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基础知识·预习
问题1 回忆乘法的交换律与结合律，以及同底数幂的乘法的运算性质，并用字母表示出来。
问题2 举例说明如何进行单项式与单项式相乘的运算。
问题1 回忆乘法的交换律与结合律，以及同底数幂的乘法的运算性质，并用字母表示出来。
问题2 举例说明如何进行单项式与单项式相乘的运算。
答案
解：
问题1：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
同底数幂的乘法运算性质：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$都是正整数）
问题2：
举例：计算$2x^2y · 3xy^2$
运算过程：
利用乘法交换律和结合律，将系数、同底数幂分别分组计算：
$2x^2y · 3xy^2$
$=(2 × 3) · (x^2 · x) · (y · y^2)$
$=6 · x^{2+1} · y^{1+2}$
$=6x^3y^3$
单项式与单项式相乘的运算方法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
问题1：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
同底数幂的乘法运算性质：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$都是正整数）
问题2：
举例：计算$2x^2y · 3xy^2$
运算过程：
利用乘法交换律和结合律，将系数、同底数幂分别分组计算：
$2x^2y · 3xy^2$
$=(2 × 3) · (x^2 · x) · (y · y^2)$
$=6 · x^{2+1} · y^{1+2}$
$=6x^3y^3$
单项式与单项式相乘的运算方法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
解析
【分析】
解答本题分两部分思考：①针对问题1，直接调用已学的乘法交换律、结合律，以及同底数幂乘法的运算性质，准确用字母表述即可，注意同底数幂乘法的适用条件要标注清楚。②针对问题2，结合问题1的三个运算规则，选取典型的单项式相乘的例子，利用运算律将单项式拆分为系数、同底数幂两部分分别运算，再处理仅在一个单项式中出现的字母，逐步计算后总结出单项式乘单项式的通用运算方法即可。
【解析】
问题1解答
乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法结合律是指三个数相乘，先乘前两个数或者先乘后两个数，积不变；同底数幂的乘法是指同底数幂相乘，底数不变，指数相加，三者的字母表示如下：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
同底数幂的乘法运算性质：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$都是正整数）
问题2解答
我们以计算$2x^2y · 3xy^2$为例说明运算过程：
单项式由系数和含字母的幂两部分组成，因此我们可以利用乘法交换律和结合律，将系数、同底数幂分别分组计算，步骤如下：
$\begin{aligned}2x^2y · 3xy^2&=(2 × 3) · (x^2 · x) · (y · y^2)\\&=6 · x^{2+1} · y^{1+2}\\&=6x^3y^3\end{aligned}$
由此可总结出单项式与单项式相乘的运算方法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
【答案】
问题1：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
同底数幂的乘法运算性质：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$都是正整数）
问题2：
举例：计算$2x^2y · 3xy^2$
运算过程：
利用乘法交换律和结合律，将系数、同底数幂分别分组计算：
$2x^2y · 3xy^2$
$=(2 × 3) · (x^2 · x) · (y · y^2)$
$=6 · x^{2+1} · y^{1+2}$
$=6x^3y^3$
单项式与单项式相乘的运算方法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
【知识点】
1. 乘法运算律
2. 同底数幂的乘法
3. 单项式乘单项式法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础预习类题目，通过回顾旧知推导新知的方式，帮助学生理解单项式乘单项式的运算逻辑，熟练掌握本题内容是后续学习复杂整式乘法运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
解答本题分两部分思考：①针对问题1，直接调用已学的乘法交换律、结合律，以及同底数幂乘法的运算性质，准确用字母表述即可，注意同底数幂乘法的适用条件要标注清楚。②针对问题2，结合问题1的三个运算规则，选取典型的单项式相乘的例子，利用运算律将单项式拆分为系数、同底数幂两部分分别运算，再处理仅在一个单项式中出现的字母，逐步计算后总结出单项式乘单项式的通用运算方法即可。
【解析】
