即可，注意相反项的系数也要参与平方运算，避免漏算出错。
【解析】
平方差公式为：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，
在$(a+2b)(a-2b)$中，相同项$m=a$，相反项的绝对值$n=2b$，代入公式可得：
$\begin{split}(a+2b)(a-2b)&=a^2 - (2b)^2\\&=a^2 - 4b^2\end{split}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，积的乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题，易错点为计算$(2b)^2$时漏算系数2的平方，误得到$a^2-2b^2$从而错选A。解题时需先准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，运算时注意系数也要参与平方运算即可规避错误。
【难度系数】
0.7
5.计算：$x^2 - (x+2)(x-2)$的结果是。
答案
解：
原式 = $x^2 - (x^2 - 2^2)$
= $x^2 - (x^2 - 4)$
= $x^2 - x^2 + 4$
= $4$
原式 = $x^2 - (x^2 - 2^2)$
= $x^2 - (x^2 - 4)$
= $x^2 - x^2 + 4$
= $4$
解析
【分析】
本题是整式的混合运算题，解题思路如下：第一步先观察式子结构，发现式子中$(x+2)(x-2)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此先利用平方差公式计算这部分的乘积；第二步对计算得到的带括号的式子去括号，注意括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；第三步合并同类项，就能得到最终结果。
【解析】
原式$=x^2 - (x^2 - 2^2)$
$=x^2 - (x^2 - 4)$
$=x^2 - x^2 + 4$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心是正确识别平方差公式的适用形式，同时注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式运算的相关法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是整式的混合运算题，解题思路如下：第一步先观察式子结构，发现式子中$(x+2)(x-2)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此先利用平方差公式计算这部分的乘积；第二步对计算得到的带括号的式子去括号，注意括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；第三步合并同类项，就能得到最终结果。
【解析】
原式$=x^2 - (x^2 - 2^2)$
$=x^2 - (x^2 - 4)$
$=x^2 - x^2 + 4$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心是正确识别平方差公式的适用形式，同时注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式运算的相关法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 计算:
(1)$(\dfrac{1}{2}a+1)(\dfrac{1}{2}a-1)$；
(2)$(-x+4)(-x-4)$；
(3)$(3n-2m)(-3n-2m)$.
(1)$(\dfrac{1}{2}a+1)(\dfrac{1}{2}a-1)$；
(2)$(-x+4)(-x-4)$；
(3)$(3n-2m)(-3n-2m)$.
答案
解：
(1) 原式$= (\dfrac{1}{2}a)^2 - 1^2$
$= \dfrac{1}{4}a^2 - 1$
(2) 原式$= (-x)^2 - 4^2$
$= x^2 - 16$
(3) 原式$= (-2m + 3n)(-2m - 3n)$
$= (-2m)^2 - (3n)^2$
$= 4m^2 - 9n^2$
(1) 原式$= (\dfrac{1}{2}a)^2 - 1^2$
$= \dfrac{1}{4}a^2 - 1$
(2) 原式$= (-x)^2 - 4^2$
$= x^2 - 16$
(3) 原式$= (-2m + 3n)(-2m - 3n)$
$= (-2m)^2 - (3n)^2$
$= 4m^2 - 9n^2$
解析
【分析】
这三道题均考查平方差公式的应用，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是先识别每个式子中的相同项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$），再代入公式化简计算即可：
(1)式中相同项是$\frac{1}{2}a$，相反项是$1$和$-1$；(2)式中相同项是$-x$，相反项是$4$和$-4$；(3)式先调整项的顺序，可得到相同项是$-2m$，相反项是$3n$和$-3n$，分别代入公式计算即可。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式结构，代入公式得：
原式$= (\dfrac{1}{2}a)^2 - 1^2$
$= \dfrac{1}{4}a^2 - 1$
(2) 原式符合平方差公式结构，代入公式得：
原式$= (-x)^2 - 4^2$
$= x^2 - 16$
(3) 先调整式子顺序变形为平方差公式标准结构，再代入公式：
原式$= (-2m + 3n)(-2m - 3n)$
$= (-2m)^2 - (3n)^2$
$= 4m^2 - 9n^2$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}a^2 - 1$；(2)$x^2 - 16$；(3)$4m^2 - 9n^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是准确区分公式中的相同项和相反项，计算时要注意项的系数也要同步平方，避免出现仅对字母平方的错误，熟练掌握公式结构后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查平方差公式的应用，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是先识别每个式子中的相同项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$），再代入公式化简计算即可：
(1)式中相同项是$\frac{1}{2}a$，相反项是$1$和$-1$；(2)式中相同项是$-x$，相反项是$4$和$-4$；(3)式先调整项的顺序，可得到相同项是$-2m$，相反项是$3n$和$-3n$，分别代入公式计算即可。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式结构，代入公式得：
原式$= (\dfrac{1}{2}a)^2 - 1^2$
$= \dfrac{1}{4}a^2 - 1$
(2) 原式符合平方差公式结构，代入公式得：
原式$= (-x)^2 - 4^2$
$= x^2 - 16$
(3) 先调整式子顺序变形为平方差公式标准结构，再代入公式：
原式$= (-2m + 3n)(-2m - 3n)$
$= (-2m)^2 - (3n)^2$
$= 4m^2 - 9n^2$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}a^2 - 1$；(2)$x^2 - 16$；(3)$4m^2 - 9n^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是准确区分公式中的相同项和相反项，计算时要注意项的系数也要同步平方，避免出现仅对字母平方的错误，熟练掌握公式结构后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 计算：
(1)$(x+3)(2x-1)-3(x+1)(x-1)$；
(2)$998×1002$.
