1.有下列说法：
①弧分为优弧和劣弧；
②圆的一条弦所对的两条弧一定是等弧；
③面积相等的两个圆是等圆；
④直径是弦.
其中说法正确的有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.0个

1.B

【分析】
本题考查圆的相关基础概念，解题时需逐个判断4个说法的正误：首先回忆弧的分类、等弧的定义、等圆的判定、弦的定义这几个核心概念，依次对每个说法验证，最后统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 对于说法①：弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆，半圆既不属于优弧也不属于劣弧，因此①错误；
2. 对于说法②：只有当弦为直径时，弦所对的两条弧是两个相等的半圆（等弧）；若弦不是直径，所对的两条弧一条是优弧、一条是劣弧，长度不相等，不是等弧，因此②错误；
3. 对于说法③：圆的面积公式为$S=π r^2$，若两个圆面积相等，则二者半径相等，半径相等的圆是等圆，因此③正确；
4. 对于说法④：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，符合弦的定义，因此直径是特殊的弦，④正确。
综上，正确的说法有③④共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弧的分类、等圆的判定、弦的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于容易忽略半圆也是弧的一种、非直径的弦所对的两条弧不相等，解题时要准确把握各类概念的定义细节，避免混淆相似概念。
【难度系数】
0.7

【典型例题2】在同一平面内，已知$\odot O$的半径为6，$PO=7$，则点P与$\odot O$的位置关系为（）

A.点P在圆外
B.点P在圆上
C.点P在圆内
D.无法确定
【答案】A
规律方法 确定点与圆的位置关系时，设$\odot O$的半径为$r$，任意一点P到圆心的距离$OP=d$，则有
点P在圆外$\iff d＞r$；
点P在圆上$\iff d=r$；
点P在圆内$\iff d＜r$。

A

【分析】
要判断点与圆的位置关系，只需明确两个关键数值：一是圆的半径$r$，二是点到圆心的距离$d$，再通过比较$d$和$r$的大小关系，对应三种位置关系的判定规则就能得出结论。本题已经直接给出半径$r=6$、点P到圆心的距离$PO=7$，只需比较两个数值的大小，再匹配对应规则即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$，
由题意可得：$r=6$，$d=PO=7$，
$\because 7＞6$，即$d＞r$，
根据点与圆的位置关系判定规则：$d＞r\iff$点在圆外，可知点$P$在$\odot O$外。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础考查题，只要牢记“比较点到圆心距离和半径大小”的判定方法就能快速解题。
【难度系数】
0.9

【即学即练】
2. 已知⊙O的半径为5 cm. 若点P在⊙O上，
则点P到圆心O的距离为 cm.

2.5

【分析】
解题时先回忆点与圆的位置关系对应的数量特征：点在圆上时，点到圆心的距离等于圆的半径。本题已知圆的半径和点在圆上的条件，直接对应规律即可求出结果，无需复杂计算。
【解析】
根据圆的定义，圆上任意一点到圆心的距离都等于该圆的半径。
已知⊙O的半径为5cm，且点P在⊙O上，因此点P到圆心O的距离与⊙O的半径相等，即为5cm。
【答案】
5
【知识点】
圆的定义、点与圆的位置关系
【点评】
本题是对圆基础概念的考查，属于基础题，只要熟记点和圆位置关系对应的距离规律就能快速得分。
【难度系数】
0.95

【典型例题3】如图，在$△ ABC$中，$CE$，$BD$分别是$AB$，$AC$边上的高.求证：$B$，$C$，$D$，$E$四个点在同一个圆上.

【证明】如图，取$BC$的中点$F$，连接$DF$，$EF$.

$\because BD$，$CE$是$△ ABC$的高，
$\therefore △ BCD$和$△ BCE$都是直角三角形.
$\therefore DF$，$EF$分别为$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$斜边上的中线.
$\therefore DF=BF=CF=EF$.
$\therefore B$，$C$，$D$，$E$四个点在以点$F$为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上.
规律方法 证明四点共圆的常用方法：
(1)利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明：若四个点能构成两个共斜边的直角三角形，则这四个点在以该斜边为直径的同一个圆上.
(2)利用“圆的概念”证明：如果能找到一个定点$O$，使得四个点到点$O$的距离相等，那么这四个点在以点$O$为圆心的同一个圆上.

证明：
取BC的中点F，连接DF，EF。
∵ BD，CE是△ABC的高，
∴ ∠BDC = ∠BEC = 90°，
∴ △BCD和△BCE都是直角三角形。
∵ DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴ $DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
又∵ F是BC的中点，
∴ $BF=CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ DF = BF = CF = EF。
∴ B，C，D，E四个点到定点F的距离相等，都等于$\frac{1}{2}BC$，
∴ B，C，D，E四个点在以点F为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上。

【分析】
要证明B、C、D、E四点共圆，根据圆的定义，只需证明四个点到同一个定点的距离相等即可。观察已知条件，BD、CE是△ABC的高，可得△BCD和△BCE都是以BC为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可取BC的中点F，连接DF、EF，证明B、C、D、E四点到F的距离相等，即可完成证明。
【解析】
取BC的中点F，连接DF，EF。
∵ BD，CE是△ABC的高，
∴ ∠BDC = ∠BEC = 90°，
∴ △BCD和△BCE都是直角三角形。
∵ DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴ $DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ F是BC的中点，
∴ $BF=CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ DF = BF = CF = EF。
∴ B，C，D，E四个点到定点F的距离相等，都等于$\frac{1}{2}BC$，
∴ B，C，D，E四个点在以点F为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上。
【答案】
取BC的中点F，连接DF，EF。
∵ BD，CE是△ABC的高，
∴ ∠BDC = ∠BEC = 90°，
∴ △BCD和△BCE都是直角三角形。
∵ DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴ $DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ F是BC的中点，
∴ $BF=CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ DF = BF = CF = EF。
∴ B，C，D，E四个点到定点F的距离相等，都等于$\frac{1}{2}BC$，
∴ B，C，D，E四个点在以点F为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定；圆的定义
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题关键是抓住共斜边的直角三角形这一特征，通过取斜边中点构造等长线段，结合圆的定义完成证明，该方法是证明四点共圆的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.求证:A,B,C,D四个点在同一个圆上.

3.【证明】如图,连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC.
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°,OB = OD,
∴ OA = OB = OD = OC.
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.

【分析】
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知∠A、∠C均为直角，△ABD和△CBD是有公共斜边BD的直角三角形，我们可以利用直角三角形斜边中线的性质，取BD的中点作为定点，证明四个点到该中点的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：连接BD，取BD的中点O，连接OA、OC。
∵∠BAD=∠BCD=90°，O为BD中点，即OB=OD，
在Rt△ABD中，OA是斜边BD的中线，因此OA=OB=OD，
在Rt△CBD中，OC是斜边BD的中线，因此OC=OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
即A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，因此四个点在同一个圆上。
【答案】
【证明】如图,连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC.
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°,OB = OD,
∴ OA = OB = OD = OC.
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.

【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的定义、四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题关键是结合已知的直角条件，通过构造公共斜边的中点找到到四个点距离相等的定点，需熟练掌握“有公共斜边的直角三角形的四个顶点共圆”这一常用结论。
【难度系数】
0.7