问题1解答
乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法结合律是指三个数相乘，先乘前两个数或者先乘后两个数，积不变；同底数幂的乘法是指同底数幂相乘，底数不变，指数相加，三者的字母表示如下：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
同底数幂的乘法运算性质：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$都是正整数）
问题2解答
我们以计算$2x^2y · 3xy^2$为例说明运算过程：
单项式由系数和含字母的幂两部分组成，因此我们可以利用乘法交换律和结合律，将系数、同底数幂分别分组计算，步骤如下：
$\begin{aligned}2x^2y · 3xy^2&=(2 × 3) · (x^2 · x) · (y · y^2)\\&=6 · x^{2+1} · y^{1+2}\\&=6x^3y^3\end{aligned}$
由此可总结出单项式与单项式相乘的运算方法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
【答案】
问题1：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
同底数幂的乘法运算性质：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$都是正整数）
问题2：
举例：计算$2x^2y · 3xy^2$
运算过程：
利用乘法交换律和结合律，将系数、同底数幂分别分组计算：
$2x^2y · 3xy^2$
$=(2 × 3) · (x^2 · x) · (y · y^2)$
$=6 · x^{2+1} · y^{1+2}$
$=6x^3y^3$
单项式与单项式相乘的运算方法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
【知识点】
1. 乘法运算律
2. 同底数幂的乘法
3. 单项式乘单项式法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础预习类题目，通过回顾旧知推导新知的方式，帮助学生理解单项式乘单项式的运算逻辑，熟练掌握本题内容是后续学习复杂整式乘法运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
【典型例题】计算：
(1)$9x^6y^2 · (-4x)$；
(2)$(-3y^3) · (-5x^3y^2)$；
(3)$(4×10^5)×(5×10^4)$；
(4)$(-\dfrac{1}{2}ab^2c)^2 · (-\dfrac{1}{3}abc^2)^3 · 36a^3b$.
思路导引 (1)～(3)直接利用单项式乘单项式的法则计算即可，(4)先进行积的乘方运算，再进行乘法运算。
【解】(1)原式$=[9×(-4)] · (x^6 · x)y^2=-36x^7y^2$.
(2)原式$=[(-3)×(-5)] · (y^3 · y^2) · x^3=15x^3y^5$.
(3)原式$=(4×5)×(10^5×10^4)=20×10^9=2×10^{10}$.
(4)原式$=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2 · (-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6) · 36a^3b=[\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{27})×36] · (a^2 · a^3 · a^3) · (b^4 · b^3 · b) · (c^2 · c^6)=-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$.
(1)$9x^6y^2 · (-4x)$；
(2)$(-3y^3) · (-5x^3y^2)$；
(3)$(4×10^5)×(5×10^4)$；
(4)$(-\dfrac{1}{2}ab^2c)^2 · (-\dfrac{1}{3}abc^2)^3 · 36a^3b$.
思路导引 (1)～(3)直接利用单项式乘单项式的法则计算即可，(4)先进行积的乘方运算，再进行乘法运算。
【解】(1)原式$=[9×(-4)] · (x^6 · x)y^2=-36x^7y^2$.
(2)原式$=[(-3)×(-5)] · (y^3 · y^2) · x^3=15x^3y^5$.
(3)原式$=(4×5)×(10^5×10^4)=20×10^9=2×10^{10}$.
(4)原式$=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2 · (-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6) · 36a^3b=[\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{27})×36] · (a^2 · a^3 · a^3) · (b^4 · b^3 · b) · (c^2 · c^6)=-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$.