(1)$(x+3)(2x-1)-3(x+1)(x-1)$；
(2)$998×1002$.
答案
解：
(1) 原式$=(2x^2 - x + 6x - 3) - 3(x^2 - 1)$
$=2x^2 + 5x - 3 - 3x^2 + 3$
$=-x^2 + 5x$
(2) 原式$=(1000 - 2)(1000 + 2)$
$=1000^2 - 2^2$
$=1000000 - 4$
$=999996$
(1) 原式$=(2x^2 - x + 6x - 3) - 3(x^2 - 1)$
$=2x^2 + 5x - 3 - 3x^2 + 3$
$=-x^2 + 5x$
(2) 原式$=(1000 - 2)(1000 + 2)$
$=1000^2 - 2^2$
$=1000000 - 4$
$=999996$
解析
【分析】
(1) 本题属于整式混合运算，解题思路为先算乘法部分：先用多项式乘多项式法则计算$(x+3)(2x-1)$，再用平方差公式计算$(x+1)(x-1)$并乘3，之后去括号，最后合并同类项得到结果，计算时需注意去括号的符号规则。
(2) 本题属于有理数简便计算，观察到998、1002均接近1000，可将两个数变形为$1000-2$和$1000+2$，恰好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，代入公式计算即可，比直接相乘更简便。
【解析】
(1) 原式$=(2x^2 - x + 6x - 3) - 3(x^2 - 1)$
$=2x^2 + 5x - 3 - 3x^2 + 3$
$=-x^2 + 5x$
(2) 原式$=(1000 - 2)(1000 + 2)$
$=1000^2 - 2^2$
$=1000000 - 4$
$=999996$
【答案】
(1) $-x^2 + 5x$；(2) $999996$
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式化简
【点评】
本题重点考查整式运算规则和平方差公式的应用，第一问运算时要注意去括号的符号变化，避免漏乘或符号错误；第二问需要学会观察数字特征，灵活运用平方差公式简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于整式混合运算，解题思路为先算乘法部分：先用多项式乘多项式法则计算$(x+3)(2x-1)$，再用平方差公式计算$(x+1)(x-1)$并乘3，之后去括号，最后合并同类项得到结果，计算时需注意去括号的符号规则。
(2) 本题属于有理数简便计算，观察到998、1002均接近1000，可将两个数变形为$1000-2$和$1000+2$，恰好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，代入公式计算即可，比直接相乘更简便。
【解析】
(1) 原式$=(2x^2 - x + 6x - 3) - 3(x^2 - 1)$
$=2x^2 + 5x - 3 - 3x^2 + 3$
$=-x^2 + 5x$
(2) 原式$=(1000 - 2)(1000 + 2)$
$=1000^2 - 2^2$
$=1000000 - 4$
$=999996$
【答案】
(1) $-x^2 + 5x$；(2) $999996$
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式化简
【点评】
本题重点考查整式运算规则和平方差公式的应用，第一问运算时要注意去括号的符号变化，避免漏乘或符号错误；第二问需要学会观察数字特征，灵活运用平方差公式简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
