【例1】在美术字中,有些文字、字母和数字是轴对称的.如图,画出这些文字的对称轴.
囍 一 二 三 品
吕 中 由 甲 回
【变式训练】
下列图形是美术字的一部分,虚线为对称轴,补全另一部分后,它们分别是什么美术字?

解：
例1：
各美术字的对称轴绘制如下：
1. 囍：沿两个“喜”字中间的竖直中线画出1条竖直对称轴；
2. 一：沿字的水平中线、竖直中线分别画出1条水平对称轴和1条竖直对称轴，共2条对称轴；
3. 二：沿两横之间的水平中线画出1条水平对称轴；
4. 三：沿中间横所在的水平中线画出1条水平对称轴；
5. 品：沿字的竖直中线画出1条竖直对称轴；
6. 吕：沿字的竖直中线画出1条竖直对称轴；
7. 中：沿字的竖直中线画出1条竖直对称轴；
8. 由：沿字的竖直中线画出1条竖直对称轴；
9. 甲：沿字的竖直中线画出1条竖直对称轴；
10. 回：沿字的水平中线、竖直中线分别画出1条水平对称轴和1条竖直对称轴，共2条对称轴。
变式训练：
补全对称轴另一侧的部分后，从左到右得到的美术字依次为：非、8、全、口。

【分析】
解题分为两部分：
1. 例1部分：依据轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两侧的部分可以完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴），观察每个美术字的结构，找到能使字折叠后完全重合的直线即可。优先观察字是否左右对称、上下对称，对应找竖直中线、水平中线作为对称轴。
2. 变式训练部分：依据轴对称的性质，对称轴两侧的图形沿对称轴折叠后完全重合，将给出的半部分美术字沿虚线对称画出另一半，再识别完整的美术字即可。竖直对称轴就作现有部分的左右对称图形，水平对称轴就作现有部分的上下对称图形。
【解析】
例1解答：
逐个确定各美术字的对称轴：
1. 囍：字左右结构对称，沿两个“喜”中间的竖直中线画1条竖直对称轴；
2. 一：字上下、左右都对称，分别沿水平中线、竖直中线画1条水平对称轴和1条竖直对称轴，共2条；
3. 二：字上下对称，沿两横中间的水平中线画1条水平对称轴；
4. 三：字上下对称，沿中间一横所在的水平中线画1条水平对称轴；
5. 品：字左右对称，沿字的竖直中线画1条竖直对称轴；
6. 吕：字左右对称，沿字的竖直中线画1条竖直对称轴；
7. 中：字左右对称，沿字的竖直中线画1条竖直对称轴；
8. 由：字左右对称，沿字的竖直中线画1条竖直对称轴；
9. 甲：字左右对称，沿字的竖直中线画1条竖直对称轴；
10. 回：字上下、左右都对称，分别沿水平中线、竖直中线画1条水平对称轴和1条竖直对称轴，共2条。
变式训练解答：
将每部分图形沿虚线翻折补全后：
第一个图沿竖直对称轴补全后是“非”；
第二个图沿水平对称轴补全后是“8”；
第三个图沿竖直对称轴补全后是“全”；
第四个图沿水平对称轴补全后是“口”。
【答案】
例1：
1. 囍：1条竖直对称轴；
2. 一：1条水平对称轴、1条竖直对称轴，共2条；
3. 二：1条水平对称轴；
4. 三：1条水平对称轴；
5. 品：1条竖直对称轴；
6. 吕：1条竖直对称轴；
7. 中：1条竖直对称轴；
8. 由：1条竖直对称轴；
9. 甲：1条竖直对称轴；
10. 回：1条水平对称轴、1条竖直对称轴，共2条。
变式训练：从左到右依次为非、8、全、口。
【知识点】
轴对称图形定义，轴对称的性质，对称轴画法
【点评】
本题结合生活中常见的美术字考查轴对称相关知识，题目趣味性较强，既可以加深对轴对称相关概念的理解，也能锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.9

【例2】观察下列图案.

图①到②是利用得到的,图③经过或都可以直接得到图④;由上面的图案设计可知,有时需将和结合起来设计图案.