答案
解：
(1) 原式$=[9×(-4)]·(x^6· x)· y^2$
$=-36x^7y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-5)]· x^3·(y^3· y^2)$
$=15x^3y^5$
(3) 原式$=(4×5)×(10^5×10^4)$
$=20×10^9$
$=2×10^{10}$
(4) 先计算积的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab^2c)^2=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2$，
$(-\dfrac{1}{3}abc^2)^3=-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6$，
原式$=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2·(-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6)·36a^3b$
$=[\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{27})×36]·(a^2· a^3· a^3)·(b^4· b^3· b)·(c^2· c^6)$
$=-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$
(1) 原式$=[9×(-4)]·(x^6· x)· y^2$
$=-36x^7y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-5)]· x^3·(y^3· y^2)$
$=15x^3y^5$
(3) 原式$=(4×5)×(10^5×10^4)$
$=20×10^9$
$=2×10^{10}$
(4) 先计算积的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab^2c)^2=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2$，
$(-\dfrac{1}{3}abc^2)^3=-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6$，
原式$=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2·(-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6)·36a^3b$
$=[\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{27})×36]·(a^2· a^3· a^3)·(b^4· b^3· b)·(c^2· c^6)$
$=-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$
解析
【分析】
这组题目考查单项式乘法相关运算，解题思路如下：①先牢记单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按同底数幂乘法法则计算，仅在一个单项式中出现的字母连同指数直接作为积的因式；②运算顺序遵循“先乘方，后乘法”，包含乘方运算的先利用积的乘方法则计算乘方部分，再做单项式乘法；③涉及科学记数法的运算，最终结果要满足1≤|a|＜10的规范。其中(1)(2)可直接套用单项式乘法法则计算，注意系数符号的判定；(3)将10的幂视为同底数幂计算后调整科学记数法形式即可；(4)先计算两个单项式的乘方，再进行单项式乘法运算，注意系数符号和指数的加法计算。
【解析】
(1) 原式$=[9×(-4)]·(x^6· x)· y^2$
$=-36x^7y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-5)]· x^3·(y^3· y^2)$
$=15x^3y^5$
(3) 原式$=(4×5)×(10^5×10^4)$
$=20×10^9$
$=2×10^{10}$
(4) 先计算积的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab^2c)^2=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2$，
$(-\dfrac{1}{3}abc^2)^3=-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6$，
原式$=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2·(-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6)·36a^3b$
$=[\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{27})×36]·(a^2· a^3· a^3)·(b^4· b^3· b)·(c^2· c^6)$
$=-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$
【答案】
(1)$-36x^7y^2$；(2)$15x^3y^5$；(3)$2×10^{10}$；(4)$-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$
【知识点】
单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础训练题，运算时需注意运算顺序，先算乘方再算乘法，系数计算时要注意符号判定，同底数幂相乘时指数为相加而非相乘，用科学记数法表示结果时要符合规范，避免出现系数大于等于10的错误。
【难度系数】
0.75
这组题目考查单项式乘法相关运算，解题思路如下：①先牢记单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按同底数幂乘法法则计算，仅在一个单项式中出现的字母连同指数直接作为积的因式；②运算顺序遵循“先乘方，后乘法”，包含乘方运算的先利用积的乘方法则计算乘方部分，再做单项式乘法；③涉及科学记数法的运算，最终结果要满足1≤|a|＜10的规范。其中(1)(2)可直接套用单项式乘法法则计算，注意系数符号的判定；(3)将10的幂视为同底数幂计算后调整科学记数法形式即可；(4)先计算两个单项式的乘方，再进行单项式乘法运算，注意系数符号和指数的加法计算。
【解析】
(1) 原式$=[9×(-4)]·(x^6· x)· y^2$
$=-36x^7y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-5)]· x^3·(y^3· y^2)$
$=15x^3y^5$
(3) 原式$=(4×5)×(10^5×10^4)$
$=20×10^9$
$=2×10^{10}$
(4) 先计算积的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab^2c)^2=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2$，
$(-\dfrac{1}{3}abc^2)^3=-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6$，
原式$=\dfrac{1}{4}a^2b^4c^2·(-\dfrac{1}{27}a^3b^3c^6)·36a^3b$
$=[\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{27})×36]·(a^2· a^3· a^3)·(b^4· b^3· b)·(c^2· c^6)$
$=-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$
【答案】
(1)$-36x^7y^2$；(2)$15x^3y^5$；(3)$2×10^{10}$；(4)$-\dfrac{1}{3}a^8b^8c^8$
【知识点】
单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础训练题，运算时需注意运算顺序，先算乘方再算乘法，系数计算时要注意符号判定，同底数幂相乘时指数为相加而非相乘，用科学记数法表示结果时要符合规范，避免出现系数大于等于10的错误。
【难度系数】
0.75