解：图①到②是利用轴对称得到的，图③经过平移或轴对称都可以直接得到图④；由上面的图案设计可知，有时需将平移和轴对称结合起来设计图案。

【分析】
解题时先明确平移和轴对称的核心特征：轴对称是沿某条直线对折后两个图形完全重合；平移是图形沿某一方向移动后，形状、大小、方向均不变，仅位置改变。首先判断①到②的变换：观察可知①和②沿中间竖直虚线对折后完全重合，符合轴对称特征。再判断③到④的变换：一是将③水平向右平移后可与④完全一致，符合平移特征；二是③和④沿二者中间的竖直虚线对折后也能完全重合，符合轴对称特征。最后观察整个图案的形成过程，同时用到了平移和轴对称两种变换，可知设计图案可将二者结合。
【解析】
1. 观察图①与图②：二者关于中间的竖直虚线对称，沿该虚线对折后①和②完全重合，因此图①到②是利用轴对称得到的。
2. 观察图③与图④：若将图③沿水平方向向右平移合适距离，得到的图形与图④完全相同，因此图③可通过平移得到图④；若沿③和④中间的竖直虚线对折，图③与图④完全重合，因此图③也可通过轴对称得到图④。
3. 结合整体图案的形成过程，既用到了轴对称变换，也用到了平移变换，因此设计图案时有时需将平移和轴对称结合起来。
【答案】
图①到②是利用轴对称得到的，图③经过平移或轴对称都可以直接得到图④；由上面的图案设计可知，有时需将平移和轴对称结合起来设计图案。
【知识点】
轴对称变换；平移变换；图案设计
【点评】
本题考查平移和轴对称的特征识别，需要结合图形特点判断对应的变换类型，帮助学生理解图形变换在图案设计中的实际应用，注重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

【例3】项目式学习.
项目主题:探索等腰三角形中相等的线段.
项目情境:数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究.
(1)项目初探:希望小组的同学根据题意画出了相应的图形,如图(1),在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$.经过合作,该小组的同学得出的结论是$DE=DF$.请你帮希望小组说明结论成立的理由.
(2)类比探究:奋斗小组的同学认真研究后,得出了以下两个正确结论:
①在图(2)中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立;
②在图(3)中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.
请你选择其中一个结论,写出证明过程.

(1) 证明：
连接AD。
∵ $AB=AC$，D是BC的中点，
∴ AD平分$∠ BAC$（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合）。
∵ $DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
---
(2) 选择结论①证明：
∵ $AB=AC$，D是BC的中点，
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合），
即$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形。
∵ DE是$△ ABD$的边AB上的中线，DF是$△ ACD$的边AC上的中线，
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
又∵ $AB=AC$，
∴ $DE=DF$。

【分析】
(1) 要证明DE=DF，可先证明点D在∠BAC的角平分线上，结合角平分线的性质求证。已知△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD即可得到AD平分∠BAC，而DE、DF分别是D到AB、AC的距离，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可证得DE=DF。
(2) 若选择结论①证明：首先利用等腰三角形三线合一的性质，可得AD是底边BC的高，即△ABD和△ACD都是直角三角形。DE、DF分别是两个直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，结合已知AB=AC，即可推出DE=DF。
【解析】
(1) 证明：
连接AD，
∵ $AB=AC$，D是BC的中点，
∴ AD平分$∠ BAC$（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合），
∵ $DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
(2) 选择结论①证明：
∵ $AB=AC$，D是BC的中点，
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合），
即$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，
∵ DE是$△ ABD$的边AB上的中线，DF是$△ ACD$的边AC上的中线，
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
又
∵ $AB=AC$，
∴ $DE=DF$。
【答案】
(1) DE=DF成立，证明如上；
(2) 选择结论①可证得DE=DF成立，证明如上。
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角平分线的性质
3. 直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题以探究等腰三角形中的相等线段为主题，分层设置问题，既考察了等腰三角形、角平分线、直角三角形的核心性质，也锻炼了几何证明的逻辑推理能力，通过类比探究的形式，能帮助学生掌握同类几何问题的证明思路。
【难度系数】
0.7